弯矩的计算方法

1. 矩形截面弯矩计算公式

先计算梁的最大弯矩M，钢材强度设计指为f=215MPa，计算所需要的截面抵抗距W=M/f。根据计算结果选用H型钢。

弯矩计算公式：Mmax=FL/2。（Mmax表示最大弯矩，F表示外力，L即为力臂）。

弯矩图用来表示梁的各横截面上弯矩沿轴线的变化情况。总结规律如下：

（1）在梁的某一段内，若无分布载荷作用，即q(x)=0，由d²M(x)/dx²=q(x)=0可知，M(x)是x的一次函数，弯矩图是斜直线。

（2）在梁的某一段内，若作用分布载荷作用，即q(x)=常数，则d²M(x)/dx²=q(x)=常数，可以得到M(x)是x的二次函数。弯矩图是抛物线。

（3）在梁的某一截面内，若Fs(x)=dM(x)/dx=0,则在这一截面上弯矩有一极值（极大或极小）。即弯矩的极值发生在剪力为零的截面上。

一般而言，在不同的学科中弯矩的正负有不同的规定。规定了弯矩的正负，就可以将弯矩进行代数计算。

在列弯矩计算时，应用“左上右下为正，左下右上为负”的判别方法。凡截面左侧梁上外力对截面形心之矩为顺时针转向，或截面右侧外力对截面形心之矩为逆时针转向，都将产生正的弯矩，故均取正号；反之为负，即左顺右逆，弯矩为正。

2. 求各种梁的弯矩计算公式(高分)

弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。

梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。

弯曲bending

平面弯曲plane bending

7.1.2梁的计算简图

载荷：

（1）集中力 concentrated loads

（2）集中力偶 force-couple

（3）分布载荷 distributed loads

7.1.3梁的类型

(1)简支梁simple supported beam 上图

(2)外伸梁overhanging beam

(3)悬臂梁cantilever beam

7.2 梁弯曲时的内力

7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearing force和弯矩bending moment

问题：

任截面处有何内力？

该内力正负如何规定？

例7－1 图示的悬臂梁 AB ，长为 l ，受均布载荷 q 的作用，求梁各横截面上的内力。

求内力的方法——截面法

截面法的核心——截开、代替、平衡

内力与外力平衡

解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开 。

梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。

剪力 —— 作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。

弯矩 —— 位于纵向对称面内。

剪切弯曲 —— 横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。

纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

工程上一般梁（跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h ＞5），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。

规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负。

7.2.2弯矩图bending moment diagrams

弯矩图：以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。

例7－2 试作出例7－1中悬臂梁的弯矩图。

解 （1）建立弯矩方程 由例7－1知弯矩方程为

（2）画弯矩图

弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。

例7－3 图示的简支梁 AB ，在C点处受到集中力 F 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均为已知，试作出梁的弯矩图。

解 （1）求约束反力

（2）建立弯矩方程 上例中梁受连续均布载荷作用，各横截面上的弯矩为x的一个连续函数，故弯矩可用一个方程来表达，而本例在梁的C点处有集中力F作用，所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。

例7－4 图示的简支梁 AB ，在C点处受到集中力偶 M 0 作用，尺寸 a 、 b 和 l 均为已知，试作出梁的弯矩图。

解 （1）求约束反力

（2）建立弯矩方程 由于梁在C点处有集中力偶M作用，所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。

（3）画弯矩图

两个弯矩方程均为直线方程

总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律：

（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小 。

（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致 。

（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。

7.3 梁纯弯曲时的强度条件

7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts

纯弯曲 —— 梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

Q = 0，M = 常数。

7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力 Normal Stresses in Beams

1．梁纯弯曲时的 变形特点 Geometry of Deformation:

平面假设：

1）变形前为平面变形后仍为平面

2）始终垂直与轴线

中性层 Neutral Surface ：既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。

中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。

中性轴 Neutral Axis ：中性层与横截面的交线。

变形时横截面是绕中性轴旋转的。

2．梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律

纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。

由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。

以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零 。

3．梁纯弯曲时正应力计算公式

在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为

式中， M 为作用在该截面上的弯矩（ Nmm ）； y 为计算点到中性轴的距离（ mm ）； Iz Moment of Area about Z-axis 为横截面对中性轴z的惯性矩（ mm 4 ）。

在中性轴上 y = 0 ，所以 s = 0 ；当 y = y max 时， s = s max 。

最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处，

Wz横截面对中性轴 z 的抗弯截面模量( mm 3 )

计算时， M 和 y 均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。

弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度 L 与横截面高度 h 之比 L/h ＞5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。

7.3.3惯性矩和抗弯截面模量

简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式

7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件

对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为 危险点 。

梁的弯曲强度条件是 ： 梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应力。

运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。

7.4 提高梁强度的主要措施

提高梁强度的主要措施是：

1）降低弯矩 M 的数值 2)增大抗弯截面模量 W z 的数值

7.4.1降低最大弯矩 M max 数值的措施

1．合理安排梁的支承

2．合理布置载荷

7.4.2合理选择梁的截面

1．形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式，则 Wz 值可能不相同

2．面积相等而形状不同的截面，其抗弯截面模量 Wz 值不相同

3．截面形状应与材料特性相适应

7.4.3采用等强度梁

对于等截面梁，除 M max 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。

为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。

等强度梁 ——使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称之。《建筑桩基技术规范》按梁上荷载分布将承台梁分为4种情况(图1)。内力计算根据荷载情况分跨中和支座分别计算见表1。
在表1的公式(1)～(7)中
p0——线荷载的最大值(kN/m),p0＝
a0——自桩边算起的三角形荷载的底边长度;
LC——计算跨度,LC＝1．05L;
L——两相邻桩之间的净距;
q——承台梁底面以上的均布荷载。

表1 墙下条形桩基连续承台梁内力计算公式

内力 计算简图编号 内 力 计 算 公 式
支座
弯矩 （a）、（b）、（c）
（1）

（d） M＝－ （2）

跨中
弯矩 （a）、（c） M＝ （3）

（b）
（4）

（d）
M＝ （5）

最大
剪力 （a）、（b）、（c）
Q＝ （6）

（d）
Q＝ （7）

图1 计算简图

a0按下式计算:
中间跨 （8）

边 跨 （9）
其中 EC——承台梁砼弹性模量;
EK——墙体的弹性模量;
I——承台梁横截面的惯性矩;
bK——墙体宽度。
当承台梁为矩形截面时,I＝bh3
则: 中间跨 a0＝1．37h （10）

边 跨 a0＝1．05h （11）
其中 b、h——分别为承台梁的宽度和高度。
表1中弯矩公式共5个,公式中荷载取值也不统一,式(1)、(3)、(4)采用P0,式(2)、(5)采用q,这也给计算带来了不便。下面分别对跨中和支座弯矩进行分析。
(1)跨中弯矩 从计算简图可看出,(d)图是(b)图所示受力情况的特例,当a0≥LC时,取a0＝LC代入式(4)即可得式(5)。当a0＜时,跨中弯矩采用式(3),a0≥时,采用式(4)。
令β＝,并将P0＝＝代入式(3)和式(4)
得: M＝β2qL2C （13）
（14）
将上两式统一表示为:

M＝A0qL2C （15）

式(15)即为跨中弯矩计算公式,它适用于图(a)～(d)所示的四种受力简图。
(2)支座弯矩 图(a)、(c)、(d)均为图(b)所示受力情况的特例,式(1)为支座弯矩计算通式。
将β＝和P0＝＝代入式(1)
得 M＝β（2－β） （16）
或 M＝B0qL2C （17）
(3)弯矩系数A0、B0
跨中弯矩 M＝A0qL2C （15）
支座弯矩 M＝B0qL2C （17）
其中 A0、B0——弯矩系数,分别为:
β＝≤0．5，A0＝β2
β＞0.5时,A0＝β
B0＝－β（2－β）
A0、B0皆为β的单值函数,为简化计算,将其列表(表2)。

表2 墙下条形桩基连续承台梁内力系数

β 内 力 系 数 β 内 力 系 数
A0 B0 A0 B0
0．10 0．00083 －0．01583 0．56 0．02590 －0．06720
0．12 0．00120 －0．01880 0．58 0．02753 －0．06863
0．14 0．00163 －0．02170 0．60 0．02907 －0．07000
0．16 0．00213 －0．02453 0．62 0．03053 －0．07130
0．18 0．00270 －0．02730 0．64 0．03190 －0．07253
0．20 0．003331 －0．03000 0．66 0．03317 －0．07370
0．22 0．00403 －0．03263 0．68 0．03433 －0．07480
0．24 0．00480 －0．03520 0．70 0．03539 －0．07583
0．26 0．00563 －0．03770 0．72 0．03635 －0．07680
0．28 0．00653 －0．04013 0．74 0．03722 －0．07770
0．30 0．00750 －0．04250 0．76 0．03799 －0．07853
0．32 0．00853 －0．04480 0．78 0．03867 －0．07930
0．34 0．00963 －0．04703 0．80 0．03927 －0．08000
0．36 0．01080 －0．04920 0．82 0．03979 －0．08063
0．38 0．01203 －0．05130 0．84 0．04023 －0．08120
0．40 0．01333 －0．05333 0．86 0．04061 －0．08170
0．42 0．01470 －0．05530 0．88 0．04091 －0．08213
0．44 0．01613 －0．05720 0．90 0．04116 －0．08250
0．46 0．01763 －0．05903 0．92 0．04136 －0．08280
0．48 0．01920 －0．06080 0．94 0．04150 －0．08303
0．50 0．02083 －0．06250 0．96 0．04159 －0．08320
0．52 0．02252 －0．06413 0．98 0．04165 －0．08330
0．54 0．02423 －0．06570 1．00 0．04167 －0．08333

式(15)和式(17)代替规范的5个公式,公式形式统一,且不需计算P0,直接采用均布荷载,结合内力系数表,设计计算十分简便。剪力计算公式较简单,仍采用原公式。

3 算例(文献〔3〕)

五层混合结构房屋,砖墙承重,内墙厚240mm,外墙厚370mm。基础采用直径320mm,长6m的钻孔灌注桩。钢筋砼承台梁,梁高300mm,梁宽:外墙400mm;内墙350mm。承台梁底面以上荷载为:横墙q＝142．9kN／m;外纵墙q＝85．0kN／m。试计算外纵墙和内横墙墙下承台梁的内力(图2)。

图2 单元桩基平面图

解:
1.外纵墙下承台梁
承台梁采用C20砼,I级钢筋,墙体采用MU7.5砖、M5混合砂浆。
EC＝2．55×104N／mm2
EK＝1500f
＝1500×1．37
＝2055N／mm2
(f——墙体抗压强度设计值)
LC＝1．05L＝1．05（1．65－0．32）
＝1．40m＜1．65m
承台梁尺寸400mm×300mm
(1)中间跨
a0＝1．37h
＝1．37×300＝977mm
β＝＝＝0．698
查表2,得:A0＝0．03536
B0＝－0．07581
则:跨中弯矩
M＝A0qL2C＝0．03536×85×14002
＝5．89×106N．mm
支座弯矩
M＝B0qL2C＝－0．07581×85×14002
＝－12．63×106N．mm
(2)边跨
a0＝1．05h
＝1．05×300＝747mm
β＝＝＝0．534
查表2,得:A0＝0．02372
B0＝－0．06525
则：跨中弯矩
M＝A0qL2C＝0．02372×85×14002
＝3．95×106N．mm
梁端支座弯矩 MA＝0
第二支座
MB＝B0qL2C＝－0．06525×85×14002
＝－10．9×106N．mm

图3 纵墙承台梁计算简图

2.横墙下承台梁(近似按中跨计算)
承台梁尺寸350mm×300mm
LC＝1．05L＝1．05（1．2－0．32）
＝0．92m＜1．2m
a0＝1．37h＝1．37×300＝1079mm
β＝＞1．0 取β＝1．0
查表2,得:A0＝0．04167
B0＝－0．08333
跨中弯矩
M＝A0qL2C＝0．04167×142．9×9202
＝5．0×106N．mm
支座弯矩
M＝B0qL2C＝－0．08333×142．9×9202
＝－10．1×106N．mm
剪力计算较简单,略。

4 结语

通过上述分析与计算可以看出,本文提出的计算方法较《建筑桩基技术规范》(JGJ94—94)法形式简捷,计算简便,是一个实用的方法。

图4 横墙承台梁计算简图

3. 弯矩计算公式1/8*QL2的单位

1/8qL²是简支梁在均布荷载q作用下，跨正中截面的弯矩值，也是梁所有截面最大的弯矩值。

4. 简支梁弯矩的计算方法

根据作用在梁上的已知载荷，求出静定梁的支座反力以后，梁横截面上的内力可利用前面讲过的“截面法”来求解，如图7-8a所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现在讨论距支座距离为的截面上的内力。
图7-8简支梁指定截面的剪力、弯矩计算
根据截面法计算内力的基本步骤“切、代、平”，计算梁的内力的步骤为：
①、首先根据静力平衡方程求支座反力和，为推导计算的一般过程，暂且用和代替。
②、用截面假想沿处把梁切开为左、右两段，如图7-8b、7-8c所示，取左段梁为脱离体，因梁原来处于平衡状态，所以被截取的左段梁也同样保持平衡状态。从图7-8b中可看到，左段梁上有一向上的支座反力、向下的已知力作用，要使左段梁不发生竖向移动，则在截面上必定存在一个竖直方向的内力与之平衡；同时，、对截面形心点有一个力矩，会引起左段梁转动，为了使其不发生转动，在截面上必须有一个力偶矩与之平衡，才能保持左段梁的平衡。和即为梁横截面上的内力，其中内力使横截面有被剪开的趋势，称为剪力；力偶矩将使梁发生弯曲变形，称为弯矩。
由于外载荷的作用线垂直于梁的轴线，所以轴力为零，通常不予考虑。
剪力和弯矩的大小可由左段梁的静力平衡方程来求解。

5. 简支梁集中力跨中弯矩公式

集中荷载作用在跨中时 M=PL/4。

均布荷载作用时 M=qL^2/8。

简支梁就是两端支座仅提供竖向约束，而不提供转角约束的支撑结构。简支梁仅在两端受铰支座约束，主要承受正弯矩，一般为静定结构。体系温变、混凝土收缩徐变、张拉预应力、支座移动等都不会在梁中产生附加内力，受力简单，简支梁为力学简化模型。

(5)弯矩的计算方法扩展阅读：

只有两端支撑在柱子上的梁，主要承受正弯矩，一般为静定结构。体系温变、混凝土收缩徐变、张拉预应力、支座移动等都不会在梁中产生附加内力，受力简单，简支梁为力学简化模型。

在列弯矩计算时，应用“左上右下为正，左下右上为负”的判别方法。凡截面左侧梁上外力对截面形心之矩为顺时针转向，或截面右侧外力对截面形心之矩为逆时针转向，都将产生正的弯矩，故均取正号；反之为负，即左顺右逆，弯矩为正。

6. 均布荷载弯矩计算公式是什么

公式：均布荷载作用的长度范围 1/2qx2=qx*1/2x。

以下是均布载荷的相关介绍：

均布载荷，一般用 q 表示，简单的说，它就是均匀分布在结构上的力（载荷），均布载荷作用下各点受到的载荷都相等。

均布载荷有两种形式：线均布载荷和面均布载荷。对于细长杆件上的均布载荷，其单位一般是牛每米，N/m。对于板状零件上的均布载荷，其单位一般是牛每平方米，N/m^2。

均布载荷，一般用 q 表示，简单的说，它就是均匀分布在结构上的力（载荷），均布载荷作用下各点受到的载荷都相等。其单位一般是牛每米（N/m）或牛每平方米（N/m^2）。有时候也将压强当作均布载荷。

以上资料参考网络——均布载荷

7. 连续梁弯矩的计算方法

连续梁弯矩的计算公式如下：
弯矩M=(1/8)QL²，
其中，q是沿着梯段分布的线荷载，L是连续梁的水平长度。
弯矩是受力构件截面上的内力矩的一种。通俗的说法：弯矩是一种力矩。另一种解释说法，就是弯曲所需要的力矩，顺时针为正，逆时针为负。它的标准定义为：与横截面垂直的分布内力系的。计算公式M=θEI/L,θ转角，EI转动刚度，L杆件的有效计算长度。

8. 弯矩、剪力计算公式如何推导

1、先求出节点弯矩,分配到节点上的每一个杆件的杆端（包括柱端）,得到柱端弯矩；

2、根据柱端弯矩,设柱端剪力为未知数，列杆件力矩平衡方程,求出柱端剪力；

3、根据柱顶两侧梁传来的梁端剪力和柱顶的上柱柱底轴力之和,就是本柱上端轴力，本柱上端轴力加本柱自重就是本柱下端轴力。

弯矩公式：

(8)弯矩的计算方法扩展阅读：

一般而言，在不同的学科中弯矩的正负有不同的规定。规定了弯矩的正负，就可以将弯矩进行代数计算。

在列弯矩计算时，应用“左上右下为正，左下右上为负”的判别方法。凡截面左侧梁上外力对截面形心之矩为顺时针转向，或截面右侧外力对截面形心之矩为逆时针转向，都将产生正的弯矩，故均取正号；反之为负，即左顺右逆，弯矩为正 。

9. 弯矩和剪力的计算公式是什么。