信号反射系数的计算方法

1. 振幅处理及提高信噪比、分辨率的处理方法

在地震资料处理中，高度保持地震波的真振幅特征，尽量提高地震记录的信噪比和分辨率，即称为“三高”处理，这一直是地震资料处理人员追求的目标。因为“三高”处理的质量直接影响到岩性参数提取以及地震勘探的精度和效果。

10.3.1 真振幅恢复

保持地震波的真振幅特征（简称保幅处理），从广义讲应包含两大方面内容：即真振幅恢复（或称振幅补偿）和其他各项处理中的振幅保持问题。本节主要讨论真振幅恢复的方法，而对其他各项处理中凡要影响到振幅特征的处理方法，则要采取相应的措施，尽可能的使振幅的相对关系保持不变。

地震记录经增益恢复处理后，其振幅特征已与地表检波器所接收到的地震波振幅特征一致。这种振幅仍不称为真振幅，我们所谓的真振幅是指由地层波阻差而产生的反射波振幅，即能反映地层岩性变化的振幅。在地表所接收到的振幅除有地层波阻抗的变化因素外，还有球面扩散因素以及非弹性衰减的因素，因此需要消除球面扩散和非弹性衰减的影响，恢复地震波的真振幅特征。

球面扩散是当波离开震源传播时由于波前扩展造成的振幅衰减。这样的振幅衰减（A）与传播距离r成反比

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其中v是界面上覆介质的平均速度；t是反射的记录时间。对球面扩散作校正需要用时变函数vt乘以数据。

非弹性衰减是弹性波能量在岩石中传播时，由于内摩擦而耗散为热被地层吸收的结果。原理部分已说明这种衰减是频率和传播距离的指数形式的函数

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其中α为非弹性衰减系数（吸收系数）

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所以，用函数e^αvt乘以数据就可校正非弹性衰减。至此，真振幅恢复处理完成。

系数α可从增益恢复及球面扩散校正后的振幅-时间函数来测定。为了得到α的较好统计估计，要用一组地震道测定能量来求得衰减曲线。

还有另一种真振幅恢复的方法，这时不需要速度信息。在增益恢复之后，假设振幅衰减是指数函数。因此，按照最小平方法，用指数函数拟合增益校正后的记录，就得到真振幅校正函数（即包括球面扩散和非弹性衰减校正两者）。

前述已知，波前发散因子K为

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式中r和t分别为波的传播距离和传播时间，C和a为与地层速度有关的常数。

吸收衰减因子是

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式中α是吸收系数；b是待定的常数。波前发散和吸收衰减总的影响是

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求取a和b的方法如下。

从地震记录上读取反射波的振幅极值（波峰或波谷），以（10.3-5）为回归方程，得

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式中：u_t=lnA_i-lnt_i；A_i，t_i为振幅极值及其对应的时间；N为振幅极值的点数。校正函数是a^-1te^bt。

为了获得有代表性的真振幅恢复参数，所选的地震道应是没有多次波及有较高的信噪比。对地质条件稳定地区，一组参数就可代表全区。在工区内地质条件有较大变化时，这些参数要重新计算。

10.3.2 提高信噪比的数字滤波处理

在地震勘探中，用于解决地质任务的地震波称为有效波，而其他波统称为干扰波。压制干扰，提高信噪比是一项贯穿地震勘探全过程的任务。除在野外数据采集中采取相应措施压制干扰外，在地震资料数字处理中数字滤波也是一项非常重要的提高信噪比的措施。

数字滤波方法是利用有效波和干扰之间频率和视速度方面的差异来压制干扰的，分别称为频率滤波和视速度滤波。又因频率滤波只需对单道数据进行运算，故称为一维频率滤波。实现视速度滤波需同时处理多道数据，故称为二维视速度滤波。本节主要介绍这两种滤波方法。

10.3.2.1 一维频率滤波

所谓一维数字滤波是指用计算机实现对单变量信号的滤波，该单变量可以是时间或频率，也可以是空间或波数。以时间或频率为例讨论一维数字滤波，其他原理相同。

（1）一维数字滤波原理

设地震记录x（t）是由有效波s（t）和干扰波n（t）组成，即

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其频谱为

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式中：X（f）为 x（t）的频谱；S（f）、N（f）分别为 s（t）、n（t）的频谱。如果 X（f）的振幅谱|X（f）|可用图10-6表示。说明有效波的振幅谱|S（f）|处在低频段，而干扰波的振幅谱处于高频段。

图10-6 有效波和干扰波频谱分布示意图

若设计一频率域函数 H（f）的振幅谱为|H（f）|，

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其图形为图10-7（a）所示。

令

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及

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在时间域有（利用傅里叶变换的褶积定理）

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称 H（f）为一维滤波器频率响应，（10.3-9）式为频率域滤波方程，h（t）为 H（f）的时间域函数，称为一维滤波器滤波因子（图10-7（b））。（10.3-11）为时间域滤波方程，y（t）和 Y（f）分别为滤波后仅存在有效波的地震记录及频谱，φ_x（f）、φ_y（f）、φ_h（f）分别为滤波前、滤波后地震记录及滤波器的相位谱，以上滤波主要是利用了有效波和干扰波的频率差异消除干扰波，故也称为频率滤波。

图10-7 滤波频率响应及滤波因子

以上所述的滤波器称为理想低通滤波，根据有效波和干扰波的频段分布不同，还可将滤波器分为理想带通滤波器、理想高通滤波器等。所谓理想是指滤波器的频率响应是一个矩形门，门内的有效波无畸变地通过，称为通频带，而门外的干扰波全部消除。在数字滤波中这一点实际是做不到的。因为数字滤波时所能处理的滤波因子只能是有限长，而由间断函数组成的理想滤波器的滤波因子是无限长的。实际应用中只能截断为有限长，截断后就会出现截断效应，即截断后的滤波因子所对应的频率响应不再是一个理想的矩形门，而是一条接近矩形门，但有振幅波动的曲线，这种现象称为吉普斯现象。

由于频率响应曲线在通频带内是波动的曲线，滤波后有效波必定会发生畸变。另外，在通频带外也是波动的曲线，必定不能有效地压制干扰。为了避免吉普斯现象，可采用若干方法，其中之一是镶边法。

10.3.2.2 二维视速度滤波

（1）二维视速度滤波的提出

在地震勘探中，有时有效波和干扰波的频谱成分十分接近甚至重合，这时无法利用频率滤波压制干扰，需要利用有效波和干扰波在其他方面的差异来进行滤波。如果有效波和干扰波在视速度分布方面有差异，则可进行视速度滤波。这种滤波要同时对若干道进行计算才能得到输出，因此是一种二维滤波。

地表接收的地震波动实际上是时间和空间的二维函数g（t，x），即是振动图和波剖面的组合，二者之间通过

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发生内在联系。式中k为空间波数，表示单位长度上波长的个数，f为频率，描述单位时间内振动次数，v为波速。

实际地震勘探总是沿地面测线进行观测，上述波数和速度应以波数分量k_x和视速度v^*代入。则有

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既然地震波动是空间变量x和时间变量t的二维函数，且空间和时间存在着密切关系，无论单独进行哪一维滤波都会引起另一维特性的变化（例如单独进行频率滤波会改变波剖面形状，单独进行波数滤波会影响振动图形，产生频率畸变），产生不良效果。那么只有根据二者的内在联系组成时间空间域（或频率波数域）滤波，才能达到压制干扰，突出有效波的目的。因此，应该进行二维滤波。

（2）二维视速度滤波的原理

二维滤波原理是建立在二维傅里叶变换基础上的。沿地面直测线观测到的地震波动g（t，x）是一个随时间和空间变化的波，通过二维正、反傅里叶变换得到其频率波数谱G（ω，k_x）和时空函数。

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上式说明，g（t，x）是由无数个角频率为ω=2πf、波数为k_x的平面简谐波所组成，它们沿测线以视速度v^*传播。

如果有效波和干扰波的平面简谐波成分有差异，有效波的平面谐波成分以与干扰波的平面谐波成分不同的视速度传播如图10-8，则可用二维视速度滤波将它们分开，达到压制干扰，提高信噪比的目的。

（3）二维滤波的计算

图10-8 有效波和干扰波以不同成分平面简谐波的传播

二维线性滤波器的性质由其空间-时间特性h（t，x）或频率-波数特性H（ω，k_x）所确定。同一维滤波一样，在时-空域中，二维滤波由输入信号g（t，x）与滤波

算子h（t，x）的二维褶积运算实现，在频率-波数域中，由输入信号的谱G（ω，k_x）与滤波器的频率波数特性H（ω，k_x）相乘来完成。

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由于地震观测的离散性和排列长度的有限性，必须用有限个（N个）记录道的求和来代替对空间坐标的积分。

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式中，n为原始道号；m为结果道号。

由（10.3-15）式可见，二维褶积可归结为对一维褶积的结果再求和。故测线上任一点处二维滤波的结果可由N个地震道的一维滤波结果相加得到。这时每一道用各自的滤波器处理，其时间特性h_m-n（t）取决于该道与输出道之间的距离。沿测线依次计算，可以得到全测线上的二维滤波结果（图10-9）。

与理想一维滤波一样，理想二维滤波也要求在通放带内频率-波数响应的振幅谱为1，在通放带外为0，相位谱亦为0，即零相位滤波。因此，二维理想滤波器的频率-波数响应是正实对称函数（二维对称，即对两个参量均对称），空间时间因子必为实对称函数。二维滤波同样存在伪门现象和吉普斯现象，也可采用镶边法和乘因子法解决。因是二维函数，情况复杂得多，通常只采用减小采样间隔（包括时间采样间隔Δt 和频率采样间隔Δf）和增大计算点数（包括时、空二方向上的点数 M 和N）的方法。

图10-9 二维滤波计算示意图（N=5）

（4）扇形滤波

最常用的二维滤波是扇形滤波。它能滤去低视速度和高频的干扰。其频率波数响应为

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图10-10 扇形滤波器的频率波数响应

通放带在f-k_x平面上构成由坐标原点出发，以f轴和k_x轴为对称的扇形区域（图10-10）。因此这种滤波器称为扇形滤波器。

利用傅里叶反变换可求出其因子为

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当在计算机上实现运算时，需要离散化。对时间采样：t=nΔ，n=0，±1，±2，……，Δ为时间采样间隔，Δ=1／2f_c。空间采样间隔即输入道的道间距Δx。

由标准扇形滤波器可以组构出既压制高视速度干扰，又压制低视速度干扰的切饼式滤波器，进而还可组构出同时压制高、低频干扰的带通扇形滤波器和带通切饼式滤波器。

在叠加前应用扇形滤波，压制的目标可以是面波、散射波、折射波或电缆振动产生的波。至于在叠加后的应用，则可压制从倾斜界面上产生的多次反射或侧面波。

10.3.3 提高纵向分辨率的反滤波处理

由地震波的传播理论可知，在介质中地震波是以地震子波的形式在地下传播。地面接收到的反射波地震记录是地层反射系数与地震子波的褶积。因此，地层相当一个滤波器，使反射系数序列变成了由子波组成的地震记录，降低了地震勘探的纵向分辨率。反滤波的目的就是要设计一个反滤波器，再对地震记录滤波，消除地层滤波的作用，提高地震记录的纵向分辨率。

由前所述，地震记录是地层反射系数序列r（t）与地震子波b（t）的褶积，即

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由于子波的问题，使高分辨率的反射系数脉冲序列变成了低分辨的地震记录，b（t）就相当地层滤波因子。为提高分辨率，可设计一个反滤波器，设反滤波因子为a（t），并要求a（t）与b（t）满足以下关系

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用a（t）对地震记录x（t）反滤波

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其结果为反射系数序列。以上即为反滤波的基本原理。

反滤波在具体实现时，核心是确定反滤波因子a（t）。由于地震子波的不确定性以及地震记录中噪音干扰的存在，实际中要确定精确的a（t）是非常困难的，甚至是不可能的。为此在不同的近似假设条件下，相继研究了很多种确定反滤波因子a（t）的方法，这些方法基本可以分为两大类：一类是先求取地震子波b（t），再根据b（t）求a（t）；另一大类是直接从地震记录中求a（t）。每一类中又有很多不同的方法（就仅反滤波方法之多，说明了反滤波处理的难度）。下面就反滤波方法中具有代表性的几种反滤波进行讨论。

10.3.3.1 地层反滤波

地层反滤波属于先求子波b（t），再求a（t）的方法。该方法要求有测井资料以及较好的井旁地震记录道。首先由声波测井资料转换与井旁地震记录道x（t）相匹配的地层反射系数序列r（t），对r（t）及x（t）求其频谱可得频率域方程为

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即有

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式中B（ω）为子波b（t）的谱，再由子波与反滤波因子的关系有

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经反傅里叶变换得 a（t）。式中 A（ω）为反滤波因子的频谱。写成 z 变换，为 A（z）=，可见A（z）是一个有理分式，要使A（z）具有稳定性，分母多项式B（z）的根必须在单位圆外，即要求子波b（t）为最小相位。

利用测井和井旁地震道求取子波及反滤波因子，即可用该反滤波因子对测线的其他道进行反滤波。

10.3.3.2 最小平方反滤波

最小平方反滤波是最小平方滤波（或称维纳滤波、最佳滤波）在反滤波领域中的应用。

最小平方反滤波的基本思想在于设计一个滤波算子，用它把已知的输入信号转换为与给定的期望输出信号在最小平方误差的意义下是最佳接近的输出。

设输入信号为x（t），它与待求的滤波因子h（t）相褶积得到实际输出y（t），即y（t）=x（t）*h（t）。由于种种原因，实际输出y（t）不可能与预先给定的期望出（t）完全一样，只能要求二者最佳地接近。判断是否最佳接近的标准很多，最小平方误差准则是其中之一，即当二者的误差平方和为最小时，则意味着二者为最佳地接近。在这个意义下求出滤波因子h（t）所进行的滤波即为最小平方滤波。

若待求的滤波因子是反滤波因子a（t），对输入子波b（t）反滤波后的期望输出为d（t），实际输出为y（t），按最小平方原理，使二者的误差平方和为最小时求得的反滤波因子称为最小平方反滤波因子。用它对地震记录x（t）进行的反滤波为最小平方反滤波。

设输入离散信号为地震子波b（n）=｛b（0），b（1），…，b（m）｝，待求的反滤波因子a（n）=｛a（m₀），a（m₀+1），a（m₀+2），……，a（m₀+m）｝，m₀为a（t）的起始时间，（m+1）为a（t）的延续长度，b（n）与a（n）的褶积为实际输出y（n），即

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为地震子波与期望输出的互相关函数。

根据最小平方原理，经推导即可得到最小平方反滤波的基本方程：

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式中，

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为地震子波的自相关函数，

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为地震子波与期望输出的互相关函数。

（10.3-24）式是一个线性方程组，写成矩阵形式为

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式中利用了自相关函数的对称性。该方程中，系数矩阵为一种特殊的正定矩阵，称为一般的托布里兹矩阵，该矩阵方程可用莱文森递推算法快速求解。

式（10.3-27）适应子波b（n）为最小相位、最大相位和混合相位。式中反滤波因子a（n）的起始时间m₀与子波的相位有关，其取值规则由子波及反滤波因子的z变换确定。

10.3.3.3 预测反滤波

预测问题是对某一物理量的未来值进行估计，利用已知的该物理量的过去值和现在值得到它在未来某一时刻的估计值（预测值）的问题。它是科学技术中十分重要的问题。天气预报、地震预报、反导弹的自动跟踪等都属于这类问题。预测实质上也是一种滤波，称为预测滤波。

（1）预测反滤波原理

根据预测理论，若将地震记录x（t）看成一个平稳的时间序列，地震子波b（t）为物理可实现的最小相位信号，反射系数r（t）为互不相关的白噪声，由地震记录的褶积模型，在（t+α）时的地震记录x（t+α）为

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分析（10.3-28）式的第一项

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可见这一项是由反射系数r（t）的将来值决定的。若令第二项为

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^x（t+α）是 t 和t 以前时刻的r（t）值决定的，也就是说（t+α）可由现在和过去的资料预测，称（t+α）为预测值。求 x（t+α）与（t+α）的差值为

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ε（t+α）称为预测误差，或称为新记录。比较（10.3-28）及（10.3-29）两式，当预测值已知时，从原记录x（t+α）中减去预测值（t+α）后形成的新记录ε（t+α）中比原记录中涉及的反射系数少，与子波褶积后波形的干涉程度轻，波形易分辨，即分辨率提高了。

在上式中α称为预测距或预测步长。当α=1时，

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即有

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这时（t+1）时刻的预测误差与反射系数之间仅差一个常数b（0）。

因此，选预测距α=1，预测误差为反射系数，达到了反滤波的目的，此时称为预测反滤波。

当α>1时，预测误差为预测滤波结果，预测滤波主要用于消除多次波，尤其是消除海上鸣震。

（2）计算预测值（t+α）的方法

在预测滤波及预测反滤波中，关键是计算预测值（t+α），其方法如下。

由反滤波方程

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代入预测值（t+α）的表达式

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式中令τ=s-j，c（s）=b（j+α）a（s-j）称为预测因子。a（t）为反滤波因子。预测值（t+α）为预测因子 c（s）与地震记录的褶积。

现在需设计一个最佳预测因子c（s），使求取的预测值（t+α）与x（t+α）最接近，即使预测误差的平方和（误差能量）

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为最小。根据最小平方原理，可得线性方程组

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式中R_xx（τ）为地震记录的自相关函数

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T为相关时窗长度，m+1是预测因子长度。将（10.3-34）写成矩阵形式为

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解此方程组即可求得预测滤波因子c（t），用它对地震记录x（t）褶积可以求出未来时刻（t+α）时的最佳预测值（t+α）。

2. 输入功率2000w反射功率20w时驻波比多少

只有负载阻抗与信号源阻抗完全匹配，才能最大化地把信号从信号源传送到负载。对于基站系统，信号源就是发射机，负载就是天馈线子系统，天馈线子系统包括天线、馈线、射频连接头以及避雷器等附属设备。如果负载和信号源不能做到完全匹配，部分信号就会反射回信号源，这是我们所不希望的，这时就会产生前向波和反向波，这两个信号组合在一起就形成了驻波。驻波比(VSWR)是指驻波的最大电平和最小电平的比值，它的大小从1:1（完全匹配）到∞。



图 由于阻抗不完全匹配导致的反向波的产生

我们可以通过反射系数Γ或者回波损耗RL计算出VSWR，在这里我们列出了反射系数Γ 、回波损耗RL以及VSWR的计算公式：





其中，

Z为输出阻抗
Z0为输入阻抗
Pfoward为前向功率
Preflected为反向功率

可接受的VSWR范围

由于我们无法做到100%的负载和信号源阻抗匹配，总会有部分信号不可避免地被天线反射回来，所以需要确定一个VSWR范围作为衡量可接受的VSWR的标准。通常我们把1.13:1 – 1.38:1 作为VSWR衡量标准。另外，回波损耗也可以作为一种衡量标准，前向功率与反向功率的比值就是回波损耗，如果已知40dBm的前向功率和20dBm的反向功率，那么我们可以计算出回波损耗是20dB，如果已知基站的输出功率是20W、回波损耗是16dB，那么我们可以计算出反射功率是0.5W。通常我们把16 –24dB作为回波损耗的衡量标准。

当发射机到天线的发射通路上出现严重故障，会产生很低的回波损耗，比如射频接头松动、天线故障、馈线损坏、避雷器击穿以及滤波器/耦合器损坏，等等。这种严重的VSWR故障将会导致掉话、误码率升高以及小区覆盖半径变小等故障。

从功率的角度看驻波比

若以功率的观点来看，驻波比可以表示为

3. 已知驻波比（VSWR）,如何计算反射波功率所占百分比

VSWR=(1+K)/(1-K)得到反射系数是反射电压与入射电压之比，平方后是反射功率之比，举例，vswr=3，得到K=1/2，反射功率=（1/2）^2=1/4即25%。

VSWR是衡量传输线上驻波情况的一个定义。它定义为在无损耗的传输线上，电压最大值点的电压和最小值点电压的比值。

虽然在传输线上电流也满足同样的关系，但测量电压总比测量电流要来得简单。如果天线的阻抗匹配和发射机以及馈线的阻抗是匹配的，那么测量到的VSWR应该是1:1也即1。而当阻抗不能完全匹配的时候，VSWR可能为2:1甚至5:1以上。

(3)信号反射系数的计算方法扩展阅读：

驻波比的可接受范围

驻波比等于1时，表示馈线和天线的阻抗完全匹配，此时高频能量全部被天线辐射出去，没有能量的反射损耗；驻波比为无穷大时，表示全反射，能量完全没有辐射出去。

但是无法做到100%的负载和信号源阻抗匹配，总会有部分信号不可避免地被天线反射回来，所以需要确定一个范围作为衡量可接受的驻波比的标准。不一定追求1.1以下的驻波比，小于等于1.5都是可以接受的范围，96%的都发射出去了。

4. 如何计算射频信号功率

反射系数=入射波/反射波=（500-100）/（500+100）=2/3，反射功率=（2/3）^2=4/9
可知有4/9的入射功率被反射，剩余的5/9功率实际能达到B点。所以到达B点的功率=10mw×5/9=5.556mw

5. 反射率的公式

当光束接近正入射（入射角θ约等于0）时，反射率计算公式是：R=(n1-n2)^2/（n1+n2）^2

其中n1,n2分别是两种介质的真实折射率（即相对于真空的折射率）。折射率是指光线进入不同介质时角度发生改变的现象，用sinθ1/sinθ2来表征。θ1，θ2分别为入射角和折射角，即光线与法线的夹角。

通常来说，光线在临界面上的反射率仅与介质的物理性能，光线的波长，以及入射角相关。

在介质折射率连续变化的情况下（例如光线连续穿过两种不同折射率的玻璃时），由于在不同界面的反射光线产生干涉效应，其反射率还与介质厚度有关。从而我们可以通过设计特定厚度和特定折射率的涂层，来得到对特定波长光波有较大反射率或透过率的涂层。一个很重要的应用实例是眼镜，为了保护眼睛增加蓝紫光线的反射率降低其透射率，而在眼镜表面加涂一增加蓝紫光反射率的涂层。

反射率最大值的厚度（2z+1）*λ/4=d*√(n^2-sinα^2)

反射率最小值的厚度 z*λ/2=d*√(n^2-sinα^2)

其中z是序列数，λ是波长，d是厚度，n是折射率，α是入射角

(5)信号反射系数的计算方法扩展阅读

1，光从一种介质射向另一种介质的交界面时，一部分光返回原来介质中，使光的传播方向发生了改变，这种现象称为光的反射.反射光与入射光之比，就是反射率。

2， 反射率与两种介质的折射率、入射角度、光的波长等有关。

3，入射角越大，反射光越强。在一定的介质和波长情况下，当入射角大于某个（临界）角度时，反射光等于入射光，称为全反射。光纤传输就是利用这个现象实现的。

6. 求微波信号雪地的反射系数

这个不清楚。没有这类信息的数据。

7. 同态反滤波

最小平方反滤波和预测反滤波中，一般需要假设子波是最小相位的，当子波未知时，还要假定反射系数满足白噪条件。从原理上说，如果离开了这些假设条件，反滤波就无法实现。本节介绍的同态反滤波，不需要假设地震子波的最小相位性质和反射系数的白噪声性质，主要通过对地震记录的频谱取对数，把地震子波和反射系数分离开来，原则上可以

同时求取地震子波和反射系数以达到反滤波的目的，因此本方法又称作对数分解法。

同态反滤波的原理

(1)求取地震子波或反射系数序列的对数谱序列根据地震记录的褶积模型:

物探数字信号分析与处理技术

由于褶积的原因，使地震子波与b(t)与反射系数ξ(t)混在了一起，在时间域不能简单地分开，为此把(10-2-1)变换到频率域:

物探数字信号分析与处理技术

两边取对数，得

物探数字信号分析与处理技术

将(10-2-3)式另记为

物探数字信号分析与处理技术

表示的谱分别是由X(ω)、B(ω)和Ξ(ω)取对数得到的，因此称作x(t)、b(t)和ξ(t)的对数谱。利用傅立叶变换的线性性质，对(10-2-4)进行傅立叶反变换，可以得到时间域的表达形式:

物探数字信号分析与处理技术

和 是通过求 和 的反变换得到的，所以称为对数谱序列，或称作复赛谱，对应的时间域也称为同态域。上式表明，原来信号的褶积运算最终变成了加法运算，即地震记录的对数谱序列 是地震子波对数谱序列 和反射系数对数谱序列 之和。但是地震子波对数谱序列 和反射系数对数谱序列 的分布位置是不同的，说明如下:

物探数字信号分析与处理技术

上式表明x(t)是地震子波b(t)与反射系数: 的褶积。

由(10-2-6)式可知，x(t)的频谱为

物探数字信号分析与处理技术

其对数谱为

物探数字信号分析与处理技术

其对数谱序列为

物探数字信号分析与处理技术

上述各式表示的图形见图10-2-1。从图中可以看出，地震子波的对数谱序列 集中在原点附近，而反射系数的对数谱序列 是离开原点较远的一系列尖脉冲。说明地震子波的对数谱序列 集中在原点附近，而反射系数的对数谱序列 分布在t轴的不同位置上，他们在一定程度上是彼此分开的。因此可以在原点附近沿t轴展开一长度为2l的时窗，把时窗里|t|≤l的对数谱序列 保留，而把时窗外面|t|>l的对数谱序列 下来的 接近于地震子波的对数谱序列 。见图10-2-2;反之，离开原点l处附近开一时窗，把时窗里|t|≥l的 保留下来，而把时窗里|t|<l的 去掉，就有可能得到反射系数对数谱序列

物探数字信号分析与处理技术

图10-2-1同态反滤波的原理

上述开时窗保留或去掉 ，实质是对地震记录的对数谱序列 进行滤波，类似于频率域的低通、带通和高通滤波，可以设计时间域低通、带通和高通门式滤波。

图10-2-2 时窗的分离选择

例如，为了得到地震子波对数谱序列 ，需要对地震记录对数谱序列 进行低通滤波，其低通时间域滤波器 可写为

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对地震记录对数谱序列 进行低通滤波的输出:

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而为了得到反射系数的对数谱序列 ，需要对 进行高通滤波。其输出:

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通过对地震记录对数谱序列 进行时间域滤波计算出地震子波对数谱序列 和反射系数对数谱序列 之后，就可以分别求出地震子波b(t)和反射系数序列ξ(t)。

(2)根据地震子波的对数谱序列 求子波b(t)(或ξ(t))

首先对 进行傅立叶变换，求出b(t)的对数谱:

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然后对 取指数，得到b(t)的频谱:

再对频谱B(ω)进行反傅立叶变换，就可以得到地震子波b(t)。求反射系数序列的方法与求子波b(t)的方法相同。

图10-2-3(a)10-2-3(b)和是应用同态反滤波计算得出的子波和反射系数序列，它和图10-2-1(a)所示的原始地震子波b(t)非常接近。但是图10-2-3(b)所示的同态反滤波后的反射系数序列与10-2-1(b)中的反射系数序列比较，时间移动了2t₀，而且反向了，这是因为子波b(t)是混合相位的，在计算相位谱时引起的，但这二者的波形是一致的。

图10-2-3 同态反滤波的输出

(3)子波b(t)(或反射系数序列ξ(t))的相位性质对滤波结果的影响

应用同态反滤波分别求b(t)和ξ(t)的关键是在时间轴上将二者分离。对地震记录的对数谱序列 进行滤波时，如何选择滤波器是关键，这就需要了解 和 的分布规律及相位性质。下面主要以子波为最小相位的情况予以说明。

1)地震子波b(t)(或反射系数序列ξ(t))是最小相位的情况

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则b(t)的Z变换为

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由于b(t)是最小相位的，因而其Z变换的根都在单位圆外。这时有

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对上式取对数

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从上式的 中， 前面的系数就是序列 ，因而得到

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上式表明，当地震子波b(t)是最小相位时，它的对数谱序列 是一个单边序列，它只在时间轴正轴上有值，而在时间负轴上为零。显然当反射系数序列是最小相位时，其对数谱序列也是单边序列。

2)地震子波b(t)和反射系数ξ(t)是最大相位的情况

因为b(t)是最大相位的，最大子波Z变换的根都在单位圆内。同样的方法可以证明，其对数谱序列 满足下式

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上式表明，当地震子波b(t)是最大相位时，它的对数谱序列 ^{在时间轴正轴和时}间负轴上都有值，是一个双边序列。

3)当地震子波是混合相位的情况

当子波是混合相位时，其子波Z变换的根在单位圆内和单位圆外都有。假设在单位圆内有m₀个根，在单位圆外有m₁=n-m₀个根，则同样的方法可以证明，其对数谱序列 满足下式

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上式表明，当地震子波b(t)是混合相位时，它的对数谱序列 在时间轴正轴(t≥0)和负轴(t<0)都有值，是一个双边序列。

由以上讨论可知，最小相位的对数谱序列比最大相位和混合相位的对数谱序列简单得多。因此实际中可以把混合相位序列转化成最小相位序列。

4)将混合相位序列转化成最小相位序列

设b(t)=(b(0)，b(1)，…，b(n))是混合相位的，它的z变换为

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如果用αz代替上市中的z，得到

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当取α值使

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则(10-2-22)中 的根 ，它们都在单位圆外，因此， 是最小相位的，其相应的时间序列:

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是最小相位的。 是b(t)指数加权后得到的序列。指数加权后的序列 是最小相位的，它的对数谱序列是只在时间轴正轴有值的单边序列，在对对数谱序列进行时间域滤波时，其低通滤波门可选在时间原点附近的正轴向处。经过时间域滤波所得到的结果:

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这表明指数加权后的序列 经过处理后所得到的滤波后的结果 ，是原来序列b(t)的滤波后结果Y(t)的加权序列。因此，要对 进行指数加权后，才能得到原来序列b(t)滤波后的结果。

8. 简化的非正入射时的反射系数公式与振幅随入射角的变化

根据诺特方程组或佐普瑞兹方程组可以求解出四个反射、透射系数R、B、T和D。但这些系数都有复杂的表达式。因此，已有多位学者对这些系数表达式进行了近似和简化。最常用的近似是假设 都很小，即所谓弱反差近似，使这些比值的平方项或乘积可以忽略，这时，Aki和Richards(1980)得出反射P波的反射系数为

地震勘探

根据泊松比υ与横波速度的关系，可用泊松比代替v_S，得到如下关系

地震勘探

把它代入(1-97)方程，可得

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其中R₀是法线入射时的反射系数，

地震勘探

再进一步考虑反射地震勘探一般的观测范围在α<30°，Shuey(1985)又进一步简化(1-98)式为

地震勘探

Ostrander(1984)计算了一些实际例子，得出下列结论:

(1)如果上下介质的泊松比相等(υ₁=υ₂)，则不论反射系数为正为负，振幅随入射角的增加而减小。

(2)当反射系数为正且泊松比增加(υ₁>υ₂)或者反射系数为负而泊松比降低υ₁<υ₂时，振幅都随入射角的增加而增大，前者发生在气—水界面或在页岩中含气砂岩的顶部。

(3)当反射系数为正且泊松比降低或者反射系数为负而泊松比增加时，随着入射角的增加，振幅首先减小，然后发生极性倒转，振幅向负极性方向增加。例如高波阻抗储层就发生此情况。

一般认为振幅随入射角的变化是一种较好的烃类检测手段，例如，当砂岩储层孔隙中充填天然气，则砂岩与其周围的页岩存在明显的波阻抗差，在气顶产生很强的负反射，而在气底(与水的接触面)会有很强的正反射。这两种情况都会使振幅随入射角的增大而增大。但是，实际情况的复杂性使在没有储层或只有很少的天然气存在时，泊松比也会发生变化。

9. 驻波比的计算公式

电压驻波比计算公式：

VSWR = |V(max)|/|V(min)|

其中，V(max)是传输线上信号电压最大值，V(min)是传输线上信号电压最小值。
也可以利用阻抗计算：
VSWR = (1+Γ)/(1-Γ)
其中，Γ是靠近负载端的电压反射系数，由负载阻抗(ZL)和源阻抗(Zo)确定：
Γ = (ZL-Zo)/(ZL+Zo)
如果负载与传输线完全匹配，Γ = 0，VSWR = 1:1