向量的计算方法和证明

Ⅰ 向量的基本运算

1、a,b均为向量∵
|a+b|=|a-b|
∴a⊥b
a,b,a+b与a,b,a-b均构成直角三角形，斜边为5，所以|b|=4
2、a,b,c,d均为向量，a*b=2*3*cos60=2*3*1/2=3
(1)∵c∥d
∴|c×d|=0
c×d=(3a+b)×(2a+kb)=6a×a+2b×a+3ka×b+kb×b=(3k-2)a×b
|c×d|=|3k-2||a×b|=0
|a×b|≠0
∴3k-2=0
k=2/3
(2)
∵c⊥d
∴c*d=0
c*d=(3a+b)*(2a+kb)=6a*a+2b*a+3ka*b+kb*b=6|a|^2+(3k+2)a*b+k|b|^2
=6*4+3(3k+2)+9k=18k+30=0
k=-5/3

Ⅱ 向量的加减乘除运算法则是什么

向量的减法：如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”，例如：a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。

向量的乘法：实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。当λ>0时，λa的方向与a的方向相同。

向量加法的运算律：

1、交换律：a+b=b+a；

2、结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

3、加减变换律：a+(-b)=a-b

4、向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。

Ⅲ 数学向量的重要理论和公式，及解题方法

如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。
证明：
1）充分性，对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由 实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线。
2）必要性，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=-λa。如果b=0，那么λ=0。
3）唯一性，如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。
证毕。
[编辑本段]推论

推论1

两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。
证明：
1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。
2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零。若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0。
证毕。

推论2

两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0。
证明：
1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线。
2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由 共线向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，实数λ、μ全不为零。
证毕。

推论3

如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0。
证明：（反证法）
不妨假设μ≠0，则由 推论1 知，向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0。
证毕。

推论4

如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得
向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。
证明：
∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0，
由 共线向量基本定理 得，
点C在直线AB上 <=> 向量AC 与 向量AB 共线 <=> 存在唯一实数λ，使 向量AC=λ·向量AB
∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，
∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。
证毕。

推论5

如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得
向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
证明：
在推论4 中，令 1-λ=μ ，则λ+μ=1，知：
三点P、A、B不共线 <=> 点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
下面证唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，
即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，
∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线，
由 推论3 知，m=λ，n=μ。
证毕。

推论6

如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。
证明：
1）充分性，由推论5 知，若三点P、A、B不共线，则 点C在直线AB上 <=> 存在实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。
取ν=-1，则有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且实数λ、μ、ν不全为零。
2）必要性，不妨设ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，则 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推论5 即知，点C在直线AB上。
证毕。

推论7

点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。
证明：（反证法）
∵点P是直线AB外任意一点，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC两两不共线。
由推论6 知，实数λ、μ、ν不全为零，
1）假设实数λ、μ、ν中有两个为零，不妨设λ≠0，μ=0，ν=0。则 λ向量PA=0，∴向量PA=0。这与向量PA≠0。
2）假设实数λ、μ、ν中有一个为零，不妨设λ≠0，μ≠0，ν=0。则 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 与 向量PB共线，这与向量PA 与 向量PB不共线矛盾。
证毕。
[编辑本段]共线向量定理

定理1

⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是

其中

都是其对应向量的数量。
证明：有推论5 即可证得。

定理2

⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是

其中
都是有向面积。通常约定，顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正，顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负。
证明：由定理1 即可得证。

Ⅳ 向量怎么计算！

你好
向量怎么计算！

解：设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法

a+b=(x+x'，y+y')。

2、向量的减法

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y')

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向
当λ<0时，λa与a反方向；
向量的数乘
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

有什么不懂请追问，我会为您详细解答，望采纳，谢谢！

Ⅳ 数学向量运算证明

设A（0，0，0）B(1,0,0)D(0,1,0)A1(0,0,1)则C1（1，1，1）D1（0，1，1）C(1,1,0)
所以E(1/2,0,0)，F(1,1,1/2)
向量EF=(1/2,1,1/2)向量BD1=（-1，1，1）
cos<EF,BD1>=EF*BD1/(|EF|*|BD1|)=(-1/2+1+1/2)/（(根号下2分之3)*（根号下3））=3分之根号2
所以夹角为arccos(三分之根号二)

Ⅵ 法向量的计算方法

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组：

①n·a=0；

②n·b=0。

5、解方程组，取其中一组解即可。

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。

例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

(6)向量的计算方法和证明扩展阅读：

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；

如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|（等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量）。

利用这个原理也可以求异面直线的距离。

Ⅶ 向量那些运算律能证明吗

在新学这些运算律时课本里都有证明，而且都很简单，只有一个分配率证明过程难一点，考试只需正确运用定律，不要求证明，下面证明向量(a+b)·c=a·c+b·c

如图

Ⅷ 向量的运算的所有公式有哪些

• 01

  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则， 向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。

  在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。

  数与向量的乘法满足下面的运算律

  结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

  向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

  数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

  数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

  向量的数量积的运算律

  a·b=b·a（交换律）

  (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

  （a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

  向量的数量积的性质

  a·a=|a|的平方。

  a⊥b〈=〉a·b=0。

  |a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

  向量的向量积运算律

  a×b=-b×a

  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)

  a×(b+c)=a×b+a×c.

  (a+b)×c=a×c+b×c.

Ⅸ 空间向量计算方法

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。
如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。
以下用向量法求解的简单常识：
1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得
或对空间一定点O有
2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：
（其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面．
3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量
（k∈R）．
4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量
．
5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取
，求：
的问题．
6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：
．
7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．