高数暴力计算方法

⑴ 高数 极限

关于极限的计算方法有很多，应用也很灵活，往往在一道题中，我们需要综合使用多种方法。因此，对极限的计算方法进行总结，提炼出一些实用的技巧，有助于提高计算的速度和准确度，从而能够提高考试的分数，甚至改变自己的命运！

1、利用四则运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限分别为都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，

且有 （1）lim [f(x)±g(x)]=A±B;

（2）lim f(x)·g(x)=A·B;

（3）lim（f(x)/g(x)）=A/B(B≠0).

分析：极限的四则运算法则是极限的基本法则，直接利用四则运算法则的题目往往难度都不大，在大学的期末考试或者研究生入学考试中一般不会只考察这一个知识点，往往需要结合其他的方法或者需要对式子进行化简和变形。

点评：对于这种两个分式差的表达式，对其进行化简只有一个方向，就是通分，通分后可以消掉为0的因子，然后利用极限的四则运算法则及函数的连续性即可求得。

点评：这个例题中的分子分母都是多项式，对于这一类题我们可以在分子分母上同时除以多项式的最高次幂，然后利用极限的四则运算法则进行计算，这一类题的结果有如下公式，利用这个公式的结论，没有太大的难度。

2、利用函数连续性

初等函数在其定义域D内是连续的，若x∈D，则有

这种情况下，函数的极限值与函数值相等，因此只需把数值代入函数表达式即可。但这种考题在考研的考试中不会直接出现，往往须与其他方法结合起来。

连续（图片来自：视觉中国）

（1）分子分母出现为0的公因式

方法：先对分子分母进行因式分解，约掉为0因式后再根据连续性计算。

■注1 本题也可用洛必达法则。

（2）分子或分母含有无理式

方法：对含有无理式的函数，需要进行分子或分母有理化，再计算。

点评 无理式在分母上大家很容易想到分母有理化，而对这种看似不是分式的表达式，往往想不到要用有理化，但这这道题表达式可以看作分母为1的分式，然后进行分子有理化，再利用连续性可得到结果。

3、利用两个重要极限

两个重要极限是计算函数极限的重要方法，利用这两个结论能有效的将许多复杂的极限变得简化，从而能迅速计算出函数的极限。

第一个重要极限

第一个重要极限

第一个重要极限本身很简单，但它存在多种形式的变形，这些变形后的公式在做题过程中可以直接应用。

第一个重要极限及其变形

■注2 函数形式中的□可以是满足条件的任意函数。

第二个重要极限

第二个重要极限

第二个重要极限的变形

■注3 和第一个重要极限的变形类似，这两个公式里的x和u也可以是函数形式。

点评 第二个重要极限本身并不难，难的是如何凑出极限的形式，使得所凑的式子直接可以表示成e的幂函数形式。

解法一

点评 这个例题可以采用这两种解法，第一种方法虽然分子分母分别计算极限，但在凑第二个重要极限时结构比较简单；第二种方法在凑第二个重要极限时需要注意幂上的

⑵ 为什么limx→0(1+x)^2/x=e^{2ln(1+x)/x}中ln(1+x)为什么不能直接等价替换成x，高数求极限

替换的条件是要满足limx→0 f(x)=0，就是要求分子或分母是在x→0时的无穷小。分子不满足条件，当然不能换。这个根据无穷大和无穷小的关系可知，极限不存在，为∞。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

⑶ 高数常见函数求导公式

高数常见函数求导公式如下图：

求导是数学计算中的一个计算方法，它的定义就是，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。

(3)高数暴力计算方法扩展阅读：

一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性，定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶导数，那么：

（1）若在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递增；

（2）若在(a,b)内f’(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递减；

（3）若在(a,b)内f'(x)=0,则f(x)在[a,b]上的图形是平行（或重合）于x轴的直线，即在[a,b]上为常数。

函数的导数就是一点上的切线的斜率。当函数单调递增时，斜率为正，函数单调递减时，斜率为负。

导数与微分：微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。

可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分dx，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。