古代加减计算方法

1. 珠算加减法口诀是什么

一、加法口诀表

不进位的加，进位的加。直加：满五加；进十加：破五进十加。

一：一上一；一下五去四；一去九进一。

二：二上二；二下五去三；二去八进一。

三：三上三；三下五去二；三去七进一。

四：四上四；四下五去一；四去六进一。

五：五上五；五去五进一。

六：六上六；六去四进一；六上一去五进一。

七：七上七；七去三进一；七上二去五进一。

八：八上八；八去二进一；八上三去五进一。

九：九上九；九去一进一；九上四去五进一。

二、减法口诀表

不退位的减，退位的减。直减：破五减；退位减：退十补五的减。

一：一下一；一上四去五；一退一还九。

二：二下二；二上三去五；二退一还八。

三：三下三；三上二去五；三退一还七。

四：四下四；四上一去五；四退一还六。

五：五下五；五退一还五。

六：六下六；六退一还四；六退一还五去一。

七：七下七；七退一还三；七退一还五去二。

八：八下八；八退一还二；八退一还五去三。

九：九下九；九退一还一；九退一还五去四。

传统结构

我国传统算盘为上二下五珠，上面一粒表示“5”，下面一粒表示“1”，在用算盘进行计算时采用“五升十进制”，即每一档“满5”时便用一粒上珠表示，每一档满“10”时便向前一档“进1”。依此每一档只要用上一下四珠就够了。

我国传统算盘是上二下五珠，原因是：我国古代计算重量时采用的是“16两制”即一斤等于十六两，所以半斤就等于八两了。上二下五珠，每一档可计算到“15”，这样“满16”就向前一档进一，所以我国传统的上二下五珠算盘是为适应十六进制而形成的。

2. 古时候怎么算加减乘除

算筹，表示方法为：个位用纵式,十位用横式,百位再用纵式,千位再用横式-----
《夏侯阳算经》口诀：”一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当.”“满六以上,五在下方,六不积算,五不单张.”。

3. 古代有什么数数方法

1、竹筹计数

筹用木、竹削制，也有骨制、牙制，甚至铅制。通常为圆棍状。迄今最早见到的算筹，是在湖南长沙左家公山战国木椁墓出土的竹筹。西汉时期，在墓葬中还出土过象牙算筹和金属（铅）算筹。

一副算筹，有271枚。通常每枚长约13至14厘米，径约0.23厘米。汉代以后，算筹逐渐缩短至10至11厘米，以便于摆布计算。

2、结绳计数

结绳计数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来。

3、书契

和结绳几乎同时或者稍后的一种记数方法，要算是书契了。书契，就是刻、划，在竹、木、龟甲或者骨头、泥版上留下刻痕，留下“记”号。《释名》一书中说：“契，刻也，刻识其数也。”意思是在某种物件上刻划一些符号以记数。

4、隶首

隶首发明了算盘的前身，是以每10颗一穿，穿成100个数的“算盘”。然后在上边写清位数；如十位、百位、千位、万位。

5、算盘

算盘，又作祘盘，珠算盘是我们祖先创造发明的一种简便的计算工具，珠算盘起源于北宋时代，北宋串档算珠。

其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”。一般从九档至十五档，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计算，可以做加减乘除等算法。

4. 古人不用竖式也能计算乘法,他们是怎么算的

中国古代的人，计算加减乘除四则运算，不用竖式，而是用算筹、珠算，后来又有了铺地锦(格子乘法)。算筹、珠算是电子计算机的老祖宗。

5. 古人没有计算器,他们用什么工具来计算

算筹和算盘来计算。

与算筹相比，算盘拨珠方便，口诀也易学好记，利用它进行运算非常方便。算盘后来还传播到朝鲜、日本、东南亚、波兰和俄罗斯等一些国家，联合国教科文组织正式将珠算列入人类非物质文化遗产名录。

最后：算筹和算盘是古代人的智慧结晶，虽然计算时间可能要比现代的计算器要长一些，但是其中的计算方法包含了古代人的智慧，也调动了人的脑力劳动。

6. 古代人是怎么计算加减法的

夏商时期也不是在绳子上打结。。。
打结那是记事，而不是计算。。
不知道楼主说的古代是哪个时代，但猴子都知道用手指头来计算。

7. 中国古代数字如何计算

我们今天算数，都用印度-阿拉伯数码记数，用＋、－、×、÷等符号表示四则运算。但是，这些符号自清末以来才在中国逐渐推广，那么，中国古代是怎样记数和算数的呢？中国古代采用十进制，有多种记数法，这里只介绍最常见、简单的文字记数法和算筹记数法，然后介绍古人如何做四则运算。
文字记数法
文字记数法有基本数字和数字单位两种基本的符号单元。前者用一、二、三、四、五、六、七、八、九共9个汉字分别表示1至9，后来又出现表示0的零和○。后者有一、十、百、千、万、亿、兆、京等21个。从一开始至万每级都是十进，从万到亿开始，有多种不同的进制，先秦时代常用十进，汉代以来常见的有两种：一种是万进；另一种以万万为亿，从亿到兆开始为万万进。
中国自古至今，万以内的数通常以“几千几百几十几”的形式写成。万以上的部分，根据进制的不同而有所区别，若为十进，就用与之相同的方式，如

“五亿三万四千八百六十三”表示534863；若为万进，则用“几千几百几十几+数字单位”的形式表示数字单位的倍数。如南宋杨辉《续古摘奇算法》中有一个大数“一兆八千五百三十亿二千一十八万八千八百五十一”，从万以上用万进。如果省略数字单位并用○代替空缺的数位，则变成“一八五三○二○一八八八五一”，与今天印度-阿拉伯数字表示的1853020188851就一一对应了。
汉字记数简洁而自然，如30作“三十”，13作“十三”或“一十三”，只需基本数字与数字单位，对比英语的“thirty”、
“thirteen”，不仅有超出数字单位“ten”的“-ty”和“teen”、超出基本数字的“thir-”，而且与3对应的“thir-”在30和
13中位置不变，汉字记数的优点就一目了然了。
算筹记数法
算筹是用竹、木等制成用来表示数字的小棍，记数时有两种基本的摆放形式：

在这些符号中，对1至5，表示几就用几根算筹；对6至9，用一根在上面的算筹表示所含的5，比5多几就在下面放几根算筹，与表示5的算筹垂直。记数时，个、百、万等位上的数字用纵式，十、千、十万等位上的数字用横式，纵横交错进行。如果某位上数字为零，则空出相应的位置。早期的古人席地而坐，就规定右膝所对的位置为个位。如68012用算筹表示就是

算筹记数是完全遵循十进位值制，同一算筹符号在不同的位置表示不同数字单位的倍数，与现代的印度-阿拉伯数字记法完全一致。
四则运算
中国古代一般用算筹计算，用文字记录。
也许因为算筹记数非常简单，古代数学经典中没有记载用算筹做加减的具体做法。但可推知其算法与现代笔算加减的方法差不多，只是用算筹更灵活，既可先从低位算起，也可先从高位算起。以下是计算38+63的两种图示（为便于现代读者的习惯，用印度-拉伯数字代替算筹)：

古代乘除法以算筹记数为基础，以九九口诀为核心。因为早期的口诀从“九九八十一”开始，所以称为“九九”。九九在不同时代有所变化,但都包括“九九八十一”至“二二而四”等核心句子。九九的内容不多，古人都熟读背诵下来。
做乘法比如计算72×39时，用算筹分三行摆放数字（仍用印度-阿拉伯数字代替算筹），中间为乘积，上、下为乘数，分别称为上数、下数。先让下数末位与上数首位对齐，如图3-1。用上数首位3乘下数首位7，念“三七二十一”，在中行放21，使其个位1与所乘的7对齐,如图3-2。3再乘下数次位2，念“二三而六”，将6加入中行，如图3-3。上数首位3已乘遍下数各位，故将它撤去，然后右移下数，使末位2与这时的上数首位9对齐,如图3-4。仿照上面的步骤，用上数9依次乘下数各位，加入中行，撤去9，中行得到乘积为2808。如图3-5、3-6、3-7。

做除法时，被除数、除数分别放在中行、下行，上行先空着等待放置商。先将除数左移，与被除数首位对齐，若相同位上除数比被除数大，则除数向右退一位。如2808÷72，因72＞28，故将72与80对齐,如图4-1。试商3，置于上行，与除数个位对齐，如图4-2。以3乘除数首位7，念“三七二十一”，从被除数中与7对齐的位及之前的位所构成的数28中减去21，如图4-3。再以3乘除数个位2，念“二三而六”，从中行减去6，如图4-4。将除数右移一位，如图4-5。商第2位得数9，再按刚才的方法，从中行减去9与除数的乘积，最后除尽得商39，如图4-6、4-7。如果有余数，就得到一个带分数，商为其整数部分，除数、余数分别为其分数部分的分母、分子。

利用上述方法，古人很容易应付日常事务的计算。中国古代还用不同颜色或形状的算筹来表示正负数，甚至利用算筹的摆放位置，通过今天的分离系数法来表示方程和代数式。这不仅使中国古代数学长于计算，而且在代数方面非常发达。

8. 加减法是怎么来的

人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如,在记帐时有余有亏;在计算粮仓存米时,有时要记进粮食,有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑了相反意义的数来表示。于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。可见正负数是生产实践中产生的。

据史料记载，早在两千多年前,我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。人们计算的时候用一些小竹棍摆出各种数字来进行计算。比如，356摆成||| ，3056摆成等等。这些小竹棍叫做“算筹”算筹也可以用骨头和象牙来制作。

我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。

刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。

我国古代着名的数学专着《九章算术》（成书于公元一世纪）中，最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”这里的“名”就是“号”，“除”就是“减”，“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”。

用现在的话说就是：“正负数的加减法则是：同符号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于其绝对值相加。零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加，等于其绝对值相减，同号两数相加，等于其绝对值相加。零加正数等于正数，零加负数等于负数。”

这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的，与现在的法则完全一致！负数的引入是我国数学家杰出的贡献之一。

用不同颜色的数表示正负数的习惯，一直保留到现在。现在一般用红色表示负数，报纸上登载某国经济上出现赤字，表明支出大于收入，财政上亏了钱。

负数是正数的相反数。在实际生活中，我们经常用正数和负数来表示意义相反的两个量。夏天武汉气温高达42°C，你会想到武汉的确象火炉，冬天哈尔滨气温-32°C一个负号让你感到北方冬天的寒冷。

在现今的中小学教材中，负数的引入，是通过算术运算的方法引入的：只需以一个较小的数减去一个较大的数，便可以得到一个负数。这种引入方法可以在某种特殊的问题情景中给出负数的直观理解。而在古代数学中，负数常常是在代数方程的求解过程中产生的。对古代巴比伦的代数研究发现，巴比伦人在解方程中没有提出负数根的概念，即不用或未能发现负数根的概念。3世纪的希腊学者丢番图的着作中，也只给出了方程的正根。然而，在中国的传统数学中，已较早形成负数和相关的运算法则。

除《九章算术》定义有关正负运算方法外，东汉末年刘烘（公元206年）、宋代扬辉（1261年）也论及了正负数加减法则，都与九章算术所说的完全一致。特别值得一提的是，元代朱世杰除了明确给出了正负数同号异号的加减法则外，还给出了关于正负数的乘除法则。他在算法启蒙中

负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。在印度，数学家婆罗摩笈多于公元628年才认识负数可以是二次方程的根。而在欧洲14世纪最有成就的法国数学家丘凯把负数说成是荒谬的数。直到十七世纪荷兰人日拉尔（1629年）才首先认识和使用负数解决几何问题。

与中国古代数学家不同，西方数学家更多的是研究负数存在的合理性。16、17世纪欧洲大多数数学家不承认负数是数。帕斯卡认为从0减去4是纯粹的胡说。帕斯卡的朋友阿润德提出一个有趣的说法来反对负数，他说（-1）：1=1：（-1），那么较小的数与较大的数的比怎么能等于较大的数与较小的数比呢？直到1712年，连莱布尼兹也承认这种说法合理。英国数学家瓦里承认负数，同时认为负数小于零而大于无穷大（1655年）。他对此解释到：因为a＞0时，英国着名代数学家德·摩根 在1831年仍认为负数是虚构的。他用以下的例子说明这一点：“父亲56岁，其子29岁。问何时父亲年龄将是儿子的二倍？”他列方程56+x=2（29+x），并解得x=-2。他称此解是荒唐的。当然，欧洲18世纪排斥负数的人已经不多了。随着19世纪整数理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正建立。

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9. 古代的人如何运算数学的加减乘除

算筹

根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13--14cm，径粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。而它们的发明，也同样经历了一个漫长的历史发展过程。

在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。这种计数法遵循十进位制。

算筹的出现年代已经不可考，但据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年（公元前722年～公元前221年），一直到算盘发明推广之前都是中国最重要的计算工具。

算筹的发明就是在以上这些记数方法的历史发展中逐渐产生的。它最早出现在何时，现在已经不可查考了，但至迟到春秋战国；算筹的使用已经非常普遍了。前面说过，算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，那么怎样用这些小棍子来表示各种各样的数目呢？

那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是因为十进位制的需要了。所谓十进位制，又称十进位值制，包含有两方面的含义。其一是"十进制"，即每满十数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千……其二是"位值制，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码"2"，放在个位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的荫芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制了。

按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。毫无疑问，这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。

中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就，在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为"最妙的发明之一"，确实是一点也不过分的。

二进制思想的开创国

着名的哲学家数学家莱布尼茨(1646-1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。当代的许多科学家认为易经中并不含有复杂的二进制思想，可是这本中国古籍中的一些基本思想和二进制在很大程度上仍然有着千丝万缕的联系。

元始的《灵宝经》里面把阴阳定义为阳是自冬至到夏至的上升的气，阴为从夏至到冬至下降的气，这是对地球周期运动的最简练认识。阴阳是一种物质认识，后来转化为思想方式，反者道之动等等，都是这种思想的表现。从而开创了对立统一的思想方式，实际上计算机的电子脉冲的思想是与之一致的，采样定律也是与之一致的。

《易经》是我国伏羲、周文王等当政者积累观天测算经验而成的关于天象气象和人变易的经典，从八卦到六十四卦，就是二进制三位到六位表达，上世纪八十年代还有四位计算机，可以说，周文王的六十四卦在表达能力上已经高于四位计算机。

十进制的使用

《卜辞》中记载说，商代的人们已经学会用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这13个单字记十万以内的任何数字，但是现在能够证实的当时最大的数字是三万。甲骨卜辞中还有奇数、偶数和倍数的概念。

十进位位值制记数法包括十进位和位值制两条原则，"十进"即满十进一；"位值"则是同一个数位在不同的位置上所表示的数值也就不同，如三位数"111"，右边的"1"在个位上表示1个一，中间的"1"在十位上就表示1个十，左边的"1"在百位上则表示1个百。这样，就使极为困难的整数表示和演算变得如此简便易行，以至于人们往往忽略它对数学发展所起的关键作用。

我们有个成语叫"屈指可数"，说明古代人数数确实是离不开手指的，而一般人的手指恰好有十个。因此十进制的使用似乎应该是极其自然的事。但实际情况并不尽然。在文明古国巴比伦使用的是60进位制（这一进位制到现在仍留有痕迹，如一分＝60秒等）另外还有采用二十进位制的。古代埃及倒是很早就用10进位制，但他们却不知道位值制。所谓位值制就是一个数码表示什么数，要看它所在的位置而定。位值制是千百年来人类智慧的结晶。零是位值制记数法的精要所在。但它的出现却并非易事。我国是最早使用十进制记数法，且认识到进位制的国家。我们的口语或文字表达的数字也遵守这一原则，比如一百二十七。同时我们对0的认识最早。

十进制是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。着名的英国科学史学家李约瑟教授曾对中国商代记数法予以很高的评价，"如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了"，李约瑟说"总的说来，商代的数字系统比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进更为科学。"

分数和小数的最早运用

分数的应用

最初分数的出现，并非由除法而来。分数被看作一个整体的一部分。"分"在汉语中有"分开""分割"之意。后来运算过程中也出现了分数，它表示两整数比。分数的加减乘除运算我们小学就已完全掌握了。很简单，是不是？不过在七、八百年以前的欧洲，如果你有这种水平那么就可以说相当了不起了。那时精通自然数的四则运算就已达到了学者水平。至于分数，对当时人来说简直难于上青天。德国有句谚语形容一个人陷入绝境，就说："掉到分数里去了"。为什么会如此呢？这都是笨拙的记数法导致的。在我国古代，《九章算术》中就有了系统的分数运算方法，这比欧洲大约早1400年。

西汉时期，张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识，编成了《九章算术》。在这本数学经典的《方田》章中，提出了完整的分数运算法则。

从后来刘徽所作的《九章算术注》可以知道，在《九章算术》中，讲到约分、合分（分数加法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、除分（分数除法）的法则，与我们现在的分数运算法则完全相同。另外，还记载了课分（比较分数大小）、平分（求分数的平均值）等关于分数的知识，是世界上最早的系统叙述分数的着作。

分数运算，大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为，这种算法起源于印度。实际上，印度在七世纪婆罗门笈多的着作中才开始有分数运算法则，这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年（263年），所以，即使与刘徽的时代相比，我们也要比印度早400年左右。

小数的最早使用

刘徽在《九章算术注》中介绍，开方不尽时用十进分数（徽数，即小数）去逼近，首先提出了关于十进小数的概念。到公元 1300年前后，元代刘瑾所着《律吕成书》中，已将106368.6312写成

把小数部分降低一行写在整数部分的后边。而西方的斯台汶直到1585年才有十进小数的概念，且他的表示方法远不如中国先进，如上述的小数，他记成或106368。

九九表的使用

作为启蒙教材，我们都背过九九乘法表：一一得一、一二得二……九九八十一。而古代是从"九九八十一"开始，因此称"九九表"。九九表的使用，对于完成乘法是大有帮助的。齐恒公纳贤的故事说明，到公元前7世纪时，九九歌诀已不希罕。也许有人认为这种成绩不值一提。但在古代埃及作乘法却要用倍乘的方式呢。举个例子。如算23×13，就需要从23开始，加倍得到23×2，23×4，23×8，然后注意到13＝1＋4＋8，于是23＋23×4＋23×8加起来的结果就是23×13。从比较中不难看出使用九九表的优越性了。

根据考古专家在湖南张家界古人堤汉代遗址出土的简牍上发现的汉代"九九乘法表"，竟与现今生活中使用的乘法口诀表有着惊人的一致。这枚记载有"九九乘法表"的简牍是木质的，大约有22厘米长，残损比较严重。此前在湘西里耶古城出土的一枚秦简上也发现了距今2200多年的乘法口诀表，并被考证为中国现今发现的最早的乘法口诀表实物。

除了里耶秦简外，与张家界古人堤遗址发现的这枚简牍样式基本一致的"九九乘法表"还曾在楼兰文书中见到过，那是写在两张残纸上的九九乘法表，为瑞典探险家斯文赫定在上个世纪初期发掘。

乘法表在古代并非中国一家独有，古巴比伦的泥版书上也有乘法表。但汉字（包括数目字）单音节发声的特点，使之读起来朗朗上口；后来发展起来的珠算口诀也承继了这一特点，对于运算速度的提高和算法的改进起到一定作用。

负数的使用

人们在解方程或其它数的运算过程中，往往要碰到从较小数减去较大数的情形，另外，还遇到了增加与减小，盈余与亏损等互为相反意义的量，这样，人们自然地引进了负数。

负数的引进，是中国古代数学家对数学的一个巨大贡献。在我国古代秦、汉时期的算经《九章算术》的第八章"方程"中，就自由地引入了负数，如负数出现在方程的系数和常数项中，把"卖（收入钱）"作为正，则"买（付出钱）"作为负，把"余钱"作为正，则"不足钱"作为负。在关于粮谷计算的问题中，是以益实（增加粮谷）为正，损实（减少粮谷）为负等，并且该书还指出："两算得失相反，要以正负以名之"。当时是用算筹来进行计算的，所以在算筹中，相应地规定以红筹为正，黑筹为负；或将算筹直列作正，斜置作负。这样，遇到具有相反意义的量，就能用正负数明确地区别了。

在《九章算术》中，除了引进正负数的概念外，还完整地记载了正负数的运算法则，实际上是正负数加减法的运算法则，也就是书中解方程时用到的"正负术"即"同名相除，异名相益，正无入正之，负无入负之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。"这段话的前四句说的是正负数减法法则，后四句说的是正负数加法法则。它的意思是：同号两数相减，等于其绝对值相减；异号两数相减，等于其绝对值相加；零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加，等于其绝对值相减；同号两数相加，等于其绝对值相加；零加正数得正数，零加负数得负数，当然，从现代数学观点看，古书中的文字叙述还不够严谨，但直到公元17世纪以前，这还是正负数加减运算最完整的叙述。

在国外，负数出现得很晚，直至公元1150年（比《九章算术》成书晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了负数，而且在公元17世纪以前，许多数学家一直采取不承认的态度。如法国大数学家韦达，尽管在代数方面作出了巨大贡献，但他在解方程时却极力回避负数，并把负根统统舍去。有许多数学家由于把零看作"没有"，他们不能理解比"没有"还要"少"的现象，因而认为负数是"荒谬的"。直到17世纪，笛卡儿创立了坐标系，负数获得了几何解释和实际意义，才逐渐得到了公认。

从上面可以看出，负数的引进，是我国古代数学家贡献给世界数学的一份宝贵财富。负数概念引进后，整数集和有理数集就完整地形成了。

圆周率的计算

圆周率是数学中最重要的常数之一。对它的计算，可以作为显示出一个国家古代数学发展的水平的尺度之一。而我国古代数学在这方面取得了令世人瞩目的成绩。

我国古代最初把圆周率取作3，这虽应用起来简便，但太不准确。在求准确圆周率值的征途中，首先迈出关键一步的是刘徽。他创立割圆术，用圆内接正多边形无限逼近圆而求取圆周率值。用这种方法他求得圆周率的近似值为3.14，也有人认为他得到了更好的结果：3.1416。青出于蓝，而胜于蓝。后继者祖冲之利用割圆术得出了正确的小数点后七位。而且他还给出了约率与密率。密率的发现是数学史上卓越的成就，保持了一千多年的世界纪录，是一项空前杰作。

10. 古时候人们常用的计算法有哪些

1. 数学：
1）正字计算法——画正字
2）算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。现传本《数术记遗》（题东汉徐岳撰,北周甄鸾注）载有“积算”、“太乙”、“两仪”、“三才”、“五行”、“八卦”、“九宫”、“运筹”、“了知”、“成数”、“把头”、“龟算”、“珠算”、“计数”等14种算法,反映了这种改革的情况。唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，书目中提到的“一位算法”、“求一”、“得一”的内容就是用分解因数的方法；化多位乘除为个位乘除；或用折半、加倍、退位的方法把乘除数化为首位是1的数,从而变乘除为加减。现传本《夏侯阳算经》（唐代韩延）记有很多这样的例子，例如“九因五添”、“添四四”、“身外减二”、“隔位加二”、“损一位”等等，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。
3）珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法。“珠算”一词，最早见于汉代徐岳撰的《数术记遗》，其中有云:“珠算，控带四时，经纬三才。”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为三部分，上下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的。每位各有五颗珠，上面一颗珠与下面四颗珠用颜色来区别。上面一珠当五，下面四颗，每珠当一。
2. 时间
古时的时不以一二三四来算，而用子丑寅卯作标，又分别用鼠牛虎兔等动物作代。
时间划分：
子（鼠）时是十一到一点，以十二点为正点；
丑（牛）时是一点到三点，以两点为正点；
寅（虎）时是三点到五点，以四点为正点；
卯（兔）时是五点到七点，以六点为正点；
辰（龙）时是七点到九点，以八点为正点；
巳（蛇）时是九点到十一点，以十点为正点；
午（马）时是十一点到一点，以十二点为正点；
未（羊）时是一点到三点，以两点为正点；
申（猴）时是三点到五点，以四点为正点；
酉（鸡）时是五点到七点，以六点为正点；
戌（狗）时是七点到九点，以八点为正点；
亥（猪）时是九点到十一点，以十点为正点。
古人说时间，白天与黑夜各不相同，白天说“钟”，黑夜说“更”或“鼓”。又有“晨钟暮鼓”之说，古时城镇多设钟鼓楼，晨起（辰时，今之七点）撞钟报时，所以白天说“几点钟”；暮起（酉时，今之十九点）鼓报时，故夜晚又说是几鼓天。夜晚说时间又有用“更”的，这是由于巡夜人，边巡行边打击梆子，以点数报时。全夜分五个更，第三更是子时，所以又有“三更半夜”之说。
时以下的计量单位为“刻”，一个时辰分作八刻，每刻等于现时的十五分钟。刻以下为“字”。“字”以下的分法不详，据《隋书律历志》载，秒为古时间单位，秒以下为“忽”；如何换算，书上没说清楚，只说：“‘秒’如芒这样细；‘忽’如最细的蜘蛛丝”。
换算：
天色 五更 五鼓 五夜 现代时间
黄昏 一更 一鼓 甲夜 19-21点
人定 二更 二鼓 乙夜 21-23点
夜半 三更 三鼓 丙夜 23-1点
鸡鸣 四更 四鼓 丁夜 1-3点
平旦 五更 五鼓 戊夜 3-5点
3. 纪年
天干地支纪年，一个周期的第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，依此类推，60年一个周期；一个周期完了重复使用，周而复始，循环下去。
必须特别注意的是干支纪年是以立春作为一年即岁次的开始，是为岁首，不是以农历正月初一作为一年的开始。
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
4. 风水
三元九运计算法
三元即 : "上, 中, 下三元"; 九运即 : "九星当运". 以合元运之方位及方向为吉, 反之为凶.
年飞星计算法
年飞星是每年在立春后之后，更换年岁之天干地支时一齐更换的飞星。
起例诀：
上元甲子起一白，中元四绿甲子游，下元七赤兑上发，九星顺走逆年头。
古历以一百八十年为一周，每一甲子六十年为一元，共谓之三元。
前六十年谓之上元，中六十年谓之中元，后六十年谓之下元。
三元分九运，每运为一飞星，管二十年吉凶，共一百八十年。
周而复始，循环不息。