有理数小数和整数的计算方法

A. 有理数的加减法怎么算

有理数加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。3、一个数同0相加，仍得这个数；有理数减法法则：即减去一个数，等于加这个数的相反数。有理数的减法可以转化为加法来进行。

有理数运算定律

加法交换律a+b=b+a.

加法结合律(a+b)+c=a+(b+c).

乘法交换律ab=ba.

乘法结合律(ab)c=a(bc).

乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac.

有理数和无理数的区别

1、两者概念不同。

有理数是整数和分数的统称，正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因此有理数的数集可分为正有理数、负有理数和零。

无理数，也称为无限不循环小数。简单来说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、根号2等。

2、两者性质不同。

有理数的性质是一个整数a和一个正整数b的比，例如3比8，通常为a比b。

无理数的性质是由整数的比率或分数构成的数字。

3、两者范围不同。

有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法4种运算均可进行。而无理数是指实数范围内，不能表示成两个整数之比的数。

B. 有理数的定义和运算法则

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数，因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

有理数的定义

正整数、0、负整数统称为整数；

正分数和负分数统称为分数；

整数和分数统称为有理数。

有理数的运算法则

1、加法运算律:

（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即（a+b）+c=a+（b+c）。

（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，即 a+b=b+a。

2、减法运算律：

减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a-b=a+（-b）。

3、乘法运算律：

（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即ab=ba。

（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数先乘，或者先把后两个相乘，积不变，即（ab）c=a（bc）。

（3）乘法分配律：某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即a（a+b）=ab+ac。

注意

⑴ 无限循环小数可以写成分数形式，所以是有理数。

⑵ 所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，所有整数组成整数集合，所有有理数组成有理数集合。

⑶ 正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数。

C. 如何计算有理数

有理数的加法法则：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值

有理数减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数

减法可以化成加法，揭示事物之间相互转化的规律

有理数的乘法法则;

两数相乘，同号的正异号得负，并把绝对值相乘

有理数除法法则：

除以任何数等于乘以这个数的倒数

(3)有理数小数和整数的计算方法扩展阅读

1、一般情况下，四则运算的计算顺序是：有括号时，先算括号里面的；只有同一级运算时，从左往右；含有两级运算，先算乘除后算加减。

2、由于有的计算题具有它自身的特征，这时运用运算定律，可以使计算过程简单，同时又不容易出错。

加法交换律：a+b=b+a

乘法交换律：a×b=b×a

加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

乘法结合律：（a×b）×c=a×(b×c)

D. 整数、有理数、实数笔记4（分数/小数的计算技巧）

考点1：分数与小数的互化：

= 0.4                       0.75=                         =0.333333……（无限循环小数）

无限循环小数化分数，整数部分照抄，小数部分有几位循环节，化为分数中分母就写几个9，之后将循环节作为分子，最后可以约分的进行约分即可。

0.7777……=        0.474747……=      1.375375……=1+375/999

例题：把0.5656……转化为分数形式（  C   ）

A.         B.        C.       D.            E.57/100

分数的分子与分母同乘一个不为0的数或者算式，分数值不变

= = （a 0，c 0）

分母相同，分母不变，分子直接加减

分母不同，先通分，再加减

分数的通分，异分母分数 等值同分母分数（利用最小公倍数）

+ = + = + =

= - = -

= - = -

裂项公式： = - （背）

= * = *（ - ）

= *

                         = *（ - ）

例题2： + +……+ =（  A  ）

A.        B.      C.     D.    E.

解：裂项相消

1- + - +……+ - =1- =

例题3：

+ +……+ =

（ D）

A.      B. +     C. -   D. -  E.

例题4：

+ +……+

=（       ）

A.     B. -   C.  D. -

E. +

解：都乘2*

有理数 可以表示为形如 （其中a，b都是整数）的两个整数比的形式

无理数  不能写作两个整数比形式的数，若将它写成小数形式小数之后的数字有无限多个，并且不会循环（无限不循环小数）

1.414     1.732      2.236    e 2.718     3.142

实数={有理数+无理数}

有理数{正有理数=正整数+正分数、负有理数=负整数+负分数}

无理数{无限不循环小数=正无理数+负无理数}

对任意实数，不超过实数X的最大整数为x的整数部分，记为【x】，求取实数的整数部分称为取整。

令{x}=x-【x】，称之为实数x的小数部分， 由定义可知，【x】 x，

x-【x】={x} 0

【3】=3、{3}=0；【-3】=-3、{-3}=0；【0】=0、{0}=0；

【0.3】=0、{0.3}=0.3；【-0.3】=-1、{-0.3}=0.7；【2.17】=2、{2.17}=0.17

二次根式 形如 （x 0）的式子

x叫做被开方数，可以是一个数字，也可以是一个代数式

双重非负性：x 0， 0，当x<0时，二次根式无意义

=0；以形式界定： 也是二次根式；

二次根式乘法法则： * =  （a 0，b 0）

二次根式的除法法则： =  （a  0，b 0）

若两个实数相等，那么它们的有理部分和无理部分都相等；

实数2+a 与实数b+3 相等，a=3，b=2

若含有二次根式的非零数字或算式相乘，乘积中不含二次根式，则它们互为有理化因式。（结合平方差公式）

【标志词汇】分数的分母中带有根号（含有2次根式），要求化简/求值===上下同乘以分母的有理化因式，即分母有理化。

= = = -1

= =

= +

【标志词汇】分数的分子中有根号（含有2次根式），要求比较大小 上下同乘分子的有理化因式，即分子有理化。

比较 - 与 - 大小

= =

= =

对比分数，分母越大，分数值反而越小。

例题1：设 的整数部分为a，小数部分为b，则ab- =（     ）

A.3       B.2      C.-1      D.-2     E.0

解： = =

2= < < =3

< < ====2.5< <3

所以由此得出这个根式的整数部分是a=2，b=这个式子 -2=

ab- =2* - =-1

例题2：若a= + +……+ ，b=1+

则ab=（     ）

A.2018       B.2019        C.2020       D.2018+       E.

解：分母有理化

= = -1

= = -

.

由此类推可以得出：

= -

= -

a由此可以得出a=-1+ ，b=1+ ，ab=完全平方公式=2020-1=2019

例题：下面几个论述不一定正确的是（     ）

1.两个无理数的和是无理数；（ 不一定  ，互为相反数，和是有理数）

2.两个无理数的积是无理数；（不一定，两个无理数互为有理化因式，积为有理数 ）

3.一个有理数与一个无理数的和是无理数；（是的）

4.一个有理数和一个无理数的积是无理数；（0与任何实数的乘积都是0）

5.任何一个无理数都能用实数轴上的点表示；（是的）

6.实数与数轴上的点一一对应；（是的）

整除：能被几整除就写几k；分数形式的数为整数；必有因数【标志词汇】

带余除法：a=bk+r【标志词汇】

最大公因数与最小公倍数：求取（正向和逆向）关系ab=【a，b】*（a，b）

质数与合数：【标志词汇】质数：穷举、因数分解、结合奇偶性

奇数与偶数：结合奇偶四则运算判断奇偶性；结合质数与合数；整数方程中未知量求取；

分数/小数的运算技巧：分数/小数互化，裂项相消

实数：

【标志词汇】带有根号的分数：分子/分母有理化

数集之间的关系

【标志词汇】完全平方数，

纯数字的完全平方数====穷举法

带有未知字母的表达式为完全平方式===配方凑出完全平方式

【2019年19】（条件充分性判断）能确定小明年龄（  C  ）

（1）小明年龄是完全平方数         （2）20年后小明年龄是完全平方数

一个自然数平方后所得到的数就是完全平方数。

E. 有理数的定义和运算法则分享

有理数是指两个整数的比。有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

有理数的定义及相关运算法则

有理数的定义

有理数是指两个整数的比。有理数是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

有理数的加法运算法则

1.同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

2.异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3.互为相反数的两数相加得0。

4.一个数同0相加仍得这个数。

5.互为相反数的两个数，可以先相加。

6.符号相同的数可以先相加。

7.分母相同的数可以先相加。

8.几个数相加能得整数的可以先相加。

有理数的减法运算法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。

有理数的乘法运算法则

1.同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2.任何数与零相乘，都得零。

3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

4.几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

5.几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。

有理数的除法运算法则

1.除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。

2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数，都得零。

注意：零不能做除数和分母。

有理数的乘方运算法则

1.负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。例如：（-2）³（-2的3次方）=-8，（-2）²（-2的2次方）=4。

2.正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。例如：2（2的2次方）=4，2 （2的3次方）=8，0（0的3次方）=0。

3.零的零次幂无意义。

4.由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

5.1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。

F. 小数除以整数的计算方法 小数除以整数如何计算

1、按照整数除法的法则去除。

2、商的小数点要和被除数的小数点对齐。

3、如果除到被除数的末尾仍有余数就在后面添上0再继续除。

4、除得的商的哪一位上不够商1就要在那一位上写0占位。

5、小数部分后有有限个数位的小数。如3.1465，0.364，8.3218798456等，有限小数都属于有理数，可以化成分数形式。

6、一个最简分数可以被化作十进制的有限小数当且仅当其分母只含有质因数2或5或两者。类似的，一个最简分数可以被化作某正整数底数的有限小数当且仅当其分母之质因数为此基底质因数的子集。

G. 整数和小数乘除法是怎样计算的

最简单的方法就是在计算过程开始，把小数换成整数，然后计算整数与整数之间的结果，最后把小数还原以前的小数点就可以了
这是一种取巧的方法，我们是人，不是计算机，做数学题，人比计算机多的唯一的优势就是，我们思考问题是可以变通的。

H. 小数乘除法与整数乘除法的计算方法有什么联系

小数乘法按整数乘法的方法计算，但结果要根据两个数的小数数位之和确定积的小数位数。小数除法可根据商不变的原理化为整数除法计算。

乘法是指将相同的数加起来的快捷方式。其运算结果称为积，“x”是乘号。从哲学角度解析，乘法是加法的量变导致的质变结果。整数（包括负数），有理数（分数）和实数的乘法由这个基本定义的系统泛化来定义。

除法是四则运算之一。已知两个因数的积与其中一个非零因数，求另一个因数的运算，叫做除法。 两个数相除又叫做两个数的比。若ab=c（b≠0）,用积数c和因数b来求另一个因数a的运算就是除法，写作c÷b，读作c除以b（或b除c）。其中，c叫做被除数，b叫做除数，运算的结果a叫做商。

(8)有理数小数和整数的计算方法扩展阅读：

小数乘小数的计算方法：

（1）先把小数扩大成整数。

（2）按整数乘法的法则算出积。

（3）再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。乘得的积的小数位数不够时，要在前面用0补足再点小数点。

注意：计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位。

小数乘法的意义：

小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 一个数乘小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……

小数除法的意义：

小数除法的意义与整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。

I. 有理数运算的常见简便方法是

有理数的运算法则
一、加法。

有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题，而有理数的加法运算总是涉及到两个问题：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用那一条法则。

在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值"。多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。

1、同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。

2、绝对值不等的异号相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

3、一个数同0相加，仍得这个数。

4、相反数相加结果一定得0。

交换律和结合律

有理数的加法同样拥有交换律和结合律。(和整数得交换律和结合律一样)。

用字母表示为：

交换律：a+b=b+a 两个数相加，交换加数的位置和不变。

结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

二、减法

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数做加数。一不变：被减数不变。可以表示成： a-b=a+（-b）。

三、乘法

1、两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。

例：（-5）×（-3）=15 （-6）×4=-24 。

2、任何数同0相乘，都得0。

例：0×1=0

3、几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负；当负因数有偶数个数时，积为正。并把其绝对值相乘。

例：（-10）×〔-5〕×（-0.1）×（-6)=积为正数，而（-4）×（-7）×(-25）=积为负数。

4、几个数相乘，有一个因数为0时，积为0。

例：3×（-2）×0=0 。

5、乘积为1的两个有理数互为倒数。例如，-3与-1/3，-3/8与-8/3。

四、除法

1、除以一个数等于乘以这个数的倒数。（注意：0没有倒数）。

2、两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

3、0除以任何一个不等于0的数，都等于0。

基本释义

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。

以上资料参考：网络-有理数

J. 整数，小数，分数 的乘，除法的计算方法

1、整数乘法法则：

1)从右边起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐；

2)然后把几次乘得的数加起来。

(整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0。)

2、小数乘法法则：

1)按整数乘法的法则算出积；

2)再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点。

3)得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉，进行化简。

3、分数乘法法则：

把各个分数的分子乘起来作为分子，各个分数的分母相乘起来作为分母，然后再约分。

4、整数的除法法则

1)从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；

2)除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；

3)每次除后余下的数必须比除数小。

5、除数是整数的小数除法法则：

1)按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；

2)如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。

6、除数是小数的小数除法法则：

1)先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足；

2)然后按照除数是整数的小数除法来除。

7、分数的除法法则：

1)用被除数的分子与除数的分母相乘作为分子；

2)用被除数的分母与除数的分子相乘作为分母。(即被除数不变，乘除数的倒数)。