插值型数值积分计算方法

A. 插值法计算公式是什么

公式就是：Y=Y1+(Y2-Y1)×(X-X1)/(X2-X1)。

通俗地讲，线性内插法就是利用相似三角形的原理，来计算内插点的数据。

内插法又称插值法。根据未知函数f（x）在某区间内若干点的函数值，作出在该若干点的函数值与f（x）值相等的特定函数来近似原函数f（x），进而可用此特定函数算出该区间内其他各点的原函数f（x）的近似值，这种方法，称为内插法。

按特定函数的性质分，有线性内插、非线性内插等；按引数（自变量）个数分，有单内插、双内插和三内插等。

介绍：

线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式，其在插值节点上的插值误差为零。线性插值相比其他插值方式，如抛物线插值，具有简单、方便的特点。

线性插值的几何意义即为概述图中利用过A点和B点的直线来近似表示原函数。线性插值可以用来近似代替原函数，也可以用来计算得到查表过程中表中没有的数值。

B. 数值分析中常用的求积公式有哪几中

构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数.据此,可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式.这就是数值积分与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的
插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一.
插值型求积公式
复合求积公式
Romberg求积公式
牛顿－科特斯求积公式及其余项
机械型求积公式
梯形求积公式
龙贝格求积公式
辛普森(Simpson)求积公式
抛物线求积公式
复合Simpson求积公式
牛顿求积公式
Gauss型求积公式
有理Gauss-Lobatto求积公式
Gauss - Legendre求积公式
复化Gauss型求积公式
柯特斯求积公式及其余项公式
三角形三斜求积公式
辛普森 (Simpson) 求积公式或抛物线求积公式:
梯形求积公式对所有次数不超过1 的多项式是准确成立的；
辛普森求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的；
牛顿求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的；
柯特斯求积公式对所有次数不超过5 多项式是准确成立的.
此牛顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的.
由于龙格现象存在,不难得知,牛顿-柯特斯求积公式不一定具有收敛性.
稳定性和收敛性可知,数值计算中应主张使用低阶的牛顿-柯特斯求积公式.太多了,不再列举了,有时间切磋切磋

C. 插值的计算方法是什么

计算方法：假设与A1对应的数据是B1，与A2对应的数据是B2，现在已知与A对应的数据是B，A介于A1和A2之间，则可以按照（A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)计算得出A的数值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知数据。

根据（A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)可知：（A1-A)＝(B1-B)/(B1-B2)×（A1-A2）

A＝A1－(B1-B)/(B1-B2)×（A1-A2）＝A1＋(B1-B)/(B1-B2)×（A2-A1）

插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

如果只需要求出某一个x所对应的函数值，可以用“图解内插”。它利用实验数据提供要画的简单曲线的形状，然后调整它，使得尽量靠近这些点。

如果还要求出因变数p(x)的表达式，这就要用“表格内插”。通常把近似函数p(x)取为多项式(p(x)称为插值多项式)，最简单的是取p(x)为一次式，即线性插值法。在表格内插时，使用差分法或待定系数法(此时可以利用拉格朗日公式)。在数学、天文学中，插值法都有广泛的应用。

D. 线性插值法计算公式是什么

线性插值法计算公式：Y=Y1+(Y2-Y1)×(X-X1)/(X2-X1)。其中Y2>Y1，X2>X>X1。

线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式，其在插值节点上的插值误差为零。线性插值相比其他插值方式，如抛物线插值，具有简单、方便的特点。线性插值可以用来近似代替原函数，也可以用来计算得到查表过程中表中没有的数值。

相关信息：

若函数f(x)在自变数x一些离散值所对应的函数值为已知，则可以作一个适当的特定函数p(x)，使得p(x)在这些离散值所取的函数值，就是f(x)的已知值。从而可以用p(x)来估计f(x)在这些离散值之间的自变数所对应的函数值，这种方法称为插值法。

如果只需要求出某一个x所对应的函数值，可以用“图解内插”。它利用实验数据提供要画的简单曲线的形状，然后调整它，使得尽量靠近这些点。

如果还要求出因变数p(x)的表达式，这就要用“表格内插”。通常把近似函数p(x)取为多项式(p(x)称为插值多项式)，最简单的是取p(x)为一次式，即线性插值法。

在表格内插时，使用差分法或待定系数法(此时可以利用拉格朗日公式)。在数学、天文学中，插值法都有广泛的应用。

E. n+1个节点的插值型求积公式至少有几次代数精度

n+1个节点的插值型求积公式至少有n次代数精度,如果是等距节点，n为偶数，可达到n+1次代数精度。

向量α1，α2.....αn是线性相关的，则α1可由α2...αn线性表示。

梯形公式：代数精度1次。梯形求积公式，指n=1时的牛顿一科特斯公式。公式左端是以[a,b]区间上积分，右端为b一a为高、端点函数值为上下底的梯形的面积值，故通称为梯形公式，具有1次代数精确度。

(5)插值型数值积分计算方法扩展阅读：

构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，

当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。

F. excel插值法怎么用公式计算

excel插值法怎么用公式计算？插值法相信大家听了都不陌生，可真正到了用的时候，就会感觉一下子摸不着头脑今天，我就给大家说说如何运用插值法进行数值的计算。
插值法分步阅读
1
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如下图中数据，我们要根据 a 的值计算出与之对应的 b 的值。
2
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首先，我们假设 a 的值处于所列 x值的中间，如图所示，假定为 a=3.5，我们即可锁定 a 值处于 3-4 之间。
3
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锁定范围后，即可运用如图所示的公式，带入相应的数值进行 b值的计算，计算结果为750。
4
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接着，我们假设 a 的值小于最小的 x值，如图所示，假定为 a=1.5，我们即可锁定 a 值小于2。
5
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锁定范围后，即可运用如图所示的公式，带入相应的数值进行 b值的计算，计算结果为225。
6
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最后，我们假设 a 的值大于最大的 x值，如图所示，假定为 a=7，我们即可锁定 a 值大于6。
7
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锁定范围后，即可运用如图所示的公式，带入相应的数值进行 b值的计算，计算结果为1750。
8
/8
上述为三种情况下，插值法的计算方法，希望能够帮到你们！

G. 数值积分方法求解答

求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯、拉格朗日等人都在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了这个分支的理论基础。
构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)与抛物线公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式(Rhomberg Integration)。当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。

H. 怎样用在matlab中用 newton-cotes数值积分法

一、数值积分基本公式

数值求积基本通用公式如下
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2009-11-20 23:23

xk：求积节点
Ak：求积系数，与f(x)无关

数值积分要做的就是确定上式中的节点xk和系数Ak。可以证明当求积系数Ak全为正时，上述数值积分计算过程是稳定。

二、插值型数值积分公式

对f(x)给定的n+1个节点进行Lagrange多项式插值，故
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即求积系数为
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三、牛顿-柯特斯数值积分公式

当求积节点在[a,b]等间距分布时，插值型积分公式（先使用Lagrange对节点进行多项式插值，再计算求积系数，最后求积分值）称为Newton-Cotes积分公式。

由于Newton-Cotes积分是通过Lagrange多项式插值变化而来的，我们都知道高次多项式插值会出现Runge振荡现象，因此会导致高阶Newton-Cotes公式不稳定。

Newton-Cotes积分公式的求积系数为
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其中C(k,n)称为柯特斯系数。

(1)当n=1时，Newton-Cotes公式即为梯形公式
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容易证明上式具有一次代数精度(对于Newton-Cotes积分公式，n为奇数时有n次迭代精度，n为偶数时具有n+1次精度，精度越高积分越精确，同时计算量也越大)

(2)当n=2时，Newton-Cotes公式即为辛普森(Simpson)公式或者抛物线公式
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上式具有3次迭代精度

(3)当n=4时，Newton-Cotes公式称为科特斯(Cotes)公式
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上式具有5次迭代精度。由于n=3和n=2时具有相同的迭代精度，但是n=2时计算量小，故n=3的Newton-Cotes积分公式用的很少

(4)当≥8时，通过计算可以知道，在n=8时柯特斯系数出现负值

由于数值积分稳定的条件是求积系数Ak必须为正，所以n>=8以上高阶Newton-Cotes公式，我们不能保证积分的稳定性(其根本原因是，Newton-Cotes公式是由Lagrange插值多项推导出来的，而高阶多项式会出现Rung现象)。

四、复化求解公式

n阶Newton-Cotes公式只能有n+1个积分节点，但是高阶Newton-Cotes公式由不稳定。为了提高大区间的数值积分精度，我们采用了分段积分的方法，即先将原区间划分成若干小区间，然后对每一个小区间使用Newton-Cotes积分公式，这就是复化Newton-Cotes求积公式。

(1)当n=1时，称为复化梯形公式。将[a,b]等分为n份，子区间长度为h=(b-a)/n，则复化梯形公式为

(注意：复化求解公式不需要求积子区间等间距，只是Newton-Cotes公式分段积分时自动对小区间进行等分，我们这里采用等分子区间是为了便于计算而已)
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(2)当n=2时，称为复化辛普森公式。
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五、Newton-Cotes数值积分公式Matlab代码

I. 数值积分的插值求积

通过插值途径构成的求积公式。用(x)的以x0,x1，…，xm为结点的插值多项式近似替代(x)后，经过积分可以得到形如（2）的插值型求积公式，其中求积系数特别，若所有的xj都属于【α,b】，则称它为内插型求积公式。这是一类最基本的求积公式。由于m+1个结点的插值型求积公式的代数精度至少是m，所以具有一定代数精度的求积公式总是存在的。