组合计算方法大全

❶ 排列组合A和C都有哪些计算方法

计算方法——

（1）排列数公式

排列用符号A(n,m)表示，m≦n。

计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)!

此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2)…1

例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。

（2）组合数公式

组合用符号C(n,m)表示，m≦n。

公式是：C(n,m)=A(n,m)/m!或C(n,m)=C(n,n-m)。

例如：C(5,2)=A(5,2)/[2!x(5-2)!]=(1x2x3x4x5)/[2x(1x2x3)]=10。

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排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算；定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。

（1）从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

（2）从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

❷ 排列组合的公式

排列组合计算公式如下：

1、从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A（n,m）表示。

排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

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排列组合的发展历程：

根据组合学研究与发展的现状，它可以分为如下五个分支：经典组合学、组合设计、组合序、图与超图和组合多面形与最优化。

由于组合学所涉及的范围触及到几乎所有数学分支，也许和数学本身一样不大可能建立一种统一的理论。

然而，如何在上述的五个分支的基础上建立一些统一的理论，或者从组合学中独立出来形成数学的一些新分支将是对21世纪数学家们提出的一个新的挑战。

❸ 常见排列组合问题的计算公式

在进行排列组合计算以及概率计算时我们经常会遇到一些具有相同性质的问题。假设问题的样本空间Ω中一共有k种类型的元素α, β,γ... κ。每种类型的元素个数分别为Nα, Nβ,Nγ... Nκ。那么这些元素组成的重复元素的集合Ω为：
Ω= { Nα * α, Nβ * β, Nγ * γ, ... Nκ * κ}

总的元素数量 N = Nα + Nβ + Nγ + ... Nκ

在实践中我们会遇到从集合Ω中取子集Ε的问题，取子集的问题从概率论的角度来说就是某种事件出现的概率。 如果是同时取的话就不会考虑排列的顺序因此这就会归类为一个求组合的问题。而如果是依次取的话就需要考虑排列的顺序了因此这个就可以归类为一个排列的问题，而对于排列的问题我们又可以细分为放回排列和不放回排列两种场景。因此我们可以将从集合Ω中取元素分类为三种大类型的问题：组合、放回排列、不放回排列。

对于组合类型的问题来说总是描述为从N个元素的集合Ω中同时取出M个元素组成的子集Ε， 然后再问其中的某种类型元素或者某几种类型元素出现的个数的问题。 这里之所以用组合的原因是强调 同时 以及不需要排列的概念，因此不需要考虑每次取的顺序，就不存在排列的问题。因此我们从N个元素里面取M个元素的总共的取法有 C(N,M) 种方法。

这里的γ 是k种类型的元素中的任意一种，数量为Nγ。 因为所有M个元素中γ的数量固定为R，因此其他剩下的元素的组合数量是C(N-Nγ, M-R)， 而在Nγ个中取R个元素γ的组合数量是 C(Nγ, R)。因此一共有：

C(Nγ,R) * C(N-Nγ, M-R)

_ 答 _ ：C(5,0) * C(3,2) / C(8,2) = 3 / 28

_ 答 _： C(5,0) * C(3,2) + C(3,0) * C(5,2) = 13

这个问题可以理解为分别计算出现0次到R次的和：

R
ΣC(Nγ, i) * C(N-Nγ, M-i)
i=0

C(5,2) * C(3,0) / C(8,2) = 10 / 28 //红球0次

M
Σ C(Nγ, i) * C(N-Nγ, M-i)
i=R

C(Nα, A) * C(Nβ, B) * ... C(Nγ, R) * C(Nα-Nβ - ... Nγ , M - A - B -... R)

_ 答 _: C(5,1) * C(3,1) * C(8-8, 2-1-1) / C(2,8) = 15 / 28

_ 答 _: C(5,1) * C(3,1) * C(8-8, 3-1-1) / C(2,8) = 0 / 28 // 因为C(0,1) == 0, 这是因为白色和红色取3个，不可能只有一个白球和一个红球的情况。

_ 答 _: 这个问题可以简化为 5个大于5的元素为一类，5为一类，4个小于5的元素为一类，这样就转化为了大于5的元素出现2次，等于5的元素出现1次的数量了： C(5,2) * C(1,1) * C(10 - 5 - 1, 3 -2 -1) = 10

这个问题可以先选择β 再来选择α。

M - B
C(Nβ, B) * Σ C(Nα, i ) * C(N-Nα-Nβ, M - i - B)
i = A

M-B-..R M-i-.. RM - i - j -..
Σ C(Nα, i) * Σ C(Nβ, j) * ... Σ C(Nγ, w) * C(N-Nα-Nβ - ... Nγ, M - i - j - ..w )
i=A j = Bw = R

_ 答：_ 按上述公式套入即可

A min(B, M-i)min(R, M - i - j -.. .)
ΣC(Nα, i) * Σ C(Nβ, j) * ... ΣC(Nγ,w) * C(N-Nα - Nβ -... Nγ, M - i - j - ..w)
i=0 j = 0w = 0

可放回排列每次从N个元素中取出一个元素，然后再放回，然后再继续取，依次取M次。这样一次就有N种取法，M次就一共有 N^M 种取法，因为是依次取所以需要考虑排列的顺序。 可放回排列也称为n重伯努利实验。每次取的元素都是独立的。

第i次有Nγ种取法，其他M-1次都有N种。因此结果是：

Nγ * N^(M-1)

上面公式中无论哪次取的概率都是： Nγ / N。这个就像可重复抽奖一样，对于奖品每次的概率都是一样的。

因为只有第i次取到元素γ，因此前面和后面都不能再出现γ了，这样的数量为：

(N-Nγ)^(i-1) * Nγ * (N - Nγ)^(M-i) == Nγ * (N-Nγ)^(M-1)

某元素一次可能出现在任何一个位置，某次出现的次数是: Nγ * (N-Nγ)^(M-1) 。而因为出现R次所以有：Nγ^R * (N - Nγ)^(M - R), 而这R次一共有 C(M, R)种位置摆放。因此最终的数量是：

C(M, R) * Nγ^R * (N - Nγ)^(M - R)

概率为C(M, R) * Nγ^R * (N - Nγ)^(M - R) / N^M = C(M,R) *(Nγ / N)^R * ((N-Nγ)/N)^(M-R) 。如果只有2种类型的元素，这个结果正是二项分布的公式。因此二项里面的概率p其实就是这种元素的个数Nγ/N。

_ 答：_ 每次有6种结果，可重复排列，因为这里要求最小为2，因此我们可以划分为 {3，4，5，6} {2} 2个集合,这样可以用 { 4 * a, 1*b} 这种形式，因此问题变为了求b出现1次或者出现2次的问题：

1 ^1*(5-1) (2-1) * C(2,1) + 1 ^2*(5-1) (2-2)*C(2,2) = 8 + 1 = 9

Nα * Nβ * ... Nγ * N^(M - R)

C(M, A) * C(M-A, B) *... C(M-A-B-..., R) * Nα^A * Nβ^B *... Nγ^R * (N - Nα -Nβ - ...Nγ) ^ (M - A - B - ... R)

_ 答: _ 10^3 * 4^2 * 6 ^ 2 * C(7,3) * C(4,2)

不放回排列是从N个元素里面依次取，每次取1个，然后一共取M次。这样第一次有N种取法，第二次有N-1种取法，第M次有N-M+1种取法，因此总的可取的数量是： A(N,M) 。这里的排列是要考虑顺序的。

前i-1次不能取到γ，i+1次以后也不能取到，而第i次有Nγ种取法，因此得到：

A(N-1, i-1) * Nγ * A(N-i, M-i) = Nγ * A(N-1, M-1)

某一个位置上一共有 A(Nγ, R) * A(N-Nγ, M-R)，一共有 C(M,R)种放置方法。因此结果是：

C(M,R) * A(Nγ, R) * A(N-Nγ,M-R)

这个问题因为每次取到的值和其他位置取到的值无关，每种类型的方法都是其元素的数量，因此可以用乘法，剩余的再用排列来计算。

Nα * Nβ * ...*Nγ * A(N-R, M-R)

这个问题中每种类型出现的次数固定，因此这种类型用排列，每种元素之间用乘法来实现，同时每种元素的位置则是用组合。

C(M, A)*C(M-A, B) *...C(M-A-B..., R) * A(Nα, A) *A(Nβ, B) * ..A(Nγ, R) * A(N-Nα-Nβ-...Nγ, M-A-B-...R)

_ 答: _ C(7,3) * C(4,2) * A(10, 3) * A(4,2) * A(6 , 2)

通过上面的公式，我们可以发现这些公式之间的一些相似的特征:

❹ 排列组合知识的计算方法有哪几种

1、C的计算公式：

C表示组合方法的数量，比如：C（3，2），表示从3个物体中选出2个，总共的方法是3种，分别是甲乙、甲丙、乙丙（3个物体是不相同的情况下）。

2、A的计算公式：

A表示排列方法的数量，比如：n个不同的物体，要取出m个（m<=n）进行排列，方法就是A（n，m）种，也可以这样想，排列放第一个有n种选择，第二个有n-1种选择，第三个有n-2种选择·····第m个有n+1-m种选择，所以总共的排列方法是n（n-1）（n-2）···（n+1-m），也等于A（n，m）。

两个常用的排列基本计数原理及应用：

1、加法原理和分类计数法：

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务，两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)，完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。

2、乘法原理和分步计数法：

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务，各步计数相互独立，只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

❺ 组合公式怎么算

排列指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
比如从m个元素中取出n个进行排列，通常用符号a(m,n)表示，计算式为a(m,n)=m!/(m-n)!，其中！表示阶乘。
组合指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
比如从m个元素中取出n个，不考虑排序，通常用符号c(m,n)表示，计算式为c(m,n)=m!/(n!(m-n)!)
希望对你有帮助，望采纳，谢谢~