正多边形外接圆直径计算方法

㈠ 正多边形和圆的定理和公式是哪些

〖圆的定义〗

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d
扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S

〖圆和其他图形的位置关系〗

圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

【圆的平面几何性质和定理】
〖有关圆的基本性质与定理〗

圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗

一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

〖有关切线的性质和定理〗

圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr² 3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl

【圆的解析几何性质和定理】
〖圆的解析几何方程〗

圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：

当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；
当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；
半径r，直径d1．正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．
2．n°的圆心角所对的弧长，扇形面积及它们的应用．
3．圆锥侧面积和全面积的计算公式．

难点与关键
1．正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系
2．弧长和扇形面积公式的应用；由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．
3．圆锥侧面积和全面积的计算公式．

二、知识要点透析
知识点一、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点诠释：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形).

知识点二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算
(1)正n边形每一个内角的度数是；
(2)正n边形每个中心角的度数是；
(3)正n边形每个外角的度数是.

知识点三、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边
数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.


知识点四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.

2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图.

知识点五、弧长公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点诠释：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的n表示1°圆心角的倍数，故n和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第
三个量.

知识点六、扇形面积公式
1.扇形定义：
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式：
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点诠释：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可
以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类
似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

知识点七、圆锥的侧面积和全面积
连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形面积圆心角为n°，则
圆锥的侧面积，全面积.
要点诠释：
扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

三、规律方法指导
1．首先要结合图形真正理解掌握正多边形及其相关的一些概念；
2．在进行正多边形的有关计算时，要利用由正多边形的半径、边心距及弦的一半组成的直角三角形结
合勾股定理进行计算；
3．注意掌握用尺规等分圆的方法画一些特殊的正多边形；
4．注意弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位，若圆心角的单位不统一，应先统
一单位，化为度；
5．扇形面积公式与三角形面积公式类似.把弧长看作底，R看做高就比较容易记忆了；
6．对组合图形面积的计算问题，应认真全面观察和分析图形，避免拿起题目就盲目乱做.

㈡ 多边形的内、外接圆的半径怎么求啊

用角度求，将正多边形一边的中点与圆心及相邻一顶点连起来，构成一直角三角形。由正多边形边数求出一个内角的度数，除以二即为直角三角形一个锐角，半径为一直角边，用三角函数即可求得。
外接圆半径为顶点和圆心的连线，同样算出度数，用三角函数求出。
你这个图有点吓人

㈢ 正六边形，平行边宽度50MM，求外接圆直径

外接圆直径=6边形的2倍=50除以（2分之根号3）
=3分之100倍根号3
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㈣ 内接圆和外接圆半径计算公式

内接圆半径公式：R=a除以2sinA=b除以2sinB=C除以2sinc，外接圆半径公式：r=2S除以（a+b+c）。与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。三角形有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点。三角形外接圆圆心叫外心。
圆是一种几何图形。根据定义，通常用圆规来画圆。同圆内圆的直径、半径的长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是一种概念性的图形。

㈤ 知正五边形的边长,怎么求此外接圆的半径

正五边形的每个内角是(5－2)×180°/5＝108°。

连接圆心和一条边的两端，得到一个等腰三角形，其底角为108°/2＝54°，顶角为180°－2×54°＝72°。

设正五边形的边长为a，外接圆的半径为r，则r＝a/(2cos54°)＝a/(2sin36°)。

五边形

在平面几何学上指所有由五条边围衬成及有五只角的多边形。完美五边形和正五边形都是五边形的一种特殊类型。

正五边形，是正多边形的一种，有将正五边形的对角线连起来，可以造成一个五角星。组成的图形里可以找到一些和黄金分割（φ = (√5-1)/2）有关的长度。

㈥ 正多面体的内接圆 外接圆半径公式

圆的话应该是说的某一个面上的外接或者内切圆吧，而且应该是正多面体，如果是这样的话有下列公式：r=a/(2sin∏/n)
式中，r--外接圆半径，n---b边数
r=a/[2tan(α/2)]
式中，r--内切圆半径，α--a边所对的圆心角
表面积就是面数乘以单个面面积(三角形√3a^2/4,正方形a^2,正五边形tan72a^2/2)

㈦ 正六边形，求外圆得半径，想知道计算方法

正六边形的顶点全在圆上，算出对角线的长度就是圆的直径。希望能帮助到你

㈧ 正方形内接圆 外接圆 求计算公式

设正方形边长=a正方形内接圆半径=a/2，面积=πa^2/4 正方形外接圆半径=√2a/2, 面积=πa^2/2。

与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

性质

（1）在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。

（2）正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。

（3）常见辅助线：过圆心作垂直。

㈨ 已知一个正五边形的边长为500，怎么求它的外接圆的半径

正五边形ABCDE,的外接圆圆心为O，连接OA,OB,则角AOB=72度，作AB的垂线H，由于OA=OB为圆半径，所以角AOH=1/2角AOB=36度，所以sin36度=AH/AO=(1/2AB)/AO
所以AO=(1/2AB)/sin36度=250/sin36度=250/0.58778525229247。
正多边形是指二维平面内各边相等，各角也相等的多边形，也叫正多角形。
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
正多边形的外接圆的半径叫做半径。
中心到圆内接正多边形各边的距离叫做边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个圆心角叫做正多边形的中心角。
外接圆
把圆分为n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边
形，也就是正n边形的外接圆。

内切圆
把圆分为m(m≥3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正m边形，也就是正m边形的内切圆。

内角
正n边形的内角和度数为：（n－2)×180°;
正n边形的一个内角是(n-2)×180°÷n.

外角
正n边形外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°
所以正n边形的一个外角为：360°÷n.
所以正n边形的一个内角也可以用这个公式：180°-360°÷n.

中心角
任何一个正多边形，都可作一个外接圆，多边形的中心就是所作外接圆的圆心，所以每条边的中心角，实际上就是这条边所对的弧的圆心角，因此这个角就是360度÷边数。
正多边形中心角：360°÷n
因此可证明，正n边形中，外角=中心角=360°÷n对角线
在一个正多边形中，所有的顶点可以与除了他相邻的两个顶点的其他顶点连线，就成了顶点数减2（2是那两个相邻的点）个三角形。三角形内角和：180度，所以把边数减2乘上180度，就是这个正多边形的内角和。
对角线数量的计算公式：n(n-3)÷2。

面积
设正n边形的半径为R，边长为an，中心角为αn，边心距为rn，则αn=360°÷n，an=2Rsin(180°÷n)，rn=Rcos(180°÷n)，R^2=r n^2+(an÷2)^2，周长pn=n×an，面积Sn=pn×rn÷2。
正多边形的对称轴

对称轴
正多边形的对称轴——
奇数边：连接一个顶点和顶点所对的边的中点的线段所在的直线，即为对称轴；
偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点的线段所在的直线，都是对称轴。
正N边形边数、角数、对称轴数都为N。
如果N为偶数时，它是中心对称图形，其中心为它的对称中心。
在正多边形中，只有三种能用来铺满一个平面而中间没有空隙的，即正三角形、正方形、正六边形。因为正三角形的每一个角等于60度，六个正三角形拼在一起时，在公共顶点上的六个角之和等于360度；正方形的每个角等于90度，所以四个正方形拼在一起时，在公共顶点上四个角的和也刚好等于360度；正六边形的每个角等于120度，三个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和也等于360度。我们常常看到的地砖，都是正方形或正六边形的。
如果用别的正多边形，就不能达到这个要求。例如：正五边形的每个角等于108度，把三块正五边形的地砖拼在一起，在公共顶点上三个角之和是108度*3=324度，小于360度，有空隙。而空隙处又放不下第四块正五边形的地砖，因为108度*4=432度，大于360度。
希望我能帮助你解疑释惑。