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截断误差和舍入误差的计算方法

发布时间:2022-12-29 01:10:36

‘壹’ 误差分析的重要性

在数值分析中,一般不讨论“模型误差”和“观测误差”。数值分析只研究用数学方法求解数学模型产生的误差,主要包括算法的截断误差和舍入误差。

当数学模型不能得到精确解时,通常要用数值方法求它的近似解,其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。如果用泰勒多项式Pn(x)近似代替函数f(x),即

地球物理数据处理基础

则数值方法的截断误差是

地球物理数据处理基础

可见截断误差与算法的收敛性有关。如用泰勒多项式Pn(x)代替函数f(x),计算时要确定n。若n越大误差越小,则算法是收敛的;反之,若随着n的增大,截断误差随之增大,则称算法是发散的。

在用计算机进行数值计算时,由于计算机内存的字长有限,原始数据在计算机内部的储存会产生误差,计算过程又可能产生新的误差,这种误差称为舍入误差。例如,用3.14159近似代替π,产生的误差R=π-3.14159=0.0000026…,R就是舍入误差。在大型计算中运算次数太多,舍入误差一般很难估计,为此引入算法稳定性的概念。我们把运算过程舍入误差不增长的计算公式称为数值稳定的。这样,对于数值稳定的计算过程,可以不去估计具体的舍入误差,只是分析计算过程的数值稳定性,因而对运算过程中的误差积累问题进行定性分析是有重要意义的。

由此可见,在数值分析中除了研究数学问题的算法外,还要研究计算结果的误差是否满足精度要求,这就是误差估计问题。

下面举例说明误差分析的重要性。

[例]计算积分In=e-110xnexdx,n=0,1,…,并估计误差。

解:由分部积分法可得计算In的递推公式:

地球物理数据处理基础

(1)算法A(顺序递推法)

首先算出I0=e-110exdx=1-e-1,即要算出e-1,可用泰勒多项式展开,取n=7以前各项的和,并且精确到4位小数,计算得到e-1≈0.3679。

截断误差 计算过程中小数点后的第5位数字按四舍五入原则取舍,由此产生的舍入误差不作讨论。当取初值为 时,递推公式为

地球物理数据处理基础

计算结果如表2-1的 列,即

表2-1 两种算法计算结果

利用积分估计可知 而表2-1中 出现负值,显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的,那么什么原因使计算结果错误呢?主要是初值 有误差 由此引起以后各步计算的误差为

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容易推出

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这说明 有误差e0,则 就有e0的n!倍误差。例如n=8,若 则|e8|=8!×|e0|>2,这就说明 完全不能近似I8了。

(2)算法B(逆序递推法)

现在换一种计算方案,取n=9,得

地球物理数据处理基础

我们粗略取 然后得倒序递推公式

地球物理数据处理基础

计算结果见表2-1的 列。我们发现 与I0的误差不超过10-4。由于 比 缩小了n!倍。因此,尽管 较大,但由于误差逐步缩小,故可用 近似In,此例说明我们应重视计算过程中的误差分析。

‘贰’ 误差的计算公式谁有啊

标称误差=(最大的绝对误差)/量程 x 100%

绝对误差 = | 示值 - 标准值 | (即测量值与真实值之差的绝对值)

相对误差 = | 示值 - 标准值 |/真实值 (即绝对误差所占真实值的百分比)

(2)截断误差和舍入误差的计算方法扩展阅读

系统误差:就是由量具,工具,夹具等所引起的误差。

偶然误差:就是由操作者的操作所引起的(或外界因素所引起的)偶然发生的误差。测量值与真值之差异称为误差,物理实验离不开对物理量的测量,测量有直接的,也有间接的。由于仪器、实验条件、环境等因素的限制,测量不可能无限精确,物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一定的差异,这种差异就是测量误差。误差与错误不同,错误是应该而且可以避免的,而误差是不可能绝对避免的。

误差,物理实验离不开对物理量的测量,测量有直接误差的,也有间接的。由于仪器、实验条件、环境等因素的限制,测量不可能无限精确,物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一定的差异,这种差异就是测量误差。

设被测量的真值(真正的大小)为a,测得值为x,误差为ε,则:x-a=ε

误差分类

在数值计算中,为解决求方程近似值的问题,通常对实际问题中遇到的误差进行下列几类的区分:

模型误差

在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,对问题作一些简化。因此数学模型和实际问题有一定的误差,这种误差称为模型误差。

测量误差

在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有误差,这种误差称为测量误差。

截断误差

由于实际运算只能完成有限项或有限步运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这样产生的误差成为截断误差。

舍入误差

在数值计算过程中,由于计算工具的限制,我们往往对一些数进行四舍五入,只保留前几位数作为该数的近似值,这种由舍入产生的误差成为舍入误差。

抽样误差

抽样误差:是指样本指标和总体指标之间数量上的差别,例如抽样平均数与总体平均数之差 、抽样成数与总体成数之差(p-P)等。抽样调查中的误差有两个来源,分别为:

(1)登记性误差,即在调查过程中,由于主客观原因而引起的误差。

(2)代表性误差,即样本各单位的结构情况不足以代表总体特征而引起的误差。

‘叁’ 截断误差与舍入误差的区别

截断误差指数学模型与数值方法之间的误差.实际问题的数学模型往往很复杂,通常要用数值方法来求它的近似解,模型的准确解与由数值方法得出的准确解之差称为截断误差。由于实际运算只能完成有限项或有限步运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这样产生的误差成为截断误差。
舍入误差,计算机数字位数是有限的不可能得到与精确解毫不相差的结果这种由于计算机有限位数带来的误差称为“舍入误差”.由于计算机的字长有限,进行数值计算的过程中,对计算得到的中间结果数据要使用“四舍五入”或其他规则取近似值,因而使计算过程有误差。这种误差称为舍入误差。

舍入误差是为了计算的方便人为造成的,而截断误差是由于计算方法和手段形成的不可避免的误差。

‘肆’ 在数值计算方法中,误差是如何分类的

1.1 概述

1. 定义数值计算目标: 寻找一个能迅速完成的(迭代算法)算法,同时估计计算结果的准确度。

1.2 误差分析基础

1. 误差来源:截断误差、舍入误差、数学建模时的近似、测量误差(数据误差)

2. 误差的分类:

绝对误差e(\hat{x}) = \hat{x} - x ;误差限

相对误差 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{x} 或者 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{\hat{x}} ;相对误差限

3. 定义有效数字:从左到右第一位非零数字开始的所有数字

定理:设x与其近似值\hat{x} 的第一位有效数字相同,均为d_0 ,若\hat{x} 有p位正确的有效数字,则其相对误差满足:

|e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{d_0} \times 10^{-p + 1}

定理:设对x保留p位有效数字后得到近似值 \hat{x} ,则相对误差满足:

|e_r(\hat{x})| = \frac{1}{2d_0} \times 10^{-p+1}

定理:设x的第一位有效数字为 d_0 ,若近似值\hat{x} 的相对误差满足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2(d_0 + 1)} \times 10^{-p + 1} 则\hat{x} 具有p位正确的有效数字,或者在保留p位有效数字后 \hat{x} = x

定理:若x的近似值在 \hat{x} 相对误差满足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-p} ,则 \hat{x} 至少有p位正确的有效数字,或者在保留p位有效数字后 \hat{x} = x

应用:可以不严谨的说如果相对误差不超过 10^{-p} 怎有p位正确的有效数字

4. 区分:精度(precision):有效数字的位数有关

准确度(accuracy):与准确的有效数字的位数有关

5. 数据传递误差与计算误差:考虑 f(x), f(\hat{x}), \hat{f}(\hat{x})

计算误差:计算过程中的近似引起的误差,例 \hat{f}(\hat{x}) - f(\hat{x})

数据传递误差:单纯由输入数据误差引起的计算结果的误差,例 f

‘伍’ 什么是舍入误差

舍入误差(英语:round-off error),是指运算得到的近似值和精确值之间的差异。比如当用有限位数的浮点数来表示实数的时候(理论上存在无限位数的浮点数)就会产生舍入误差。舍入误差是量化误差的一种形式。 如果在一系列运算中的一步或者几步产生了舍入误差,在某些情况下,误差会随着运算次数增加而积累得很大,最终得出没有意义的运算结果。[1]
中文名
舍入误差
外文名
round-off error
定义
得到的近似值和精确值间的差异
表示
是量化误差的一种形式
相关术语
截断误差

‘陆’ 计算方法

计算方法又称数值分析。是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法,计算方法主要内容包括函数逼近论、数值微分、数值积分、误差分析等,常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等,现代计算方法要求适应电子计算机的特点。

误差与原则误差种类模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差,法则加减运算近似数加减时,把其中小数位数较多的数四舍五入,使其比小数位数最少的数多一位小数,计算保留的小数位数与原近似数最小数位数最少者相同。

乘除运算近似数乘除时,各因子保留位数应比小数位数最少的数多一位小数,计算保留的小数位数与原近似数最小数位数最少者位数至多少一位,乘方与开方运算近似数乘方与开方时,计算保留的小数位数与原近似数位数相同,对数运算近似数对数时,计算保留的小数位数与原近似数位数相同,注意避免两个相近的数相减,避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法,避免大数吃掉小数,计算讲效率,尽可能减少运算。

计算方法的特点

插值方法Lagrange插值线性插值、抛物线插值,Newton插值,分段插值,Hermite插值,分段三次Hermite插值,三次样条插值,最小二乘法直线拟合与多项式拟合,数值积分机械求积法梯形公式、中矩形公式、Simpson公式,Newton-Cotes求积法,复化求积法复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式,Romberg求积法,Guass求积法,数值微分求积法。

常微分方程的数值解法尤拉方法尤拉法、隐式尤拉法、二步尤拉法,改进尤拉方法,龙格-库塔方法,线性多步法亚当姆斯方法, 方程求根的数值解法二分法,迭代法,埃特金法,牛顿法牛顿下山法,近似牛顿法简化牛顿法、弦截法抛物线法,线性方程组的解法高斯消去法顺序消去法、列主元消去法、全主元消去法,矩阵三角分解法,追赶法平方根法,范数,简单迭代法Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法。

‘柒’ 截断的误差是多少

截断的误差是在0与x之间。

由实际问题建立起来的数学模型,在很多情况下要得到准确解是困难的,通常要用数值方法求它的近似解,例如常把无限的计算过程用有限的计算过程代替,这种模型的准确解和由数值方法求出的近似解之间的误差称为截断误差。因为截断误差是数值计算方法固有的,因此又称方法误差。

误差来源:

一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等,其差称为误差。引起误差的原因是多方面的。

(1)从实际问题转化为数学问题,即建立数学模型时,对被描述的实际问题进行了抽象和简化,忽略了一些次要因素,这样建立的数学模型虽然具有“精确”、“完美”的外衣,其实只是客观现象的一种近似。这种数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差。

(2)在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到的物理量,如电压、电流、温度、长度等,而观测难免不带误差,这种误差称为观测误差。

(3)在计算中常常遇到只有通过无限过程才能得到的结果,但实际计算时,只能用有限过程来计算。如无穷级数求和,只能取前面有限项求和来近似代替,于是产生了有限过程代替无限过程的误差,称为截断误差,这是计算方法本身出现的误差,所以也称方法误差。

(4)在计算中遇到的数据可能位数很多,也可能是无穷小数,但计算时只能对有限位数进行运算,因而往往进行四舍五入,这样产生的误差称为舍入误差。

‘捌’ 计算方法主要研究什么误差和什么误差

计算方法主要研究截断误差和舍入误差。

一、计算方法的主要内容:

本书比较全面地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法。全书共分11章,主要内容有:引论、计算方法的数学基础、MATLAB编程基础、方程求根、解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、函数插值、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、矩阵特征值计算、函数优化计算。

本书知识体系完整,既简要回顾了与计算方法有关的数学基础知识,又介绍了现代计算软件MATLAB,书中每个算法都配有结构化流程图,几乎所有算法都给出了MATLAB语言代码和MATLAB函数,部分算法给出了C语言代码,书后附有上机实验题目 。

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