计算方法心得体会

㈠ 写一篇关于“在暑期生活中，运用数学知识解决现实生活问题”的心得体会。谢谢

国庆节中的一天，我和爸爸吃完午饭玩24。从开始到结束一直是我赢，爸爸说：“你有什么技巧？”我说： “巧算24点”是一种数学游戏，游戏方式简单易学，能健脑益智，是一项极为有益的活动．巧算24点的游戏内容如下：一副牌中抽去大小王剩下52张，（如果初练也可只用1～10这40张牌）任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为（9—8）×8×3或3×8＋（9—8）或（9—8÷8）×3等．
“算24点”作为一种扑克牌智力游戏，还应注意计算中的技巧问题．计算时，我们不可能把牌面上的4个数的不同组合形式——去试，更不能瞎碰乱凑．给你介绍几种常用的、便于学习掌握的方法：
1．利用3×8＝24、4×6＝24求解．
把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6，再相乘求解．如3、3、6、10可组成（10—6÷3）×3＝24等．又如2、3、3、7可组成（7＋3—2）×3＝24等．实践证明，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法．

2．利用0、11的运算特性求解．
如3、4、4、8可组成3×8＋4—4＝24等．又如4、5、J、K可组成11×（5—4）＋13＝24等．

3．在有解的牌组中，用得最为广泛的是以下六种解法：（我们用a、b、c、d表示牌面上的四个数）
①(a—b）×（c＋d）

如（10—4）×（2＋2）＝24等．

②（a＋b）÷c×d

如（10＋2）÷2×4＝24等．

③（a－b÷c）×d

如（3—2÷2）×12＝24等．

④（a＋b－c）×d

如（9＋5—2）×2＝24等．

⑤a×b＋c—d

如11×3＋l—10＝24等．

⑥（a－b）×c＋d

如（4—l）×6＋6＝24等．

游戏时，同学们不妨按照上述方法试一试．需要说明的是：经计算机准确计算，一副牌（52张）中，任意抽取4张可有1820种不同组合，其中有458个牌组算不出24点，如A、A、A、5．

不难看出，“巧算24点”能极大限度地调动眼、脑、手、口、耳多种感官的协调活动，对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助．”
爸爸说“真棒！我送你一个航模。”
看来，生活真离不开数学！

从倒走想到的……

昨天，爸爸心血来潮，给我出了一道题：李白买酒：“无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇花和店，喝光壶中酒。”试问壶里原有多少酒？
短短二十几个字就把我难住了，我咬着笔杆，苦思冥想，还是想不出个头绪。正当我没招数的时候，邻居小伙伴来找我玩，可是爸爸交给我的任务还没完成，是去玩，还是不去玩呢？这时我心里像有两个小人在打架，我沉默了一会儿，终于按捺不住冲出去与小伙伴们玩了起来。
倒走倒走啊，我想起来了，爸爸出的这道可不可以最后面倒推到上面呢？于是，我在草稿上算起来：先算出第三次遇店前应有酒是，再算第二次遇店前的酒：最后算第一次遇店前的酒就是原来的酒：
啊，原来生活中的每一个细节都可以来解数题从中我取得了一个道理：像这些类型的题目如果按照一般方法，顺着题目的要求一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐，解题时，我们就可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的逆关系，从后到前一步一步推算，这种思想比较容易解决数学上的疑难杂症。

由曹冲称象故事所想到的

在三国时期，有人送了一只大象给曹操，曹操很想知道大象有多重,可怎样称得大象的重量呢？大臣们都想不出一个好办法，后来曹操的儿子操冲想出了一个办法：先把大象牵到一只大船上，在船舷上沿着水面划一个标记，然后再“请出”大象，在船上装上一堆石头，……。这种石头换大象的称重法，类似于数学上的“化整为零”，蕴含了一种重要的数学思想方法，那就是把本来不容易解决的问题，通过转化，变成了容易解决的问题。“转化法”的运用，正是曹冲的智慧之所在。
例1、36.3×4.5＋6.37×45
分析与解：此题小数乘法，就是通过把它转化成整数乘法后再进行计算。
原式=3.63×45＋6.37×45 =（3.63＋6.37）×45 =10×45=450
例2. 5千克葡萄的价钱等于4千克雪梨和4千克苹果的价钱之和，3千克苹果的价钱等于2千克雪梨和1千克葡萄的价钱之和。买10千克苹果的钱可以买几千克葡萄？
分析与解：题中有三个量，要设法消去雪梨这个量。根据已知条件，可以得到下面两个关系式：
5千克葡萄的价钱=4千克雪梨的价钱+4千克苹果的价钱…………（1）
3千克苹果的价钱=2千克雪梨的价钱+1千克葡萄的价钱…………（2）
（2）式×2得：
4千克雪梨的价钱=6千克苹果的价钱－2千克葡萄的价钱………（3）
把（3）式代入（1）式，进行转化，可得：买10千克苹果的钱可以买7千克葡萄。
借助“曹冲称象”的故事，向我们渗透一种转化的数学思想方法，培养自觉运用转化思想解决实际问题的意识。运用“转化”思想，不仅可以帮助我们学习许多新的知识，还可以帮助我们解决许多的实际问题。多拥有这些思想，我们便多拥有一份力量。这就是“曹冲称象”这则故事带给我们的思考，赋予我们的启示……

有 趣 的 减 法

大千世界，无奇不有，在我们数学王国里也有许多有趣、神奇的事情。比如说100以内的减法。

我们先来计算一下：98—89、87—78、76—67、65—56……21—12

发现以上结果都是9，也就是说：相差1的两个自然数所组成的两个两位数的差是9。

我们再来计算一下：97—79、86—68、75—57、64—46……31—13

发现以上结果都是18，也就是说：相差2的两个自然数所组成的两个两位数的差是18（9×2）。

我们再来计算一下：96—69、85—58、74—47、63—36……41—14

发现以上结果都是27，也就是说：相差3的两个自然数所组成的两个两位数的差是27（9×3）。

同样的道理：相差4的两个自然数所组成的两个两位数的差是：9×4=36。

同样的道理：相差5的两个自然数所组成的两个两位数的差是：9×5=45。

同样的道理：相差6的两个自然数所组成的两个两位数的差是：9×6=54。

同样的道理：相差7的两个自然数所组成的两个两位数的差是：9×7=63。

同样的道理：相差8的两个自然数所组成的两个两位数的差是：9×8=72。

在日常学习、生活中，往往有许多细微的事情而被人们忽略，我想，只要我们细心观察，肯定会发现更多有趣的事情，探究出更多的奥秘！

我的秘密武器

今天，我和妹妹玩了一个有趣的游戏——抢“二十”。两人轮流报数，每人每次至少报一个数，最多报四个数，从一到二十按顺序连续报数，最后报到20的人为胜利者。每赢一次，就得一分。

我笑咪咪地说：“你先报数。”

“好，1，该你了。”

“2、3、4、5”。

……

“14、15”我说。

“16、17、18、19、20，我赢了。

“你耍赖，最多只能报四个，可报了五个数。”

“我没有。”

这样，你一句，我一句，你赖一回，我赖一回，七嘴八舌，吵个没完没了。可奇怪的是，我每次输的时候，总是自己先报数。

我觉得这里面可能有一定的规律，我试着去寻找。于是，我和自己玩起了“抢二十”的游戏。先是我报数，然后是另一个我报数，抢着抢着，我眼前一亮，规律找到了！只要让对方先报数，按照规则至少报一个数，最多报四个数，后报的人只要把他报的个数补满5的倍数：5、10、15、20、25、30，这样你就一定是胜利者。

我有了这个秘密武器，又去找妹妹玩。我耍了一个小把戏，说：“妹妹，你年龄小，由你先报数。”……哈哈，我赢了。又抢了一局，我又赢了，连抢了五局，都是我赢。妹妹气得把头一甩，说：“不玩了，今天我的运气太差，下次一定要赢你。”可是她哪里知道这其中的奥妙啊，这是我秘密武器的威力。

扑克牌的魔力

“来，快点来，我们来玩扑克牌，算24点”下课了，我就召集小伙伴们一起玩“算24点”的游戏。这个小游戏不仅可以激发我们的学习兴趣，而且还可以提高计算能力。在男生中非常流行，不信，你看！

当小军拿出红桃二，小刚拿出方块三，诚毅甩出黑桃四，我取出草花6时，我的眼前出现了2、3、4、6、这几个数字。它们不断跳动，似乎在向我示威，不过，不用多时我很快地想到整数运算，有1×24，2×12，3×8，4×6，12＋12，16＋8，18＋6等多种解题思路可供选择。因此，很快我就算出了答案。

紧接着桌面上出现5、5、5、1四个数字，我就想到小数的运算，心想：（ ）×5=24，我试了一试，到推得（4.8）×5=24，再由5、5、1这三个数字想怎么得出4.8，这可有点难了，看大伙有的抓耳挠腮，有的苦思冥想，我也思考了好一会儿，突然，我想到平时老师经常谈起小数，用小数来算很简单。由1÷5=0.2，再由5－0.2=4.8，可得算式：（5－1÷5）×5=24。

又如用2、7、7、10算24点时，在整数、小数范围内一时难以找到如何计算的方法，我就想到用分数计算，根据平时老师讲的：先取三个数，使它的结果为24，容易想到2×7＋10=24，这样一来，由此构造一个带分数，使它含有2、7、10这个分数，2 或 这个带分数乘以7其结果为24，列式为（2＋10÷7）×7=24

用扑克牌算24点，是一种智力游戏，我们不仅要用常出现的思路去思考，还要有特殊的方法去解决（如倒推法、构造法），使我们的游戏玩得有趣，玩得有意义。

满400百送300背后的思考
前些天报纸上登出杭州银泰百货推出满400百送300，满就送的活动，顿时点燃了人们的购物热情，妈妈阿姨们也不甘落后，叫上几个朋友，打上一辆车上杭州了。

回来已经是傍晚时分了，妈妈买了满满的两大包衣服，有我的，爸爸的，爷爷奶奶的，也有妈妈自己的，但一算下来却发现妈妈居然花去了2000多元，这下连妈妈都呆住了。

难道“优惠券”并不优惠？

接下来的几天，通过对妈妈描述的情况进行分析和对诸暨各大商场（雄风、雄城、家友、华润、百货公司等几家商场）进行调查，我发现了这样几个值得思考的地方。

1、满400百送300送还的是购物券，从表面上看似乎只要用100元钱就可以买到400元钱的东西，但细细一想，其实是花400元买了700元的东西，因为送还的购物券必须在商场购物，一算折扣，400÷700≈57.1%，即五七折，其实这个折扣在平常商店里也是很多的，但显然没有“满400百送300”更能吸引人们的眼球，更有“吸引力”。

2、商品的价格往往出奇地相似，比如妈妈买来的衣服，个位与十位上的数字往往是九，其中4套是399元，商家牢牢抓住了人们的心理，399元离400元这个送还点还有1元的差距，但就是这1元却使人心理痒痒的，买1件不划算，但找遍商场你会发现根本没有哪两件刚好能凑足400元的，或者不够，或者离下个送还点800元相差不大了，诱使你买更多的商品。妈妈就是这个原因，才不知不觉地买了这么多。

3、使用购物券的地方并不是随心所欲。得到购物券后怎么花出去也并不容易，能使用购物券的地方往往是商场所指定的，不能用购物券随便购买东西，因此有时看到自己喜欢的商品还是要自己再掏钱，或者能用购物券购买的地方，却发现购物券数量与商品价格不符，最后除去购物券外还得自己补上余下的部分，这就又增大了开支。

4、购物券不找零。某个消费者有100元的购物券，当他面对一件120元的商品和一件80元的商品时，通常选择后者，因为这100元的购物券好像是“白得的”，即使损失20元也无所谓。商家就是利用消费者这种心理将80元的商品利润设得较高，再加上不给顾客找回的20元，自然就成了大赢家。

综合以上几点的发现，我觉得对待商场这种促消活动，我们要谨慎加理智，如果真实地需要那还是可以去购买的，毕竟也能得到实惠，但千万不要把它当作一次购物的机会，那可能会得不偿失。

粗 心

那天快要放学的时候，数学章老师把试卷发了下来。当我抬头看，呀！怎么是八十多分，我的心猛惊了一下。我想哭，但又不敢哭。如果在这么多小朋友面前哭出来，那多难为情呀！

我一回到家，就放声大哭。爷爷吓了一跳，以为我有什么事情。我哭着对爷爷说：“我数学考得不是很理想。”奶奶听见了说：“别灰心，下次再努力。”之后我在语文课堂作业本里造了一句句子：“这次数学考得不是很理想，我垂头

丧气的回家了。”

平时，我上课也认真，做作业也认真，为什么这次考得不太理想？我一边改试卷，一边在想，我发现只有一道题目不太懂，其它的全是粗心错的，有减错的，加错的，画错的，题目看错的……啊！原来是“粗心”这个大毛病害了我。

从此以后，我慢慢的改掉了这个粗心的毛病。在以后几次数学考试虽然好了一些，但有时一不小心又会犯这个老毛病。我以后要细心，细心，再细心，把这个“粗心”的大毛病坚决改掉。

生活离不开数学

我觉得学数学离不开我们的日常生活，比如我们买东西的时候，就要用到数学，有一次，奶奶和我去超市买东西，一个营业员把27元的东西算成了30元，我发现了马上告诉了营业员，阿姨直夸我聪明。其实在科学发达的今天数学依然不可缺少，如果航天飞机里的计算过程，不是一丝不苟，那么后果不堪设想。可见数学是多么不可缺少，所以我们应该从小学好数学，长大了做一个对社会有用的人。

我会挂灯笼了

一（4）班 鲁泽昊

舅舅要结婚了，让我和妈妈帮着去布置新房。我很喜欢一串串的小灯笼，妈妈说：“那就挂上几串吧，这个任务就交给你了！”

我打算房间每面墙挂上3串，客厅每面墙挂上5串，得买几串呢？我算了一下，每个房间应该买12串，客厅应该买20串，可妈妈说用不着这么多。这是怎么回事呢？妈妈说：“你先挂墙角上的4串就明白了。”对呀，四个墙角各挂上1串，每面墙就已经有了2串，再各加一串不就有了3串了吗？这样每个房间就只要买8串就行了，可以节省4串那。客厅也可以省下4串，16串就行了。妈妈笑着说：“这回对了！可这么大的主房间和客厅，每面墙才挂这么几串，不够喜气。主房间每面墙挂5串，客厅每面墙就挂8串吧！麻烦你再算一下。”嘿，这回可难不倒我了，主房间应该是4×5―4＝16（串），客厅应该是4×8―4＝28（串）。

妈妈摸摸我的小脑瓜，说：“还挺机灵的，我陪你去买吧！”

有趣的数学发现

三（1）班 杨家一

小朋友们，想必大家对乘法口诀都是再熟悉不过了吧，可你在背的过程中有没有发现一些不易发现的规律呢？我倒是有一个小小的有趣发现，说来一起听听：

二年级学背乘法口诀时，我很容易搞错乘法得数。有一次在背9的乘法时，几次结果搞错，如把“六九五十四”说成“六九五十六”，还有，把“三九二十七”说成“三九二十一”。心里特别难受，也别着争，情急之下，我突然发现，9的乘法得数里面有奥妙：所有得数的几个数字相加都等于9。如1×9＝9，得数是9,2×9＝18，得数中的1和8相加得9；3×9＝27，得数中的2和7相加得9；4×0＝36，得数中的3和6相加得9；5×9＝45，得数中的4和5相加得9；依次类推发现9的乘法口诀内，都是这个规律。这大大帮助我记住乘法口诀不再出错。

回到家，无意中又发现：二十以内（除0和11以外）的数乘以9，得数上的数字相加都等于9。如12×9＝108，得数1和0和8相加的和就是9；13×9＝117，得数中的1、1、7相加就等于9；类推结果都成立。

小小发现，大大作用，帮助初学乘法的小朋友在9的乘法运算中不出错。

从蜗牛爬井想到的

二（3）班 蔡依芸

今天我看到了一道题目：一口井深14米，一只蜗牛从井底向上爬，白天爬4米，晚上后退2米，蜗牛几天才能从井底爬到井口？我认为，白天爬4米，晚上后退2米，那它的意思是说每天只能爬2米，因为2乘7等于14，所以就是7天才能爬到井口。后来我用图画实际画了一下，发现6天就能爬到井口。

为什么实际算和理论计算不一样呢？我仔细想了想才恍然大悟，啊！原来第六天白天爬到了井口晚上就不会再退2米了。算出了这道题目，我高兴地把事情的经过告诉了妈妈，妈妈说：“你做得对，想题目就要想得全面，才会把数学成绩提高上去。”做了这道题目，我体会到做什么事情，都要考虑到实际情况，不能盲目地按理论去计算。

由买东西想到的

三（3）班 赵晗彬

今天下午，我和妈妈一起去超市买东西。超市里人山人海，超市的商品也琳琅满目，看得我们眼花缭乱。

我和妈妈也买了好多东西，我买了一袋奶糖，花了3元钱；还买了一盒巧克力，花了2元钱；妈妈买了一双拖鞋，花了9元钱；还买了一大袋洗衣粉19元。买完后，妈妈让我算算一共要付多少钱？我口算道：3＋2＝5（元） 5＋9＝14（元） 14加19等于多少？虽然这道题很简单，但我一时过于着急，想不出来！妈妈在一旁提醒道：“想一想19接近于多少啊？”我恍然大悟，对了！19接近于20嘛，只要用14加20减1，得数很快出来：33元。算完后，我想：我们学数学不仅仅要动脑筋，还要学会运用，这样，就能给生活带来很大的方便。

我是个小神探

三（4）班 周书宇

我在学奥数时有这样一个问题：在一桩谋杀案中，有两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。

第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”

第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”

第三个证人说：“前面两个证词至少有一个是真的。”

第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”

通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，兇手是谁。

我想来做一回小神探：题目中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这种情况下，要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的，逐步推理。本题的关键是：第四个人说了实话。

因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是说：“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是兇手。

妈妈看了夸奖我说：“你真是个小神探。”听了妈妈的话，我心里美滋滋的。

游戏中的数学秘密

三（3）A 马千寓

今天，我去奶奶家，回来的车上，我觉得很没劲，便和妈妈玩起了数数的游戏：从1开始，可以数一个数字，也可以连续数两个数字，比如1或者1、2，这样两个人轮流往下数，看谁先数到30，就谁获胜。

奇怪，开始数了几次都是妈妈赢，我问妈妈是不是有什么“独门绝窍”，妈妈笑笑说：“不告诉你！”我就自己想啊想。

爸爸正好提出和我比一局，他让我先数，我坚持让爸爸先数，爸爸开始数：“1、2”，我接着数：“3”；爸爸数“4”，我就数“5、6”。这样只要爸爸数一个数时，我就数两个；爸爸数两个数时，我就数一个，我们一直数下去，结果，我先数到30啦！

我高兴得感觉自己的头发直往天上冲！我终于找到数数中的秘诀啦！妈妈问：“真的吗？你找到什么秘诀啦？”我说：“只能数1个数或者2个数，1加2不等于3吗？30除以3刚好能整除。我就始终让自己抢到说3的倍数，这样就能赢啦！”

妈妈笑了，说：“对呀！另外我们还可以倒着进行思考……”

没等妈妈说完，我抢着说：“是不是这样，要抢到30，必须先抢到27；而要抢到27，又必须先抢到24；要抢到24，就要先抢到21……所以只要抢到3的倍数就能获胜。”

妈妈又问：“如果，我们比谁先数到20或者40呢？”

看来，妈妈又想来刁难我，我想了想说：“那我也有办法。20除以3，余数是2。那么，我只要抢到说3的倍数再加上2的那个数就行啦。如果是比谁先数到40，那么40除以3，余数是1，我只要抢到说3的倍数再加上1的那个数就行啦！”

我提出和妈妈再比一比，妈妈连连摆手，说：“我不来啦！我不来啦！”

哈哈，妈妈

害

怕

啦！

挂灯笼

今天，妈妈买了5包小灯笼，每包6个。9个稍微大一点的灯笼，10个水果灯笼，2个漂亮的走马灯和4个大灯笼。准备挂灯笼啦！我在想：

5×6+（9+10+4）

=30+23

=53（个）

竟然有这么多的灯笼？那每棵树得挂多少灯笼呀？我算了一下，我们家有5棵粗壮的大树，17棵小树，哇噻！每棵小树要挂3个灯笼。你们肯定会觉得很奇怪，那大树怎么办呢？你不用担心，因为大树大多数是金辣椒、金盆等东西。挂好了灯笼，我才想到，挂灯笼怎么也会用到数学呢？

三（1） 黄凯杰

我的早晨

早晨6点30分，我按时起了床，用大约14厘米长的牙刷刷牙，接着用大约深6厘米的水洗脸，然后妈妈为我做了鲜美无比的面条。吃了面条，就去了离家1千米左右的学校上学，来到三（1）班教室，我就拿出语文书翻到第2页，读起了第1课《燕子》。

㈡ 学习了《建筑工程计量与计价》心得体会1500字

《建筑工程计量与计价》学习心得
《建筑工程计量与计价》是建筑工程及相关专业的一门重要专业课，本课程的主要任务是学习建筑工程造价的构成及工程造价计价的原理和方法，掌握建筑工程造价确定的方法及工程量计算规则。通过本课程的学习，要求能参考相关资料完成一套建筑工程施工图工程量清单的编制，会进行投标报价。
该课程介绍了建筑工程计量与计价基本知识，介绍了定额计价模式与清单计价模式下，建筑工程费用构成的方法与不同，介绍了建筑工程消耗量定额的基础知识，阐述了建筑面积计算规则及方法，分章节说明工程量计算规则，并以实例解释计算规则的应用方法。
熟读教材内容，结合当地建筑工程定额掌握定额的组成及应用方法，读懂建筑工程施工图，大量练习工程量的计算，多读，多看，多练，不断实践。
一、学习要点
（一）建筑工程计量与计价基本知识
1. 定额计价模式
定额是在合理的劳动组织和合理地使用材料和机械的条件下，完成单位合格产品所需消耗的资源数量的标准。定额按生产要素分，劳动定额（人工定额）、材料消耗定额、机械台班使用定额
2. 工程量清单计价模式
工程量清单是表现拟建工程的分部分项工程项目、措施项目、其它项目名称和相应数量的明细清单。
工程量清单项目设置规则概括为：四个统一，统一的项目编码，统一的项目名称，统一的计量单位，统一的工程量计算规则。
3. 预算定额
预算定额是确定一定计量单位的分项工程或结构构件的人工、材料、施工机械台班损耗量的标准的技术经济文件。
（二）建筑面积计算
建筑面积是指房屋建筑各层外围水平投影面积相加后的总面积。也是建筑物外墙勒脚以上各层水平投影面积的总和。包括使用面积、辅助面积和结构面积。
（三）工程量计算规则
根据《建设工程工程量清单计价规范》GB50500

㈢ 如何提高学生的计算能力心得体会

计算能力一看天赋，二看练习。
在我看来，天赋决定了一个人的下限，而训练，练习决定了一个人的上限。
天赋肯定是改不了了，毕竟咱们普通人也没有一朝顿悟，世人皆是蝼蚁的境界。那剩下的计算能力最重要的不就是练习吗？
我认为练习这一方面讲究不多，咱们现在大部分是应试教育，不就擅长这个吗？平时就死练一种方法，等练到恶心，练到看到题就想吐，不仅是下意识的反应，都有肌肉记忆了，那不就什么都会了。
刷题嘛，不难，就看能不能坚持了，毕竟高考就要这样过来，提前找找感觉，至于成不成的嘛，不寒碜。

㈣ 计算机 心得体会范文

原文：人不知而不愠，不亦君子乎！

注释：自己有学问有道德，别人却不知到或不了解，我也不恼怒，（我）不也是一位道德修养很高的人嘛！

体会：我觉得还应有一种解释，就是别人的知识少，修养不够，或反应慢一些，面对这样的人我也不恼怒，而应该耐心指导他，在指导别人的时候互相学习，共同提高。

原文：其为人也孝悌，而好犯上者，鲜矣。

注释：一个孝顺父母、尊敬兄长的人，是不会冒犯长辈和上司的。

体会：确实，应该孝悌第一，才学第二，德才兼备，德在才先。

原文：无友不如己者

注释：不与在各方面比自己差的人交朋友

体会：我不是完全理解或赞同（原文或译文），如果都不跟比自己差的人交朋友，那么谁跟你交朋友呢？！每个人都有长处，哪怕一点点，取长补短是正确的。当然，交友勿烂——要有底线，比如不孝悌者勿交；勿太多——精力不够，太多了就不能交叫友了，只能叫熟人、认识而已；古代，交友不慎是要丧命灭族的，《资治通鉴》中三国那部分提到不少，以后补充。

原文：不患人之不己知，患不知人也。

注释：不要担心人家不了解自己，要忧虑自己不理解别人

体会：确实，一是要尽可能了解和理解、宽容别人，因为每个人的出生、成长环境都不同，所以行为模式等文化差的存在是正常的；二是不要总想着别人的问题和错误，多想自己做好没有，做到最好没有，自己做好了，别人自然会看到、知道和感觉到，别人也自然会努力做好了。

原文：…，四十而不惑，…

注释：…，四十岁时已经明了各种事情而不会感到疑惑，…

体会：确实，我的目标也是这样。准备花几年时间把历史、传统文化的书籍都研读一遍；多沟通；多思考。

原文：先行其言而后从之

注释：子贡问怎样算是君子，孔子说：“把自己要说的话先去兑现，兑现后再说出来，这样才称得上一个君子”

体会：有道理。我应该这样去做。

原文：文质彬彬，然后君子

注释：质地和文采配合适当，这才是一个君子。

体会：文章的内容和形式都重要，内容是基础，形式是表象，搭配好就更吸引人了；做事情，方向和方法都重要，方向错了是大错，方法错了是小错；做人，思想和外在打扮都重要。

原文：知之者不如好之者，好之者不如乐之者

注释：懂得某种学问的人比不上喜爱这种学问的人，喜爱这种学问的人比不上研究这种学问产生快乐的人

体会：非常有道理，我自己的亲身实践充分地证明了这一点：? 我的英语、计算机水平一般，却从事信息化工作十年，且小有所成；

? 虽然我是工科出身，但是，近期，我喜爱并研究起红山文化和历史来，如醉如痴，乐此不彼。研究文献、逛博物馆、遛古玩城和地摊，写文章阐述我的观点，等等。估计要成为一个文史学者了。呵呵

? 我做事情从来不想钱，我只是喜欢去做，做下去，必然会有价值，价值必然会最终体现到金钱上，但价值绝对不仅仅体现在金钱上。其实，能做自己喜欢的事情，这本身就体现了巨大的价值。一句话：不要为钱和别人的喜好去做事，要做自己喜欢做的事情。

原文：知者乐水，仁者乐山。知者动，仁者静。知者乐，仁者寿。

注释：聪明的人喜欢水，经常活动，心情愉快舒畅；有仁德的人喜爱山、恬静、健康长寿

体会：观察自身和周边人员的性格、行为等，这个观点很正确。我总体上来讲属于‘知者’，对水有感觉，爱运动，积极乐观，再不顺心的事情，打场球就完全快乐起来了。

我喜欢水，跟我小时候的经历也许有关吧，小学的时候，有时只上半天课，那半天就跟父亲到附近河里用网挂鱼，河在山根下顺着山势流动，从兴安岭里出来，汇到鸭鲁河、嫩江、松花江、黑龙江，到海。河里挂鱼、河边玩耍、看着山和云，那是一段快乐的时光。

总体上来讲‘知者’重人生的质量；‘仁者’重人生的长度。‘仁者’让世界稳定，‘知者’让世界多姿多彩！

原文：子曰：自行束修xiu以上，吾未尝无诲焉。

注释：只要是带着薄礼来求见我的，我从来没有不给予教诲的。

体会：看来送礼是传统啊，圣人也喜欢送礼，圣人也是人，也需要生活啊。不知道送厚礼的话，孔子会如何对待。呵呵

原文：子曰：“不愤(1)不启，不悱(fei)不发。举一隅(yu)不以三隅反，则不复也。”

注释：孔子说：“教导学生，不到他想弄明白而又不能弄明白的时候，我不去点拨他；不到他想出来却说不清楚的时候，我不去启发他。教给他一个方面的东西，他却不能由此而推知其他几个方面的东西，那就不再教他了。”

体会：相关的言论，孔子说：“中人以上可以语上也；中人以下，不可以语上也。”核心是因材施教，因时施教，启发式教育。关键还是要弄清楚你的孩子、学生、下属和你要培育的对象的性格、智力、兴趣等，有针对性地教育和培养。可惜，我们国家几千年封建思想的影响巨大，封建王朝不是选拔皇帝，而是培养、辅佐皇帝，全国人民陪着皇帝成长，这个皇帝不坏就算全国人民幸运，否则，全国人民将陷入无边的灾难之中。培育孩子也一样，人家的孩子学钢琴，就要让自己的孩子学钢琴。培育孩子的事情再专题阐述。

与谁共事？

原文：子曰：“暴虎冯ping河，死而无悔者，吾不与也。必也临事而惧。好谋而成者也。”

注释：孔子说：“赤手空拳和老虎搏斗，徒步涉水过河，死了都不会后悔的人，我是不会和他在一起共事的。与我共事的一定要是临事能小心谨慎，善于谋划而能取得成功的人。”

体会：能控制的莽撞之人还是可以适当用用的，一线战士就是需要勇和执行力；谋划是领导层和谋士的事情，大领导主要是用人和明辨是非，决策吧。谋划清楚了，意志就坚定了，行动计划就有了，就可以争取到需要的资源，所有工作就可以顺利开展起来了，所以，谋划是根本。而谋划需要思维、思想和学识、经验、调研、沟通等。有些人小心倒是小心了，但不能谋划或谋划不清楚，就成了犹豫不绝。结果贻误战机和机遇，每天就只能干些下属能干的事情，下属嘛，就再干他的下属该干的事情，结果整个团队就成了无头的苍蝇，勤奋、忙乱和瞎撞。

孔子说：“到五十岁学习《易》，我便可以没有大的过错了。”

我也在50岁的时候再学《易》吧，太难看懂了。呵呵

【原文】 子曰：“我非生而知之者，好古，敏以求之者也。”

【译文】 孔子说：“我不是生来就有知识的人，而是喜爱古代的文化，勤奋敏捷地去寻求来的啊。”

【体会】他之所以成为学识渊博的人，在于他爱好古代的典章制度和文献图书，而且勤奋刻苦，思维敏捷。这是他总结自己学习与修养的主要特点。我也要象孔子那样，要象个小学生一样来认真学习古今中外的文化典籍，而不是仅仅学习一些自然、科学知识（这方面我是大学毕业），可是，在人生、人文、社会这所大学里边，我现在可能刚上小学。

孔子（前551-前479），距今2500多年，我们觉得孔子就是标准的古代人了，可是，在孔子眼里也有古人，包括《论语》里提到和引用的话语好多都是《诗、书、礼、易…》等书中的。也就是夏商周的人在他那里就是古人了。在夏商周的人眼里，红山文化及红山先民应该是他们崇拜的对象吧。其实，几千年下来，科技日新月异，技术迅猛发展，人们的生活方式发生了翻天覆地的变化，那么，有什么东西是不变的呢？人性！

【原文】 子曰：“不在其位，不谋其政。

【译文】 孔子说：“不在那个职位上，就不考虑那职位上的事。”

【体会】书上的评论：“不在其位，不谋其政”也就是要“安分守己”。这在春秋末年为维护社会稳定，抑制百姓“犯上作乱”起到过重要作用，但对后世则有一定的不良影响，尤其对民众不关心政治，安分守礼的心态起到诱导作用。应当说，这是消极的。

我觉得有道理，中国人喜欢做一个良民，只要还能吃上饭、没冻死就不会起来造反。反映到商品社会里，就是中国缺乏认真的消费者，吃饭硌了牙、麦当劳的薯条软塌塌都不当回事儿，工业品、日常用品都是这样，能用、能对付就行了，没人去较真，结果就是厂商也不想着提高产品质量了；更体现在中国人的政治意识淡漠，20年的市场经济把人们的注意力都吸引到经济方面去了，温饱——小康——大康…，破坏环境来换钱，人文、文化成为沙漠，政治更是不知为何物。个人认为，美国崛起和强大的原因就是有一个良好的政治体制。

只抓经济，不抓教育；抓教育就是升学和灌知识，不塑造人，不提人文，结果培育的大多是知识机器。

不在其位，不谋其政也就罢了；在其位，不谋其政，有人是这样；在下位，谋上政，乱；在上位，谋下属的政，更乱。呵呵

【原文】 子曰：“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”

【译文】 孔子说：“聪明人不会迷惑、困惑、疑惑，有仁德的人不会忧愁，勇敢的人不会畏惧。”

【体会】 有道理，但我认为‘知’ 是根本和关键。‘知’是知识、智力、智慧、思维、思路、方法等，具备这些，工作、生活都会清楚、简单，人生就是做事，事情就是做和不做，为什么做，为什么不做，做和不做都有有利有弊，不是要找到一种没有弊的解决方案，而是要分析怎么做的利大于弊，利最大。做事需要资源、时机，分析清楚了，信心坚定了，资源就来了，事情就顺利了，有条不紊地进行了，当然不必要惑、忧、惧。

我自身的工作、生活实践已经证明了这个道理，有几年，很努力，可是效果不理想，于是困惑、忧虑，甚至恐惧。近1-2年各方面加强学习、沟通、思考后，好多了。我现在做事之前，充分调研、分析，做这个事情的意义、价值、紧急程度、相关人员的需求、需要的资源、时机等等，弄清楚后，如果要做，就有条不紊地沟通和推进之。对我来讲，没有什么难事，只有做和不做的事情，决定做了，去做就是了，做就做成。人生，活的就是一个品牌和形象，和企业一样需要经营。

达

原文： 夫达也者，质直而好义，察言而观色，虑以下人。在邦必达，在家必达。

译文：所谓达，那是要天性质朴正直，内心喜爱道义，善于揣摩对方的话语，观察对方的神色，经常想着谦恭待人。这样的人，就可以在国君的朝廷和大夫的封地里通达。

体会：这也许是做臣子的道理，打工之人应该遵守的道理。

【原文】攀迟问知。子曰：“知人。”子曰：“举直错诸枉(1)，能使枉者直。”

【译文】 樊迟问什么是智，孔子说：“了解人。”孔子说：“选拔正直的人，罢黜邪恶的人，这样就能使邪者归正。”

【体会】了解人、用人的能力对领导来讲很重要。封建王朝重在选拔大臣，不可能选拔皇帝，选拔也只是在皇帝的儿子里选，大多数也选不了，立长子为太子，省事。导致家天下中的皇帝一代不如一代，末代皇帝都生不出孩子了。

而美国事选‘皇帝’——总统，选上还要受到监督，而且还不许你干太长的时间，厉害。中国封建王朝的好多想法好有一比：一群老鼠想了一个好主意，如果给猫脖子上戴一个铃铛，猫一来就听到响声了，老鼠们为这个主意高兴、欢呼，高兴后研究怎么做到的时候，傻眼了。而美国的宪法虽然没有提人权、民主等，但几条基本的政治制度却实实在在地保证了人权和民主。

【原文】 子曰：“以不教民战，是谓弃之。”

【译文】 孔子说：“如果不先对老百姓进行作战训练，这就叫抛弃他们。”

【体会】我们日常工作、生活中经常这么干，基层员工不充分地培训、训练他们就开始工作了，结果浪费了大量的时间、机会，这是大家都知道的。更糟糕的是，中、高层领导，因为亲信、关系、业务高手等原因到了领导岗位，实际上是从业务、技术、无知等转型到管理和领导，可是自己没有这个意识，提拔他的人也没有这个意识，放任自由地就干什么了，结果就是乱糟糟。

要做好事情和事业，选合适的人，然后培训、指导之。

【原文】 子曰：“不患人之不己知，患其不能也。”
【译文】 孔子说：“不忧虑别人不知道自己，只担心自己没有本事。”

【体会】确实，我以前就是这么想的，做了点事情就到处张扬，很怕别人不知道。其实，做了对‘别人’（同事、家人、社会、民族…）有利的事情，别人最终都会知道，而且肯定会有与你的付出相适应的回报，只是回报的周期有长有短，且回报周期越长，收益越大！（大家想一想，小时工按小时计算报酬、星期工、按月拿工资的上班族、按年计算收入的经理人、规划多年发展的企业家、老板，不计收入得失的政治家和领袖，如：孙中山、毛泽东…）但收益不仅仅是经济效益！同样，做了对‘别人’不利的事情，同样会得到不好的回报。

当然，如果你不是一个团队中的领袖、大领导的话，也存在一个‘良禽择木而栖，良臣择主而侍’的问题，既要跟有胸怀、魄力、魅力…等的领导和明君，这样，你的付出才有合适的回报，因为这样的领导看得见你的付出，他们是研究人、关心人的需求的领导，而不是天天忙于做事情的‘领导’。

《资治通鉴》中有许多谏臣，忠君，但丧了命，甚至灭门，是愚忠、蠢忠！为什么？因为他的君不明，自己又不讲方法、策略。

总之，无论领导和下属，不是看你嘴上说什么，而是看你实际做了什么，怎么做的，做了，别人自然知道，只是知道的周期而已。

人活着，活的是什么？品牌、信用！和企业一样，只有人的品牌、信用是跟着人走的，好的品牌和信用到哪里都能够取钱！所以，我们要不断地塑造和维护好自己的品牌和信用，而不需要存储过多的金钱。

【原文】 子曰：“不逆诈，不亿不信，抑亦先觉者，是贤乎！”

【译文】孔子说：“不预先怀疑别人欺诈，也不猜测别人不诚实，然而能事先觉察别人的欺诈和不诚实，这就是贤人了。”

【体会】我觉得这就谈到了管理和领导，对待下属（经过招聘筛选后的人员），应该这样。但肯定需要一定的方法和程序，员工中有责任感、进取心的人基本不需要管理，约占20%；要即使发现和辞退不适合这里工作的员工（极少数是不太好，大多数更适合其它方面的工作，或者文化不兼容），约占10%；中间的70%员工需要的是激励、指导、引导，促使他们工作和进步。

【原文】子曰：“何以报德？以直报怨，以德报德。”
【译文】孔子说：“用什么来报答恩德呢？应该是用正直来报答怨恨，用恩德来报答恩德。”
【体会】孔子不同意“以德报怨”的做法，认为应当是“以直报怨”。这是说，不以有旧恶旧怨而改变自己的公平正直，也就是坚持了正直，“以直报怨”对于个人道德修养极为重要，但用在政治领域，有时就不那么适宜了。

我还是赞成‘以德报怨’的，也就是要理解、宽容那些性格怪僻的人、伤害了你的人，因为你不能做到理解和宽容，你就已经受伤害了，且会持续地受着伤害！我们还应该教化他们，让他们觉悟，爱他们。但要注意，不要搞成农夫和蛇的关系和下场。

【原文】 子曰：“人无远虑，必有近忧。”
【译文】 孔子说：“人没有长远的考虑，一定会有眼前的忧患。”

【体会】 也就是要计划和规划，做一件事情要这样，工作、公司经营也是这样，特别是人生规划和职业规划，更是一个人一生中最重大的事情，应该及早思考，并在合适的时候相对地明确自己的人生规划，否则，就如一叶小舟飘荡在海上，即使努力划浆，也极有可能原地打转。

如果说最近有什么忧虑的话，那极有可能是以前没有谋划。事前谋，成！

【原文】 子曰：“躬自厚而薄责于人，则远怨矣。”
【译文】 孔子说：“多责备、反省自己，而少省察责备别人，那就可以避免别人的怨恨了。”
【体会】 人与人相处难免会有各种矛盾与纠纷。关键是遇到这种情况的时候怎么对待。我现在认识到，任何时候首先要省察自己，找出自己做的不好和改进的方面，比如说话方式、方法、时机等，自己的言行是否端正，说到底就是修身，修自己，自己修好了，一切都好了。

别人看到你自己修身，遇事总是寻求改进自己，那么，人家也会如此，大家都省察自己，就和谐了。

有的人会说，我已经做的好了，可是别人还是不配合、不理解等。其实，自己做的是否够好，是否足够好，不是自己说了算的，应该由别人评论，用事实说话，和谐了就说明你真的做好了。

当然，如果碰到无法礼遇的人，我们只能暂时避而远之；但一个人是否无法礼遇，不是一个人来认定的，应该由大家来认定。

【原文】 子曰：“君子不以言举人，不以人废言。”
【译文】 孔子说：“君子不凭一个人说的话来举荐他，也不因为一个人不好而不采纳他的好话。”
【体会】 说话好听的人不一定是对你好的人，但总说让你高兴的话的人基本上不是对你好的人；说话难听的人不一定是对你不好的人，但总是说难听的话的人肯定非上品。

最终还是要察其言，观其行，透过现象看本质。

㈤ 小学五年级五百字的数学学习心得怎么写

学习数学,重要的是理解,而不是像其它科目一样死背下来.数学有一个特点,那就是"举一反三”.做会了一道题目,就可以总结这道题目所包含的方法和原理,再用总结的原理去解决这类题,收效就会更好.学习数学还有一点很重要,那就是从基本的下手,稳稳当当的去练,不求全部题都会做,只求做过的题不会忘,会用就行了.在做题的过程中,最忌讳的就是粗心大意.往往一道题目会做,却因粗心做错了,是很不值得的.所以在考数学的时候,一定不要太急,要条理清楚的去计算,思考;这样速度可能会稍慢,但却可以使你不丢分.相比之下,我会采取稍慢的计算方法来全面分析题目,尽量做到不漏.学习是一生的事情,不要过于着急,一步一个脚印的来,就一定会取得一想不到的效果.

我一直认为数学不是靠做题做出来的.方法永远比单纯做题更重要.在第二天讲课前,最好先预习一下.用笔划出不懂的地方.在老师讲课时认真听讲,并在原先预习时不懂的地方加以解释,写好步骤.在课上,有选择的听和记老师所讲的例题.首先要听懂,然后再记下些重要的步骤和方法以及易错的地方和自己不容易想到的地方.还有,重要的定理和结论一定要熟记.课后要善于总结本堂课的内容,并在脑中梳理自己不懂的但经老师讲后才明白的例题的步骤,梳理1至2遍.课后要按时完成作业.一般先看老师钩的题目,看完后再自己动手做一遍.至于那些老师没有钩的题目,可选择性的做一些.若想的时间太久,就需要"放弃"了.

数学的学习是一个积累和运用的过程，因此，学好数学的一个必要前提便是要注重平时的积累和运用。而在日常时对于数学的学习还是有许多方法的。

数学学习做题是极为必要的，因此做题之后的总结工作也是极为重要的，否则只能是杂而不精，无法将知识融会贯通，合理运用。总结工作具体而言我们可以这样做：一，常备改错本，将自己做错的题目摘录下来，并将自己的错误做法和正确的作法一同记录下来，，以此警惕自己；二，正确把握考点，抓好典型，以此举一反三，我们在做题的过程中应该对题目考察的知识点有一定的认识，不可盲目做题，在此过程中我们可以提取一些具有某知识点的典型考法的题目，将其拟于一个标题之下记录，以此不变而应万变；三，对于许多学有余力的同学而言，仅有以上两点，想要得到进一步的提高还是远远不够的，我们还需要对解题方法有一个思辩的理解，从许许多多

的解法中选取适于自己的解题方式，而对于一些灵活的题目而言，我们还应该在做题中对许许多多的情况进行总结，以便在考试中将方法灵活运用，防止死做与定性思维的产生。

㈥ 求一篇平法识图与钢筋算量的实训心得，400字左右

写作思路：根据自己实际进行的平法识图与钢筋算量的实训写出自己的心得体会，包括计算的细节。

正文：

钢筋砌筑工程实训心得体会实训心得当得知专业实训要开始的时候，这就要把我们学了一个学期多的施工理论知识与实际相结合了，难免心中充满着无比的好奇与期待。

虽然看过不少的施工视频，但还是不减心中的兴奋。是新的环境，是新的开始，更是新的考验。
自5月17日起我校开展了为期4天的钢筋绑扎和砖墙砌筑实训。

如今，在绵绵细雨中，实训也暂时告一段落，时光之流，宛若时间飞逝，感觉很急促，感觉很充实。在这次的实训中， 我们学到了很多，遇到了许多困难，同样也解决了不少的难题，这也使得我内心有了那么一点点的小小的成就感。

一路跟着师傅学习，也有和教科书里稍有出入的地方，而正是这点稍有出入，让我们丰富了实践的经验。在开始实训之前我们将需要用到的红砖搬到实训场地，每人30块。

一块砖大约有5斤，这对女生来说有一-点困难，好在有热心的男生帮忙，很快就把1500块砖搬到了指定位置。都说团结就是力量，这不就是个例子吗?随后我们一一个班，分成了8个小组，4个小组一个项日，完成后轮换。

我的组先开始的是钢筋绑扎实训，接着就是砖墙砌筑实训。

实训的课程，让我们获得对工程造价一钢筋平法计算和钢筋工程施工的更多认识，掌握一定的施工实际操作技能及相关技术与质量标注，同时激发我们对学习的热爱，对专业的热爱，对劳动的热爱。

首先我们要挑选出直的有足够长度的φ6钢筋，要直的是因为在钢筋弯曲成箍筋时方便控制间距，而要足够长度是因为要避免钢筋弯曲后不能形成闭合的箍筋。

钢筋看起来不算粗，但拿起来着实是有 点分量的。挑好钢筋后就可以将其放到手动的钢筋弯曲机上进行弯曲了。开始弯长度短一一点，成90度，再弯曲22m也是成90度，重复此步骤3遍，最后将剩余部分弯曲约135度，这样一个闭合箍筋就完成了。

就这样做13个箍筋，每边22m。 下.步就可以将箍筋套入主筋进行绑扎了。需要注意绑扎搭接接头要相互错开，用扎钩时抓住尾端转即可不然就会很费力。箍筋间距20m，最好是在套箍筋前就画好标记方便放置箍筋位置。

最后拆除铁丝用榔头将箍筋敲直，清理现场。钢筋绑 扎的实训就完成了。说起来好像是容易的，真正在做的时候真的不易，组里的男生女生都干得大汗淋漓。

个臭皮匠，顶个诸葛亮。 实训结束了，我坚信通过这段时间的实习，所获得的实践经验对我终身受益，在我以后的学习工作中将不断的得到验证，我会不断的理解和体会实习中所学到的知识。并且更加认真学习理论知识。

㈦ 云计算学习心得体会

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一、【云计算】的正确理解：云计算普遍认为是一种商业计算模型。它将计算任务分布在大量计算机构成的资源池上，使用能够按需获取计算存储空间和信息服务。
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㈧ 高等数学学习心得体会_高等数学学习总结

大学里的高等数学课程，如果仅仅是作为一种数学工具的功能的话是正在逐步缩减，但作为一种思维 方法 的载体的功能(例如训练学生辩证思维、逻辑推理、发现同题及分析同题的能力)却愈显风采。下面是我为大家收集整理的高等数学 学习心得 体会，欢迎大家阅读。

高等数学是大学工科课程里的一门重要基础课。它的重要性，我相信大家都了解。高等数学是许多课程的基础，特别是与以后的许多专业课都紧密相连。因此，学好高等数学对于一名工科学生来说，至关重要。

然而，对于许多同学来说，高等数学是一门头疼的学科。如何学好高等数学呢?下面是我个人在学习过程中的一些心得体会。

首先，我觉得高等数学与以前我们高中所学的数学有一点不同。高等数学注重的是一种数学的思想，比如说微积分思想，极限的思想。强调的数学的逻辑性与分析性。不像高中数学那样注重技巧性。因此，在学习的过程中，课本的知识至关重要。对于课本上面每一个概念、定理、公式、例题，都要理解清楚。特别是对于定理、公式的推导过程，不仅要弄懂每一步的推导过程如何来，而且还要学会自己推导。因为学会自己推导，更有助于我们的记忆和应用。我的 经验 是，在理解的基础上去记忆公式，而不是一味的死记硬背。

第二，学习数学是不能缺少训练的。一定量的课后习题训练，不但可以让我们巩固我们学到的知识点，学会如何在实际中应用我们学到的公式定理，还有助于我们熟悉考试的各种题型。还有，题目并不是越多越好，题海战术不仅浪费大量的时间与精力，而且效果也不好。我的经验是，每做完一道题都要 总结 一下，特别是做错的题目，这道题的知识点是哪些?应用了哪些公式定理?错在哪里?为什么会做错?学会思考，学会总结，这样做题才能达到事半功倍的效果。

最后，学好数学是一个坚持的过程。高等数学的内容环环相扣，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一节一节，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。这样，对于后面的学习会造成很大的影响。

随着科技日新月异的发展和电脑无孔不入的应用.高等数学课程作为一种数学工具的功能正在逐步缩减.但作为一种思维方法的载体的功能(例如训练学生辩证思维、逻辑推理、发现同题及分析同题的能力)却愈显风采。一个多元线性方程组如何去解?我们可以交给电脑去完成，只要会正确使用数学软件。但一个实际问题如何通过数学建模转化为一个数学同题，除了必须具备许多综合的知识，还需要具备一定的分析推理能力，这种素质自然可以通过生活来积累，但如果能够通过象高等数学这样的课程作为载体来进行系统训练，将是事半功倍的。

以往对工科学生来讲，高等数学的教学比较偏重于计算方法的训练，例如，如何计算极限，计算导数，计算积分，通过熟练掌握计算方法来加深对概念的理解，这是学习高等数学的一条捷便之径。但是从二十一世纪更加需要创新人才的观点看，从高等数学的概念中直接去提炼一种分析推理能力及实际应用能力，将是更加重要的。(当然，在改革的力度还未到位时，由于教学要求及教材等原因.学习高等数学并不能仅偏重于概念，对基本的计算方法必须熟练地掌握。如今就如何学好高等数学的基本概念。提出一些拙见供同学参考。

1)从正反两个层面理解概念

我们观察一个物体，如果仅仅通过平视去进行，那么对这个物体的认识往往是局部的，甚至是扭曲的，只有从正视、俯视、侧视的多角度去观察与综合，方能得到物体正确的空间定位。观察事物尚且如此，要理解一个抽象的概念，如果只有单向的思维方法，肯定只能浅尝辄止.只有从正反两个方向去透视概念，才能较深地抓住概念中一些本质的东西。这里所说的正方向思维应该包含几层意思：一是概念的定义是如何叙述的，二是概念所尉带的条件是必要的.还是充分的?三是概念产生的实际背景是什么?这里所说的反方向思维又应该包含两层意思：一是对一个概念的否定是怎样表达的?二是如果错误的理解了概念中的一些条件会导致什么样的错误结果。

2)学与问

古人说.学起于思，思源于疑，这话道出了做学问的过程中发现问题提出问题的重要性。高等数学的讲课进程一般都比较快的，课堂上讲的内容不能完全听懂是正常的现象，同题在于听不懂看不懂的内容是随意放弃呢还是努力请教老师请教同学直到学懂为止。如果轻易放弃.时间一长就会失去学习的信心，所以一定要以锲而不舍的精神边学边问。不过这样的提问还只是被动的，主动的提问应该是自己在学习过程中去发现同题。如何才能

发现问题呢?首先要提倡自学，在自己预习教材(也锻炼了一种自学能力)的过程中很容易发现不懂的同题，带着同题再去听课就会有的放矢。其次是听课之后做习题之前要认真复习消化课上的内容，只要积极地开动脑筋，从中是会发现很多问题的，在这个较深层次上发现问题又去解决问题(可以通过同学与老师的帮助)，那么分析问题的能力就会有一个质的提高。

3)做习题与想习题

学习数学，不做习题是绝对不行的.因为耐概念究竟理解与否检验的最后关口是习题。一道习题不会做或者做错了，肯定是某些概念投有消化好，带着习题再来复习理解概念，拄往会摩擦出新的思想火花。学习高等数学的过程中，我们不主张采用中学的题海战，但对每道习题不但要弄懂正确的解法，而且尽量要考虑能否有多种解法。这还不够，进一步的思考是一些似是而非的错误解法究竟错在哪里?必定是对概念理解的偏差才导致的错误结果.经过又一次正反两个层面的开掘.思考深入了，学习的兴趣也会逐步培育起来。

高等数学是我院 财务管理 、工程管理、国际贸易、商管等相关专业的基础课，主要讲述了一元函数与多元函数的微积分学，针对不同专业的实际情况，结合“双考大纲”，高等数学又分为《高等数学A》、《高等数学B》、《高等数学C》，充分掌握高等数学的基本知识，对今后专业课的学习，继续深造，从事金融行业、建筑行业以及个人的 逻辑思维 等方面有很多大帮助。但是这门课程具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，知识一环扣一环，结构既有严密的内在联系同时又呈曲线跳跃式发展，对于各高校的学生来说，都是一门难学的课程。因此，在教学过程当中，尽可能的采取灵活多样的 教学方法 ，让学生充分的理解、掌握所学知识。作为一名新 入职 的教师，一方面很是感激校方对于我的信任，另一方面也深知作为年轻老师教学经验还有待进一步提高，但是我在西北大学现代学院这仅仅半年时间就让我受益匪浅，在这里谈一下自己的感受：

首先要认真备课，仔细撰写教案，上课时要说课，这节课大家需要掌握什么(教学大纲的要求，考试要考的知识)，重点、难点是什么，使学生清楚这节课堂目的，做到有的放矢，同时还要时而去走进其他老师的课堂，认真听听他们的讲课，向有经验的教师学习， 反思 自己的教学过程并不断完善自己的教案和教学方法。对于教案的认真撰写须不断地向其他优秀老师学习，这样才会不断地完善自己的教学，提高自己的能力。

其次，上课要突出重点，做到张弛有度，结合我院学生的特点，尽量用简单通俗的语言，图形描述讲解抽象的定理，推论等，比如在讲解定积分及其性质、多元函数求导运算。具体到知识点的时候，重点是在分析，考察哪个知识点，要我们做什么，完成这个工作，需要几个步骤，每个步骤的工作又是什么，跟学生讲明白，体现层次感，每堂课对于一个知识点，至少一道题目要有完整的板书，便于学生做笔记，模仿，要及时讲解作业，多与学生交流，了解学生，深入到学生中去。

再次，教会学生学习的方发：听课要学会“抓大放小”，抓住主要思路，主要思想，主要的脉路，不要在小问题上纠缠，课后自己动手去解决，实在不懂再问老师、同学，因为高数的技巧性很强，这样也提高了学生学习的兴趣。另外，上课的内容要有所拓展，在难度上要照顾想 考研 的学生，这些跟学生说清楚。

最后，就是基本素质，所谓“学高为师，身正为范”，教师的 言行举止 也在潜移默化中影响着学生。因此，我们要着装大方得体、讲课的语速要适中，提前几分钟到教室，上课带教案、教材、教学手册，尊重学生，所言所行符合高校教师职业道德。

高等数学这门课程本质上决定了它的枯燥无味，在教学过程中，要不断摸索，总结，依靠课堂魅力去感染学生，影响学生，让学生喜欢这门课程。

㈨ 如何提高小学生的数学计算能力心得体会

一、重视对口算能力的培养
培养学生的计算能力，要重视基本的口算训练，口算既是笔算、估算和简便运算的基础，也是计算能力的重要组成部分。只有口算能力强，才能加快笔算速度，提高计算的正确率。因此，每位同学都要打好口算基础，加强口算训练，提高口算能力。
我们班每位学生都有一本口算题卡，我要求不仅要算对，更要快一点完成，我会让孩子们写生他们做完一页口算题卡的时间，尽力养成又对又快的好习惯。
二、重视对估算能力的培养
在我曾经教授的三年级课堂计算学习中，在计算前可进行估算，使学生合理灵活地运用多种方法去思考问题。在计算后对结果也进行估算，可以使学生获得有价值的检验。
三、注重计算方法，数学思维的训练
有些计算学习对于学生来说其实很简单，就算老师不教，大部分学生也会算。但是作为教师，决不能只满足于学生会算，而是让学生从解决问题的过程中明白算理， 总结出法则，参与到知识形成的整个过程中。
比如学生知道2+3=5，我会把3+2=5进行对比教学，虽在一年级不学习加法交换律，但是我也要给学生一些方法，根据三个不同的数字写出四个不同的算式，如给出2、3、5，除了能写出以上两种加法算式，还有两个减法算式如5-3=2，5-2=3。在我讲分与合时，老师先列举6的两种分法，并且按顺序分，如6可以分成1和5,6可以分成5和1，示范结束后教给学生自己写出其他的分法。为了更好地发展思维，我还让学生在每种分法下面写出四种算式。
作为一名数学老师，在课堂中要重视演示与操作，帮助孩子用对不同的方法，循序渐进提高他们的数学思维和计算能力，我相信对于低年级孩子的学习很有帮助的

㈩ 关于动态规划算法，哪位可以讲一下自己心得体会

动态规划的特点及其应用
安徽 张辰
动态规划 阶段

动态规划是信息学竞赛中的常见算法，本文的主要内容就是分析它的特点。
文章的第一部分首先探究了动态规划的本质，因为动态规划的特点是由它的本质所决定的。第二部分从动态规划的设计和实现这两个角度分析了动态规划的多样性、模式性、技巧性这三个特点。第三部分将动态规划和递推、搜索、网络流这三个相关算法作了比较，从中探寻动态规划的一些更深层次的特点。
文章在分析动态规划的特点的同时，还根据这些特点分析了我们在解题中应该怎样利用这些特点，怎样运用动态规划。这对我们的解题实践有一定的指导意义。

动态规划是编程解题的一种重要的手段，在如今的信息学竞赛中被应用得越来越普遍。最近几年的信息学竞赛，不分大小，几乎每次都要考察到这方面的内容。因此，如何更深入地了解动态规划，从而更为有效地运用这个解题的有力武器，是一个值得深入研究的问题。
要掌握动态规划的应用技巧，就要了解它的各方面的特点。首要的，是要深入洞悉动态规划的本质。
§1动态规划的本质
动态规划是在本世纪50年代初，为了解决一类多阶段决策问题而诞生的。那么，什么样的问题被称作多阶段决策问题呢？
§1.1多阶段决策问题
说到多阶段决策问题，人们很容易举出下面这个例子。
[例1] 多段图中的最短路径问题：在下图中找出从A1到D1的最短路径。
仔细观察这个图不难发现，它有一个特点。我们将图中的点分为四类（图中的A、B、C、D），那么图中所有的边都处于相邻的两类点之间，并且都从前一类点指向后一类点。这样，图中的边就被分成了三类（AàB、BàC、CàD）。我们需要从每一类中选出一条边来，组成从A1到D1的一条路径，并且这条路径是所有这样的路径中的最短者。
从上面的这个例子中，我们可以大概地了解到什么是多阶段决策问题。更精确的定义如下：
多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列[1]。要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。
从上述的定义中，我们可以明显地看出，这类问题有两个要素。一个是阶段，一个是决策。
§1.2阶段与状态
阶段：将所给问题的过程，按时间或空间特征分解成若干相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。常用字母k表示阶段变量。[1]
阶段是问题的属性。多阶段决策问题中通常存在着若干个阶段，如上面的例子，就有A、B、C、D这四个阶段。在一般情况下，阶段是和时间有关的；但是在很多问题（我的感觉，特别是信息学问题）中，阶段和时间是无关的。从阶段的定义中，可以看出阶段的两个特点，一是“相互联系”，二是“次序”。
阶段之间是怎样相互联系的？就是通过状态和状态转移。
状态：各阶段开始时的客观条件叫做状态。描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用sk表示第k阶段的状态变量，状态变量sk的取值集合称为状态集合，用Sk表示。[1]
状态是阶段的属性。每个阶段通常包含若干个状态，用以描述问题发展到这个阶段时所处在的一种客观情况。在上面的例子中，行人从出发点A1走过两个阶段之后，可能出现的情况有三种，即处于C1、C2或C3点。那么第三个阶段就有三个状态S3=。
每个阶段的状态都是由以前阶段的状态以某种方式“变化”而来，这种“变化”称为状态转移（暂不定义）。上例中C3点可以从B1点过来，也可以从B2点过来，从阶段2的B1或B2状态走到阶段3的C3状态就是状态转移。状态转移是导出状态的途径，也是联系各阶段的途径。
说到这里，可以提出应用动态规划的一个重要条件。那就是将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的发展，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是“过去历史的一个完整总结[1]”。这就是无后效性。对这个性质，下文还将会有解释。
§1.3决策和策略
上面的阶段与状态只是多阶段决策问题的一个方面的要素，下面是另一个方面的要素——决策。
决策：当各段的状态取定以后，就可以做出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。表示决策的变量，称为决策变量，常用uk(sk)表示第k阶段当状态为sk时的决策变量。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在一定范围内，我们称此范围为允许决策集合。常用Dk(sk)表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合。显然有uk(sk) ?Dk(sk)。[1]
决策是问题的解的属性。决策的目的就是“确定下一阶段的状态”，还是回到上例，从阶段2的B1状态出发有三条路，也就是三个决策，分别导向阶段3的C1、C2、C3三个状态，即D2(B1)=。
有了决策，我们可以定义状态转移：动态规划中本阶段的状态往往是上一阶段和上一阶段的决策结果，由第k段的状态sk和本阶段的决策uk确定第k+1段的状态sk+1的过程叫状态转移。状态转移规律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)称为状态转移方程。
这样看来，似乎决策和状态转移有着某种联系。我的理解，状态转移是决策的目的，决策是状态转移的途径。
各段决策确定后，整个问题的决策序列就构成一个策略，用p1,n=表示。对每个实际问题，可供选择的策略有一定范围，称为允许策略集合，记作P1,n，使整个问题达到最有效果的策略就是最优策略。[1]
说到这里，又可以提出运用动态规划的一个前提。即这个过程的最优策略应具有这样的性质：无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略[1]。这就是最优化原理。简言之，就是“最优策略的子策略也是最优策略”。
§1.4最优化原理与无后效性
这里，我把最优化原理定位在“运用动态规划的前提”。这是因为，是否符合最优化原理是一个问题的本质特征。对于不满足最优化原理的一个多阶段决策问题，整体上的最优策略p1,n同任何一个阶段k上的决策uk或任何一组阶段k1…k2上的子策略pk1,k2都不存在任何关系。如果要对这样的问题动态规划的话，我们从一开始所作的划分阶段等努力都将是徒劳的。
而我把无后效性定位在“应用动态规划的条件”，是因为动态规划是按次序去求每阶段的解，如果一个问题有后效性，那么这样的次序便是不合理的。但是，我们可以通过重新划分阶段，重新选定状态，或者增加状态变量的个数等手段，来是问题满足无后效性这个条件。说到底，还是要确定一个“序”。
在信息学的多阶段决策问题中，绝大部分都是能够满足最优化原理的，但它们往往会在后效性这一点上来设置障碍。所以在解题过程中，我们会特别关心“序”。对于有序的问题，就会考虑到动态规划；对于无序的问题，也会想方设法来使其有序。
§1.5最优指标函数和规划方程
最优指标函数：用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数，最优指标函数记为fk(sk)，它表示从第k段状态sk采用最优策略p*k,n到过程终止时的最佳效益值[1]。
最优指标函数其实就是我们真正关心的问题的解。在上面的例子中，f2(B1)就表示从B1点到终点D1点的最短路径长度。我们求解的最终目标就是f1(A1)。
最优指标函数的求法一般是一个从目标状态出发的递推公式，称为规划方程：

其中sk是第k段的某个状态，uk是从sk出发的允许决策集合Dk(sk)中的一个决策，Tk(sk,uk)是由sk和uk所导出的第k+1段的某个状态sk+1，g(x,uk)是定义在数值x和决策uk上的一个函数，而函数opt表示最优化，根据具体问题分别表为max或min。
，称为边界条件。
上例中的规划方程就是：

边界条件为
这里是一种从目标状态往回推的逆序求法，适用于目标状态确定的问题。在我们的信息学问题中，也有很多有着确定的初始状态。当然，对于初始状态确定的问题，我们也可以采用从初始状态出发往前推的顺序求法。事实上，这种方法对我们来说要更为直观、更易设计一些，从而更多地出现在我们的解题过程中。
我们本节所讨论的这些理论虽然不是本文的主旨，但是却对下面要说的动态规划的特点起着基础性的作用。
§2动态规划的设计与实现
上面我们讨论了动态规划的一些理论，本节我们将通过几个例子中，动态规划的设计与实现，来了解动态规划的一些特点。
§2.1动态规划的多样性
[例2] 花店橱窗布置问题（IOI99）试题见附录
本题虽然是本届IOI中较为简单的一题，但其中大有文章可作。说它简单，是因为它有序，因此我们一眼便可看出这题应该用动态规划来解决。但是，如何动态规划呢？如何划分阶段，又如何选择状态呢？
<方法1>以花束的数目来划分阶段。在这里，阶段变量k表示的就是要布置的花束数目（前k束花），状态变量sk表示第k束花所在的花瓶。而对于每一个状态sk，决策就是第k-1束花应该放在哪个花瓶，用uk表示。最优指标函数fk(sk)表示前k束花，其中第k束插在第sk个花瓶中，所能取得的最大美学值。
状态转移方程为
规划方程为
（其中A(i,j)是花束i插在花瓶j中的美学值）
边界条件 （V是花瓶总数，事实上这是一个虚拟的边界）
<方法2>以花瓶的数目来划分阶段。在这里阶段变量k表示的是要占用的花瓶数目（前k个花瓶），状态变量sk表示前k个花瓶中放了多少花。而对于任意一个状态sk，决策就是第sk束花是否放在第k个花瓶中，用变量uk=1或0来表示。最优指标函数fk(sk)表示前k个花瓶中插了sk束花，所能取得的最大美学值。
状态转移方程为
规划方程为
边界条件为
两种划分阶段的方法，引出了两种状态表示法，两种规划方式，但是却都成功地解决了问题。只不过因为决策的选择有多有少，所以算法的时间复杂度也就不同。[2]
这个例子具有很大的普遍性。有很多的多阶段决策问题都有着不止一种的阶段划分方法，因而往往就有不止一种的规划方法。有时各种方法所产生的效果是差不多的，但更多的时候，就像我们的例子一样，两种方法会在某个方面有些区别。
所以，在用动态规划解题的时候，可以多想一想是否有其它的解法。对于不同的解法，要注意比较，好的算法好在哪里，差一点的算法差在哪里。从各种不同算法的比较中，我们可以更深刻地领会动态规划的构思技巧。
§2.2动态规划的模式性
这个可能做过动态规划的人都有体会，从我们上面对动态规划的分析也可以看出来。动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。
划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。注意这若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。
选择状态：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。
确定决策并写出状态转移方程：之所以把这两步放在一起，是因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以，如果我们确定了决策，状态转移方程也就写出来了。但事实上，我们常常是反过来做，根据相邻两段的各状态之间的关系来确定决策。
写出规划方程（包括边界条件）：在第一部分中，我们已经给出了规划方程的通用形式化表达式。一般说来，只要阶段、状态、决策和状态转移确定了，这一步还是比较简单的。
动态规划的主要难点在于理论上的设计，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。大体上的框架如下：
对f1(s1)初始化（边界条件）
for k?2 to n（这里以顺序求解为例）
对每一个sk?Sk
fk(sk)?一个极值（∞或－∞）
对每一个uk(sk)?Dk(sk)
sk-1?Tk(sk,uk)
t?g(fk-1(sk-1),uk)
y t比fk(sk)更优 n
fk(sk)?t
输出fn(sn)
这个N-S图虽然不能代表全部，但足可以概括大多数。少数的一些特殊的动态规划，其实现的原理也是类似，可以类比出来。我们到现在对动态规划的分析，主要是在理论上、设计上，原因也就在此。
掌握了动态规划的模式性，我们在用动态规划解题时就可以把主要的精力放在理论上的设计。一旦设计成熟，问题也就基本上解决了。而且在设计算法时也可以按部就班地来。
但是“物极必反”，太过拘泥于模式就会限制我们的思维，扼杀优良算法思想的产生。我们在解题时，不妨发挥一下创造性，去突破动态规划的实现模式，这样往往会收到意想不到的效果。[3]
§2.3动态规划的技巧性
上面我们所说的动态规划的模式性，主要指的是实现方面。而在设计方面，虽然它较为严格的步骤性，但是它的设计思想却是没有一定的规律可循的。这就需要我们不断地在实践当中去掌握动态规划的技巧，下面仅就一个例子谈一点我自己的体会。
[例3] 街道问题：在下图中找出从左下角到右上角的最短路径，每步只能向右方或上方走。
这是一道简单而又典型的动态规划题，许多介绍动态规划的书与文章中都拿它来做例子。通常，书上的解答是这样的：

按照图中的虚线来划分阶段，即阶段变量k表示走过的步数，而状态变量sk表示当前处于这一阶段上的哪一点（各点所对应的阶段和状态已经用ks在地图上标明）。这时的模型实际上已经转化成了一个特殊的多段图。用决策变量uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，则状态转移方程如下：

（这里的row是地图竖直方向的行数）
我们看到，这个状态转移方程需要根据k的取值分两种情况讨论，显得非常麻烦。相应的，把它代入规划方程而付诸实现时，算法也很繁。因而我们在实现时，一般是不会这么做的，而代之以下面方法：
将地图中的点规则地编号如上，得到的规划方程如下：

（这里Distance表示相邻两点间的边长）
这样做确实要比上面的方法简单多了，但是它已经破坏了动态规划的本来面目，而不存在明确的阶段特征了。如果说这种方法是以地图中的行（A、B、C、D）来划分阶段的话，那么它的“状态转移”就不全是在两个阶段之间进行的了。
也许这没什么大不了的，因为实践比理论更有说服力。但是，如果我们把题目扩展一下：在地图中找出从左下角到右上角的两条路径，两条路径中的任何一条边都不能重叠，并且要求两条路径的总长度最短。这时，再用这种“简单”的方法就不太好办了。
如果非得套用这种方法的话，则最优指标函数就需要有四维的下标，并且难以处理两条路径“不能重叠”的问题。
而我们回到原先“标准”的动态规划法，就会发现这个问题很好解决，只需要加一维状态变量就成了。即用sk=(ak,bk)分别表示两条路径走到阶段k时所处的位置，相应的，决策变量也增加一维，用uk=(xk,yk)分别表示两条路径的行走方向。状态转移时将两条路径分别考虑：

在写规划方程时，只要对两条路径走到同一个点的情况稍微处理一下，减少可选的决策个数：

从这个例子中可以总结出设计动态规划算法的一个技巧：状态转移一般是在相邻的两个阶段之间（有时也可以在不相邻的两个阶段间），但是尽量不要在同一个阶段内进行。
动态规划是一种很灵活的解题方法，在动态规划算法的设计中，类似的技巧还有很多。要掌握动态规划的技巧，有两条途径：一是要深刻理解动态规划的本质，这也是我们为什么一开始就探讨它的本质的原因；二是要多实践，不但要多解题，还要学会从解题中探寻规律，总结技巧。
§3动态规划与一些算法的比较
动态规划作为诸多解题方法中的一种，必然和其他一些算法有着诸多联系。从这些联系中，我们也可以看出动态规划的一些特点。
§3.1动态规划与递推
——动态规划是最优化算法
由于动态规划的“名气”如此之大，以至于很多人甚至一些资料书上都往往把一种与动态规划十分相似的算法，当作是动态规划。这种算法就是递推。实际上，这两种算法还是很容易区分的。
按解题的目标来分，信息学试题主要分四类：判定性问题、构造性问题、计数问题和最优化问题。我们在竞赛中碰到的大多是最优化问题，而动态规划正是解决最优化问题的有力武器，因此动态规划在竞赛中的地位日益提高。而递推法在处理判定性问题和计数问题方面也是一把利器。下面分别就两个例子，谈一下递推法和动态规划在这两个方面的联系。
[例4] mod 4 最优路径问题：在下图中找出从第1点到第4点的一条路径，要求路径长度mod 4的余数最小。
这个图是一个多段图，而且是一个特殊的多段图。虽然这个图的形式比一般的多段图要简单，但是这个最优路径问题却不能用动态规划来做。因为一条从第1点到第4点的最优路径，在它走到第2点、第3点时，路径长度mod 4的余数不一定是最小，也就是说最优策略的子策略不一定最优——这个问题不满足最优化原理。
但是我们可以把它转换成判定性问题，用递推法来解决。判断从第1点到第k点的长度mod 4为sk的路径是否存在，用fk(sk)来表示，则递推公式如下：
（边界条件）

（这里lenk,i表示从第k-1点到第k点之间的第i条边的长度，方括号表示“或(or)”运算）
最后的结果就是可以使f4(s4)值为真的最小的s4值。
这个递推法的递推公式和动态规划的规划方程非常相似，我们在这里借用了动态规划的符号也就是为了更清楚地显示这一点。其实它们的思想也是非常相像的，可以说是递推法借用了动态规划的思想解决了动态规划不能解决的问题。
有的多阶段决策问题（像这一题的阶段特征就很明显），由于不能满足最优化原理等使用动态规划的先决条件，而无法应用动态规划。在这时可以将最优指标函数的值当作“状态”放到下标中去，从而变最优化问题为判定性问题，再借用动态规划的思想，用递推法来解决问题。
§3.2动态规划与搜索
——动态规划是高效率、高消费算法
同样是解决最优化问题，有的题目我们采用动态规划，而有的题目我们则需要用搜索。这其中有没有什么规则呢？
我们知道，撇开时空效率的因素不谈，在解决最优化问题的算法中，搜索可以说是“万能”的。所以动态规划可以解决的问题，搜索也一定可以解决。
把一个动态规划算法改写成搜索是非常方便的，状态转移方程、规划方程以及边界条件都可以直接“移植”，所不同的只是求解顺序。动态规划是自底向上的递推求解，而搜索则是自顶向下的递归求解（这里指深度搜索，宽度搜索类似）。
反过来，我们也可以把搜索算法改写成动态规划。状态空间搜索实际上是对隐式图中的点进行枚举，这种枚举是自顶向下的。如果把枚举的顺序反过来，变成自底向上，那么就成了动态规划。（当然这里有个条件，即隐式图中的点是可排序的，详见下一节。）
正因为动态规划和搜索有着求解顺序上的不同，这也造成了它们时间效率上的差别。在搜索中，往往会出现下面的情况：
对于上图(a)这样几个状态构成的一个隐式图，用搜索算法就会出现重复，如上图(b)所示，状态C2被搜索了两次。在深度搜索中，这样的重复会引起以C2为根整个的整个子搜索树的重复搜索；在宽度搜索中，虽然这样的重复可以立即被排除，但是其时间代价也是不小的。而动态规划就没有这个问题，如上图(c)所示。
一般说来，动态规划算法在时间效率上的优势是搜索无法比拟的。（当然对于某些题目，根本不会出现状态的重复，这样搜索和动态规划的速度就没有差别了。）而从理论上讲，任何拓扑有序（现实中这个条件常常可以满足）的隐式图中的搜索算法都可以改写成动态规划。但事实上，在很多情况下我们仍然不得不采用搜索算法。那么，动态规划算法在实现上还有什么障碍吗？
考虑上图(a)所示的隐式图，其中存在两个从初始状态无法达到的状态。在搜索算法中，这样的两个状态就不被考虑了，如上图(b)所示。但是动态规划由于是自底向上求解，所以就无法估计到这一点，因而遍历了全部的状态，如上图(c)所示。
一般说来，动态规划总要遍历所有的状态，而搜索可以排除一些无效状态。更重要的事搜索还可以剪枝，可能剪去大量不必要的状态，因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。
如何协调好动态规划的高效率与高消费之间的矛盾呢？有一种折衷的办法就是记忆化算法。记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序，但是每求解一个状态，就将它的解保存下来，以后再次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了。这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很有实用价值的。
§3.3动态规划与网络流
——动态规划是易设计易实现算法
由于图的关系复杂而无序，一般难以呈现阶段特征（除了特殊的图如多段图，或特殊的分段方法如Floyd），因此动态规划在图论中的应用不多。但有一类图，它的点却是有序的，这就是有向无环图。
在有向无环图中，我们可以对点进行拓扑排序，使其体现出有序的特征，从而据此划分阶段。在有向无还图中求最短路径的算法[4]，已经体现出了简单的动态规划思想。但动态规划在图论中还有更有价值的应用。下面先看一个例子。
[例6] N个人的街道问题：在街道问题（参见例3）中，若有N个人要从左下角走向右上角，要求他们走过的边的总长度最大。当然，这里每个人也只能向右或向上走。下面是一个样例，左图是从出发地到目的地的三条路径，右图是他们所走过的边，这些边的总长度为5 + 4 + 3 + 6 + 3 + 3 + 5 + 8 + 8 + 7 + 4 + 5 + 9 + 5 + 3 = 78（不一定是最大）。
这个题目是对街道问题的又一次扩展。仿照街道问题的解题方法，我们仍然可以用动态规划来解决本题。不过这一次是N个人同时走，状态变量也就需要用N维来表示，。相应的，决策变量也要变成N维，uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)。状态转移方程不需要做什么改动：

在写规划方程时，需要注意在第k阶段，N条路径所走过的边的总长度的计算，在这里我就用gk(sk,uk)来表示了：

边界条件为
可见将原来的动态规划算法移植到这个问题上来，在理论上还是完全可行的。但是，现在的这个动态规划算法的时空复杂度已经是关于N的指数函数，只要N稍微大一点，这个算法就不可能实现了。
下面我们换一个思路，将N条路径看成是网络中一个流量为N的流，这样求解的目标就是使这个流的费用最大。但是本题又不同于一般的费用流问题，在每一条边e上的流费用并不是流量和边权的乘积 ，而是用下式计算：

为了使经典的费用流算法适用于本题，我们需要将模型稍微转化一下：
如图，将每条边拆成两条。拆开后一条边上有权，但是容量限制为1；另一条边没有容量限制，但是流过这条边就不能计算费用了。这样我们就把问题转化成了一个标准的最大费用固定流问题。
这个算法可以套用经典的最小费用最大流算法，在此就不细说了。（参见附录中的源程序）
这个例题是我仿照IOI97的“障碍物探测器”一题[6]编出来的。“障碍物探测器”比这一题要复杂一些，但是基本思想是相似的。类似的题目还有99年冬令营的“迷宫改造”[7]。从这些题目中都可以看到动态规划和网络流的联系。
推广到一般情况，任何有向无环图中的费用流问题在理论上说，都可以用动态规划来解决。对于流量为N（如果流量不固定，这个N需要事先求出来）的费用流问题，用N维的变量sk=(sk,1,sk,2,…,sk,N)来描述状态，其中sk,i?V(1￡i￡N)。相应的，决策也用N维的变量uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)来表示，其中uk,i?E(sk,i)(1￡i￡N)，E(v)表示指向v的弧集。则状态转移方程可以这样表示：
sk-1,i = uk,i的弧尾结点
规划方程为
边界条件为
但是，由于动态规划算法是指数级算法，因而在实现中的局限性很大，仅可用于一些N非常小的题目。然而在竞赛解题中，比如上面说到的IOI97以及99冬令营测试时，我们使用动态规划的倾向性很明显（“障碍物探测器”中，我们用的是贪心策略，求N=1或N=2时的局部最优解[8]）。这主要有两个原因：
一． 虽然网络流有着经典的算法，但是在竞赛中不可能出现经典的问题。如果要运用网络流算法，则需要经过一番模型转化，有时这个转化还是相当困难的。因此在算法的设计上，灵活巧妙的动态规划算法反而要更为简单一些。
二． 网络流算法实现起来很繁，这是被人们公认的。因而在竞赛的紧张环境中，实现起来有一定模式的动态规划算法又多了一层优势。
正由于动态规划算法在设计和实现上的简便性，所以在N不太大时，也就是在动态规划可行的情况下，我们还是应该尽量运用动态规划。
§4结语
本文的内容比较杂，是我几年来对动态规划的参悟理解、心得体会。虽然主要的篇幅讲的都是理论，但是根本的目的还是指导实践。
动态规划，据我认为，是当今信息学竞赛中最灵活、也最能体现解题者水平的一类解题方法。本文内容虽多，不能涵盖动态规划之万一。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”要想真正领悟、理解动态规划的思想，掌握动态规划的解题技巧，还需要在实践中不断地挖掘、探索。实践得多了，也就能体会到渐入佳境之妙了。
动态规划，
算法之常，
运用之妙，
存乎一心。