特征向量网络中心度计算方法

⑴ 怎么计算特征根 特征向量

特征根：

特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。

(1)特征向量网络中心度计算方法扩展阅读：

矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。

从数学上看，如果向量v与变换A满足Av=λv，则称向量v是变换A的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。

假设它是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：

其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。上述的特征值方程可以表示为：

但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候，上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。若是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）

考虑对于时间t的微分。其特征函数满足如下特征值方程：

其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。

特征根法是数学中解常系数线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。例如 称为二阶齐次线性差分方程： 加权的特征方程。

⑵ 谁是微信群里最重要的人----社会网络：网络科学之中心度的核心思想

    我们都知道，我们每个人无时不刻都生活在网络之中。朋友圈是一张网，公司是一张网，城市也是一张网。很多问题，你只有上升到网络的高度，才能找答案。

    假设你被好友拉进了一个微信群，里面有好几百个人，谁是群里最重要的人呢？

是群主吗？

是发言最活跃的人吗？

还是那位三甲医院的医生，似乎所有人都对他对都很尊敬？

再进一步说，你作为一个新人，有什么办法去提高你在这个圈子里的重要性呢？

网络科学里有一个工具，叫做“ 中心度 ” ，英文是centrality。它测量的是节点在网络中的重要程度。

怎么测量呢？我们看节点的连接。一个网络由几百个、几万个、甚至上亿个节点组成。指向一个节点的连接越多，节点的中心度就越高。

换句话说，在社交圈里， 你的价值，不取决于你，而是取决于周围人对你的评价。

中心度，这乍一听是一个很简单的概念，其实不然。在网络科学里，中心度有30多种测量方法。而且手算是算不过来的，你必须借助计算机。把网络先是转化成一个数学矩阵，输入到计算机软件里，然后统计节点之间的连接情况，最后得出各种各样的中心度。

具体操作比较复杂，但是，你如果只是掌握中心度的核心思想，知道三个最重要、也是最基本的维度就够了。

这三个维度分别从连接的数量、位置和质量，来衡量节点在网络中的重要性。下面我一一介绍给你。

中心度的三个维度

1. 数量：度中心度 

节点的重要性首先体现在数量上。一般而言，在一个圈子里， 越多人认识你，你就越重要。

网络科学家把这个维度叫“ 度中心度 ”，英文叫degree centrality。就是看这个节点周围有多少节点与它直接相连。连接的数量越多，说明它的影响力和受欢迎程度越高。

公司里，与你协作的同事数量，微信里，你好友的数量，都是你的“度中心度”。

“度中心度”这个概念可以解释我们生活中的很多现象。比如，为什么明星的收入高？因为他们的粉丝多，他们的度中心度高，所以，对其他的人，也就是对网络中其他的节点影响力更大。所以，他们作为一个节点的价值就更大。我发一条微博，可能没有什么人看。但是，吴亦凡发一条微博，广告商就愿意花上百万。

在公共卫生领域，对 “度中心度”的关注，也引发了防控传染病思维上的一次飞跃。比方说，一场传染病即将来袭，在有限的时间内，卫生部门只能给少部分人注射疫苗。我们应该把这些有限的资源给谁？

基于常识，你也许会毫不迟疑地回答，当然是体质最弱的小孩和老人，他们是最应该受到保护的群体，这也是我们预防传染病的一贯做法。然而，当科学家把网络分析用于对传染病的研究后，发现更有效的办法是给社交网中与他人连接数量最多，也就是“度中心度”最高的人先注射疫苗，才能最大程度地防止病毒的扩散。

2. 位置：中介中心度

衡量节点重要性的第二个维度强调的是一个节点在网络中所处中间人的位置。看的是网络中的其他人之间要传递信息或者资源，是不是一定要通过你才能实现。

在网络科学中，这个指标叫 “ 中介中心度 ”。中介，就是中间人的意思。英文叫Betweeness Centrality。

举一个例子，我们来看一座城市，莫斯科。莫斯科为什么会成为俄罗斯的首都？

你如果打开地图，会发现一件很奇怪的事，莫斯科的位置是很偏的，在俄罗斯的西部，不在帝国的地理中心。

你可能会想猜想，是不是因为莫斯科的“度中心度”比较高呢？

你如果再看历史，会发现这个解释也不成立。在12世纪初的时候，俄罗斯公国已经有了39个贸易发达的城市，这些城市都分布在运河沿岸。然而，在这些城市中，莫斯科能够直接通航的城市并不是最多的，甚至连前三名都挤不进去，只能排第五。也就是说，莫斯科的“度中心度”不占优势。但是，就在短短的100年后，莫斯科居然就成为了俄罗斯公国的都城，进而在15世纪成为俄罗斯帝国的首都和经济中心。这是为什么呢？

让莫斯科成为首都的原因，是“中介中心度”，莫斯科在这个维度上排在首位。莫斯科处在很多城市间的航运通道上，换句话说，就是从一个城市到另一个城市，你必须得经过莫斯科。这样，莫斯科就对俄罗斯的政治、经济、信息等各种资源具有强大的掌控能力，其他城市对它的依赖性也日益增强。

而且，当时的河运贸易，每经过一个城市都要支付一定的关税。经过莫斯科的城市间贸易量越大，收的税就越多。因此，在这场城市崛起的竞争赛中，莫斯科最终成为了俄罗斯帝国最重要的经济和政治中心。

再举一个我们生活中的例子。

在办公室里，大家最不愿意坐的位置就是过道，人来人往地，很容易被人打扰。但其实，在过道办公有一个天大的好处，就是能够提高你的“中介中心度”。

有人研究了MIT的学生宿舍就发现，最受欢迎的学生往往住在楼梯口或者垃圾桶附近。这些地段天然会提高你和大家打招呼、互动的概率，增加让大家了解你、喜欢你的机会，所以，你的人缘就会更好。在公司里也一样，如果你想跟大家打成一片，最简单的办法，就是从安静的角落搬到过道去。

中介中心度告诉我们，你的价值，不仅取决于周围人对你的评价，而且取决于周围人对你的依赖程度。

3. 质量：特征向量中心度 

刚刚讲的两个维度，一个衡量的是节点的数量，一个衡量的是节点在网络内中介的位置。还有一个维度没有考虑到，那就是与你相连接的节点的质量。

这就是我今天要介绍的测量中心度的第三个维度，叫“ 特征向量中心度 ”，英文是Eigenvector Centrality。

这个测度不仅关注一个节点，有多少节点指向它，还关注指向它的节点自身有多大的影响力，品质如何？也就是说，你的“邻居”越重要，你也就越重要。

搜索引擎在给网页排名的时候，就遇到了这么一个问题。最早的搜索结果排名，都是按照与一个网页建立链接的其它网页的数量来排的。想起来也很有道理，如果愿意和一个网站或网页产生链接的其它网页越多，那就说明这个网站越重要。

但是道高一尺魔高一丈，有的网站了解这个规则后，就制造了大量的“水军”网页，把它们与想要提高排名的网页连起来，让后者在搜索结果里能够排在最前面。而谷歌的创始人就采用了一种新的算法，它不仅关注一个网页有多少网页指向它，还关注指向它的网页自身有多大的影响力，即指向它的网页又有多少。这就是特征向量中心度。

就好比，一个人有很多朋友，但都是普通人，另一个人朋友不多，但是与他交往的都是商业大佬，显然是后者的朋友圈更有价值。

特征向量中心度告诉我们， 你的价值，不仅取决于周围人对你的评价和依赖程度，还取决于这些人的分量和价值。

职场上有一句话，首先要你自己行，然后要有人说你行，最后说你行的人要行。“说你行的人要行”，就是特征向量中心度。

微信群里谁最重要？

你可能会问，讲了这么多维度，那这三种中心度之间的关系是什么呢？哪个维度更重要呢？

科学地说，首先，这三个维度在统计上具有很高的相关性，在一个维度上重要性很高的节点，在其他维度上一般也比较重要。

比如说，一个微信群里，群主是建立微信群的人，所以，群里谁和他都认识。他的度中心度是最高的。但与此同时，你要认识一个什么人，可以通过群主的介绍，所以，群主的中介中心度也很高。

但是，这三个维度又各有侧重，因此一个网络里并没有一个最重要的节点，而是有好几个重要节点，它们的重要性体现在了不同的维度上。

比如说，群主可能只是一个热心的组织者，群里有老板，有大V，还有专家，所以，群主的特征向量中心度并不高。

比如说，群里有一个人经常潜水，不怎么发言，群里很多人也不认识他，但是，群里最有地位、最有声望的几个人都对他评价很高，那么，即使他的度中心度和中介中心度都很低，他的特征向量中心度反而是最高的。

再比如说，群里有一位三甲医院的医生，这可是人人都仰仗的资源，即便他在群微信里的度中心度和特征向量中心度不高，他在这个微信群和医生群体之间的中介中心度可是最高的。

你看，一个微信群，群主、大V、三甲医院的医生，谁最重要，取决于你最看重哪个维度。这就是工具的价值。它把我们脑子里原本一团浆糊的东西，梳理得清清楚楚。

最后还有一个问题。假如你进入了一个新的圈子，不管它是一个微信群，还是一个公司或者行业，如果你想提升自己的中心度，可以怎么办呢？

你也可以从今天讲的中心度的三个维度去思考：

比如，作为一个新人，要在短时间内提高人脉的数量（度中心度），可能比较困难，但是你可以考虑从质量（特征向量中心度）入手，看看能否得到圈内大佬的亲睐。搞定这一个人或者几个人，就可以迅速提高你在网络中的中心度。

你也可以考虑从位置（中介中心度）着手，让你成为他人发生联系时很难被替代的中间人。我在下一讲会讲到一个概念，叫做“结构洞”，讲的就是这件事，或许对你有启发。

总结一下，中心度，是衡量节点重要程度的工具。衡量中心度有三个最基本的维度

度中心度 ：越多人认识你，你就越重要；

中介中心度 ：越多人依赖你，你就越重要。

特征向量中心度 ：“邻居”越重要，你也就越重要。

这三个维度分别从连接的数量、位置和质量，来衡量节点的重要性。了解了“中心度”这个概念后，你还可以用它来重新评估一下你的人脉，考虑是否应该调整在不同圈子里的社交策略。

⑶ 特征向量怎么求

从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。

矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。

通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。

(3)特征向量网络中心度计算方法扩展阅读：

数值计算的原则：

在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔－鲁费尼定理显示高次（5次或更高）多项式的根无法用n次方根来简单表达。

对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。

⑷ 如何用Pajek或Ucinet计算网络的流介数中心性和特征向量中心性

在gephi里面 有自带的 算介数中心性 和 特征向量中心度的 功能

⑸ 线性代数特征值的特征向量计算，要详细过程

求特征值就是求解下面方程的解(s是待求的特征值, E是单位矩阵 |B|表示B的行列式)
|s*E-A| = 0 带入得到 (s+1)*(s-1)^2 = 0
所以特征值为-1, 1, 1
分别带入 s = -1, 1, 1
求解方程 (A-s*E)*x = 0 得到特征向量分别为
对应于-1 的特征向量 :(-3,1,0)
对应于 1 的特征向量 :(1,0,1)

⑹ 特征值的计算方法

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

(6)特征向量网络中心度计算方法扩展阅读

判断相似矩阵的必要条件

设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：

1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；

2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|；

3、A的迹等于B的迹——trA=trB/ ，其中i=1,2,…n（即主对角线上元素的和）；

4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|；

5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。[1]

因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。

⑺ 怎样求特征值和特征向量

求特征值的传统方法是令特征多项式｜ AE－A｜ ＝ 0，求出A的特征值，对于A的任一特征值h，特征方程（ aE－ A）X＝ 0的所有非零解X即为矩阵A的属于特征值N的特征向量两者的计算是分割的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组，且计算量都较大。使用matlab可以方便的计算任何复杂的方阵的特征值和特征向量：

1、首先需要知道计算矩阵的特征值和特征向量要用eig函数，可以在命令行窗口中输入help eig，查看一下eig函数的用法，如下图所示：

注意事项：

特征值和特征向量的应用：

1、可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中。例如，在力学中，惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据；

2、数学生态学家用来预测原始森林遭到何种程度的砍伐，会造成猫头鹰的种群灭亡；

3、着名的图像处理中的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法，还有图像压缩的K-L变换。再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面。

⑻ （在线等！）求特征值和特征向量的步骤是

令|A-λE|=0，求出λ值。A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值。

设矩阵为A，特征向量是t，特征值是x，At=x*t，移项得（A-x*I）t=0，

∵t不是零向量

∴A-x*I=0，（2-x）（1-x）（-x）-4（2-x）=0，化简得（x-2）（x^2-x-4）=0，

∴矩阵有三个特征值：2，（1±根号17）/2。把特征值分别代入方程，设x=（a，b，c），可得到对于x=2，b=0，a+c=0，对应x=2的特征向量为（-1，0，1）（未归一化），其它x的一样做。

求矩阵的全部特征值和特征向量：

1、计算的特征多项式；

2、求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

3、对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）

[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

以上内容参考：网络-特征值