曲面积分计算方法

❶ 第一类曲面积分如何求

计算步骤如下：
cosαds=dx
cosβds=dy
cosγds=dz
α、β、γ分别为曲线与x轴、y轴、z轴的夹角则I=∫[L]f(x,y,z)ds=∫[a,b]f(x(t),y(t),z(t))sqrt[(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2]dt
曲线积分简介：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线
，设构件的质量分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρS求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。定义：设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn
把L
分成
n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ
f(x,y)i*ds，记λ=max(ds)
，若Σ
f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为:∫f(x,y)*ds
;其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

❷ 第二类曲面积分如何计算

第二类曲面积分是矢量场通过有向曲面的面积分，不会遇到投影图为一条线段或者是封闭的曲线的情况，因为矢量v
和ds的点乘在正交情况下为零。
三重积分计算的是对空间体积内的积分，不会在所围体积外积分，对球体的积分利用球面坐标来计算，最后转化成
定积分算出，谈不上要加什么负号问题！只有调换积分的上下限才改变符号！
从以上问题来看基础知识你掌握的不好！

❸ 曲面积分

不难学的，哥们给你说说吧：
第一类曲线积分，可以通过将ds转化为dx或dt变成定积分来做，但是单纯的第一类曲线积分和二重积分没有关系，只有通过转化为第二类曲线积分后，要是满足格林公式或者斯托科斯公式条件，可以用公式转化为简单的曲面积分，再将曲面积分投影到坐标面上转化为二重积分来计算，这是第一类曲线积分和二重积分关系，但是第一类曲线积分和三重积分么有任何关系……
第一类曲面积分，可以通过公式变换，将dS转化为dxdy，直接转化为二重积分来做，但是和三重积分没有任何关系，只有通过转化为第二类曲面积分，满足了高斯公式条件，才能用高斯公式转化为三重积分来计算
曲线积分与定积分，曲面积分与二重积分的区别：曲面积分、曲线积分都是给定了特定的曲线或者曲面的方程形式，意思是在曲线上或曲面上进行积分的，而不是像普通的二重积分和定积分那样直接在xyz坐标上进行积分，所以要将第一类曲线积分，第一类曲面积分通过给定的方程形式变换成在xyz坐标进行积分，另外既然给定了曲线或曲面方程，就可以根据方程把一个量表示成其他的两个量的关系，因为是在给定的曲线或曲面方程上进行积分的，所以要满足给定的曲线或曲面的方程，所以各个量之间可以代换的，这个普通的定积分和二重积分不能这么做的……
第一类曲线积分：对线段的曲线积分，有积分顺序，下限永远小于上限……求解时米有第二类曲线积分简单，需要运用公式将线段微元ds通过给定的曲线方程形式表示成x与y的形式，进行积分，这个公式书里面有的，就是对参数求导，然后再表示成平分和的根式……
第二类曲线积分：对坐标的曲线积分，没有积分顺序，意思是积分上下限可以颠倒了……
第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系：可以用余弦进行代换，余弦值指的是线段的切向量，这个书本里面的，我就不写了
第一类曲面积分：对面积的曲面积分，求解时要通过给定的曲面方程形式，转化成x与y的形式，这个公式书里面也有的，就是求偏导吧？然后表示成平方和根式的形式
第二类曲面积分：对坐标的曲线积分，这个简单一些，好好看看就可以了
两类曲面积分的联系：可以用余弦代换，但是这个余弦是曲面的法向量
下面给出第一类曲线积分和第一类曲面积分的联系，方便你记忆：都是要转化成在xyz坐标面上的积分，都是平方和的根式形式，但是第一类曲线积分是对参数求导，第一类曲面积分是求偏导，为何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直线代替曲线，相当于正方体求对角线，你想想是不是，肯定要出现平方和的根式，你好好看看推导过程……
第二类曲线积分与第二类曲面积分的关系：
第二类曲线积分如果封闭的话，可以用格林公式或斯托克斯公式化简
第二类曲面积分如果封闭的话，可以用高斯公式进行化简
这些东西很有趣的，你要学会对应的记忆啊……
希望对你能有所帮助。

❹ 利用高斯公式计算曲面积分

利用高斯公式计算曲面积分是3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫[(y-1/2)+1/2]dxdydz，在静电场中，穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关，且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率。
曲面积分定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。
第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

❺ 第二类曲面积分的计算方法z=z(x,y)

从你的表述上来看,你只要化dydz为dxdy,
给出S曲面的方向即可了.
令p(x,y,z)=yf(x,y,z)+x a为曲面上点的法向量,与x轴正向的夹角,c为法向量与y正向的夹角
则∫∫S p(x,y,z)dydz=∫∫S p(x,y,z)cosads 由于dydz=cosads 所以不必考虑方向
=∫∫S p(x,y,z) cosa/cosc *cosc ds
=∫∫S p(x,y,z) cosa/cosc dxdy
所以只要确定了cosa,cosb,cosc的正负,在曲面积分坐标转换时就不必再考虑方向问题了.
至于什么时候要考虑方向问题,我也提一下吧:
在我们要计算第二类曲面积分的时候:
出了高斯公式等,我们一般就是先把他们转化成各个坐标平面上的二重积分:
此时就应该考虑方向问题:
比如根据c (即曲面法向量与z轴的夹角)
积分曲面S由单值函数z=z(x,y)给出,S在x0y平面的投影为Dxy,
我们有∫∫S R(x,y,z)dxdy=±∫∫(Dxy) R[x,y,z(x,y)]dxdy

❻ 第二类曲面积分公式

第二类曲面积分的计算有三种方法
,利用高斯公式可以简化曲面积分的计算。该文通过纠正同济大学数学教研室主编的《高等数学》教材中的一典型错误
,重点分析高斯公式的条件和结论
,进而说明在曲面积分计算中如何运用好高斯公式
第二类曲面积分
∑Pdydz
+Qdzdx
+Rdxdy的计算方法有
:(一
)通过投影法化为二重积分。(二
)利用两类曲面积分之间的联系进行转化。(三
)利用高斯公式1、若
P、Q、R在闭曲面所围成的空间闭区域Ω上具有一阶连续偏导数
,则
∑Pdydz
+Qdzdx
+Rdxdy
=
Ω
P
x+
Q
y+
R
z
dv其中
∑

❼ 曲面积分补面法公式

曲面积分补面法公式∫∫∫（x+y+z）dv。

在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。 高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。

定义

在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

❽ 求曲面积分

是指曲面表面的面积。把光滑曲面S分成没有公共内点的n块S1,... , Sn，且每一块仍是光滑曲面，在每个S上取一点P，过P作S的切平面T，将s投影到T上，所有这些投影的面积之和的极限(当所有S的直径趋于零时)如果存在，就是曲面S的面积，对有界简单光滑曲面而言，这样的极限总是存在的，而且与曲面的光滑等价的参数表示的选择无关。
设空间有界曲面
为
其中
是
在
面上的投影区域，
在
上具有连续的偏导数，下面讨论曲面
的面积的计算问题。
现用平行于x轴和y轴的两组平行直线分割投影区域
，任取其中的一块记作
，其面积也记作
，则当
的直径很小时，

表示以
的边界为准线，母线平行于z轴的柱面截得的曲面
上的那部分，设
是
上的任一点，根据条件，曲面
在点P处有切平面，则可用柱面截得切平面上的那一小片平面的面积dS近似地代替
的面积
，则
其中，
是切平面与
面的夹角，也就是切平面的法向量n与
面的法线
轴的夹角，由曲面
的方程可知
所以
代人式(1)得
则曲面的面积微元为
将dS在投影区域
上积分，便得计算曲面面积的二重积分公式

❾ 曲面积分求详细计算

这是第二型曲面积分，曲面的显示表达式为z＝－根号(R^2－x^2－y^2)
法向量的第三个分量是－1，记D为x^2+y^2<=R^2，于是
原积分＝二重积分_(D) x^2*y^2*(－根号(R^2－x^2－y^2))*(－1)dxdy
注意上式最后一个－1是因为求的是下侧。
用极坐标x＝rcosa，y＝rsina，jacobian行列式为r，
＝积分（从0到R）dr 积分（从0到2pi）r^4*cos^2a*sin^2a*根号(R^2－r^2)rda
关于a的积分＝积分（从0到2pi）(1－cos4a)/8=pi/4。
关于r的积分在做变量替换r＝sina，0<=a<=pi/2，
化为积分（从0到pi/2）sin^5a*cos^2ada
=1/3－2/5+1/7＝8/105，最后得
＝2pi/105。