圆外角定理计算方法

‘壹’ 什么是圆外角

圆外角
圆外角的度数有规律
如图1，P是圆外一点，由P作圆的两条割线PAB、PCD，称为圆外角。
圆外角度数定理：圆外角的度数等于它所夹的两段弧的度数的差（大减小）的一半。记为：
证明：连结BC（如图1），则
所以
例1. 如图2，中，，以OB为半径的⊙O交AB、AO于C、D两点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
图2
解：延长AO交⊙O于E，因为，所以
的度数
的度数
的度数
又，所以的度数
的度数，选D。
例2. 如图3，⊙O中，弦CB、FE的延长线交于M，若，求。
图3
解：因为，所以CF的度数
又，所以
的度数
例3. 如图4，MN是⊙O的直径，若，，求的度数。
图4
解：的度数
即的度数
又因为，所以的度数
的度数
由(1)(2)得的度数，所以
例4. 由钝角的顶点A引高AD，以垂足D为圆心，AD为半径作圆，分别交AB、AC于M、N（如图5），若AB＝c，AM＝m，AN＝n，求AC的长。
图5
解：因为BC过圆心D，且
所以，从而有
的度数
的度数
又，所以
由得
仿圆外角定理，可以得到圆内角定理：
如图6，弦AB、CD交于P，则的度数（证明略）。
图6
现举一例。
例5. 如图7，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，，DE交AB于F，求证：。
图7
证明：连结CO并延长交⊙O于G，因为
，AB为⊙O的直径，
所以
的度数
的度数
故
于是，有
又
所以

‘贰’ 求圆内角圆外角圆周角圆边角的个关系以及证明公式

顶点在圆外的角的度数等于所截两弧度数差的一半.顶点在圆内的角的度数等于所截弧度数和的一半
证明：
如图,过C作CE//AB,交圆于E,
则有∠P＝∠DCE,弧AC＝弧BE(圆中两平行弦所夹弧相等)
而∠DCE的度数等于弧DE的一半,弧DE＝弧BD－弧BE＝弧BD－弧AC
所以∠DCE的度数等于“弧BD－弧AC”的一半
即“顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半”
另外也可以连接BC,则∠P＝∠BCD－∠B
∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半
∠B的度数等于弧AC的度数的一半
同样得“顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半”
圆内角的证明完全类似：
过C作CE//AB,交圆于E,
则有∠APC＝∠C,弧AC＝弧BE(圆中两平行弦所夹弧相等)
而∠C的度数等于弧DE的一半,弧DE＝弧BD＋弧BE＝弧BD＋弧AC
所以∠APC的度数等于“弧BD＋弧AC”的一半
即“顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数和的一半”
另外也可以连接BC进行证明
（圆周角定理是课本上一定有的,“圆边角”没有见过这个说法,是不是指“弦切角”?如果是,课本上也有的
供参考!JSWYC

‘叁’ 圆内角，圆外角！推论公式问题

考试时绝不能直接用！因为它不是教材中的方法！您想，几何定理很多，大家都随便用，那么，中考阅卷还有统一答案吗？这在中考说明中是有严格规定的啊，一切都应该以所用教材列出的定理为准，假如您用大学几何教材上的定理答题必然不行。

‘肆’ 圆外角的度数等于它所夹两弧度数差的一半

如图，∠A是圆外角

求证：∠A=1/2(弧BC的度数-弧DE的度数)

证明：

连接CD

∵∠BDC和∠C都是圆周角

∴∠BDC=1/2弧BC的度数，∠C=1/2(弧DE的度数)

又∵∠A=∠BDC-∠C

∴∠A=1/2(弧BC的度数-弧DE的度数)

‘伍’ 圆内角和圆外角的相关定理

1
圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3
垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
4
切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6
公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7
相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8
切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9
割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一条到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

‘陆’ 圆周角的定理及4个推论

圆周角的定理及4个推论如下：

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

‘柒’ 圆外角与圆内角的关系用什么定律

一、基本概念：定义：1.圆内角:圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做
圆内角.如图1,在⊙O中,弦AB、CD交于一点P,则∠APC就是圆内角；
2.圆外角:圆的两条弦在圆外相交所成的角叫做圆外角.如图2,在⊙O中,弦AB、CD交于一点P,则∠APC就是
圆外角；
二、基本性质:定理1:圆内角的度数等于它（及其对顶角）
所对的两条弧的度数和的一半.定理2:圆外角的度数等于它所对的两条弧的
度数差的一半.

‘捌’ 有关圆的所有公式。

一、周长公式

1、圆的周长 ：C=2πr （r：半径）

2、半圆周长：C=πr+2r

二、圆的面积

1、面积：S=πr²

2、半圆面积：S=πr²/2

三、弧长角度公式

1、扇形弧长：L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R为扇形半径）

2、扇形面积：S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）

3、圆锥底面半径： r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）

4、扇形面积公式：S=nπr²/360=rl/2

R：半径，n：弧所对圆心角度数，π：圆周率，L：扇形对应的弧长。

也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n。

四、圆的方程：

1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

2、圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。

五、圆和点的位置关系：

以点P与圆O的为例（设P是一点,则PO是点到圆心的距离）,P在⊙O外,PO＞r；P在⊙O上,PO＝r；P在⊙O内,PO＜r.

六、直线与圆有3种位置关系：

无公共点为相离；

有两个公共点为相交；

圆与直线有唯一公共点为相切。这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离,PO＞r；AB与⊙O相切,PO＝r；AB与⊙O相交,PO＜r。

拓展资料：

一、圆的性质

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

（2）有关圆周角和圆心角的性质和定理

① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式：θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

（3）有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。

④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AC与BD分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

（8）周长相等，圆面积比正方形、长方形、三角形的面积大。

参考链接：圆_网络

‘玖’ 圆内角和圆外角的相关定理

圆内角的相关定理:圆心角所对的弧的度数等于弧所对的圆心角的度数;圆周角的度数等于圆心角的度数的一半;
圆外角的相关定理:圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半.

‘拾’ 圆的内角和公式

180
定理: 圆内角的度数等于它（及其对顶角） 所对的两条弧的度数和的一半.圆内角: 圆的两条弦在圆内相交所成的角叫圆内角。
圆外角：
圆外角度数定理：圆外角的度数等于它所夹的两段弧的度数的差（大减小）的一半。
即圆外角等于它所夹的两段弧所对的圆心角的度数差的绝对值的一半。
一个圆代表无穷多边形，而多边形的一个角要变成圆，在这个角的内角小于180°时，内角需要增大，当内角大于180°时，内角需要减小，由此可知，一个圆周上的每一点处，内角180°，外角180°，而一个圆由无数点组成，所以圆内角和无限大，外角和无限大。