变分的计算方法

⑴ 变分法的变分法与微分法

变分法概念与寻常分析中的微分概念很为类似，但所联系的不是x的变化，而是函数y（x）的变化。如果函数y（x）使U（y）达其极值，则U的变分δU变为0。
几乎所有的物理和力学的基本规律都陈述为规定某一泛函的变分应该是0的“变分法原理”，由于这个原故变分法使许多重要的物理物理问题及技术问题得以解决。

⑵ 什么是变分法应该如何理解变分法

教材中的变分法严格的说与泛函分析教材无关，是大学实分析或者最优控制课程里的知识点，

了解变分法，首先要理解泛函这一概念:

泛函是一种映射，原像空间(定义域)是函数空间，像空间(值域或达域)是实数(复数)空间，

与一般函数不同的是函数的自变量的取值在复数空间，因变量的取值亦是如此。而泛函则是把函数作为自变量，因变量在复数空间。

变分，即可视作对泛函这一特殊函数的微分。详细说明如下:

⑶ 变分法是什么

变分在数学和物理里面都有，学物理的人用的时候都不是那么严格，一般来说函数对自变量我们用偏导，而泛函的自变量是函数，对函数就只能用变分了。
物理上变分法一般是让泛函的自变量（函数）有小的变动，但是两个端点不能动。然后要求泛函的变分为0，这样可以求得运动方程，如果和实际的运动方程一致，我们认为我们选择的泛函是合理的
上面哥们答得也很不错。这里我就不重复了

⑷ 拉格朗日方程的变分

1638年，伽利略（Galileo Galilei）提出了“最速降线”应该是直线下方的某条线，引发了求解最值函数的需求，注意不是函数最值哦。
1687年，牛顿在解决了最小阻力问题(Newton's minimal resistance problem)，该问题被认为是首个变分问题，拉开了变分法的序幕。
1696年，瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）向所有数学家提出了挑战，收到了牛顿、他哥雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）等5人的答案，变分法思想已初步呈现。
1733年，欧拉（Leonhard Euler）首次完成了欧拉方程。
1755年，年仅17岁的拉格朗日将使用 \delta 算符的工作寄给欧拉，欧拉看后放弃了自己使用部分几何的方法，转向拉格朗日纯分析的方法，欧拉-拉格朗日方程诞生！
1756年，欧拉在其讲座中正式称这种方法为：变分（calculus of variations）

⑸ 变分原理的变分原理

把一个力学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，就称为该物理问题 （或其他学科的问物理题）的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如着名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。近似计算方法主要有：李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。

⑹ 变分学简介

変分学即为变分法。

变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理学问题，最终由数学家研究解决。

有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。

欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 简称E-L方程，在力学中则往往称为拉格朗日方程。正如上面所说，变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。

值得指出的是，E-L方程只是泛函有极值的必要条件，并不是充分条件。就是说，当泛函有极值时，E-L方程成立。在应用中，外界给定的条件可以使得E-L方程在大多数情况下满足我们的需求。

所以尽管下面我们要在比较强的条件下推导，并且这种推导在某些意义上有些不太严谨，完全可以在较弱的情况下予以完全严谨的证明，但是就我们所要用的层面而言，也是足够的了。

(6)变分的计算方法扩展阅读：

变分法与微分法

变分法概念与寻常分析中的微分概念很为类似，但所联系的不是x的变化，而是函数y（x）的变化。如果函数y（x）使U（y）达其极值，则U的变分δU变为0。

几乎所有的物理和力学的基本规律都陈述为规定某一泛函的变分应该是0的“变分法原理”，由于这个原故变分法使许多重要的物理问题及技术问题得以解决。

⑺ 变分方法

9.1.1 泛函与变分

所谓变分法就是研究泛函极值的方法。实际上泛函是函数概念的推广，变分是微分概念的推广。数学中函数的概念是众所周知的，若设x为自变量，y为因变量，则函数可表示为

y=y（x）

x和y存在着对应关系，即x的每一个值都与y的某个值相对应，则称y是x的函数。

若J又是y的函数，即每一个函数都有变量J的值与之相对应，则称变量J是y（x）的泛函，并表示为

J=J［y］=J［y（x）］

由此可见泛函与一般的函数不同，它的自变量是一个函数，即泛函是具有函数的函数的意思，而且应注意，这里因变量J是一个实数。

图9.1 AB两点间最短线问题

为了对泛函有一个具体的认识，这里举一个简单的例子。设平面上有A、B两点，求连接A、B且长度最短的线（显然是连接A、B的直线）。这个问题在数学上可以表述如下，作连接A、B两点的任意曲线y=y（x），见图9.1，曲线元弧长为ds=

，于是曲线长度为

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式中y是x的函数，曲线长度J又是y的函数，所以J［y（x）］称为泛函。求最短线问题在数学上可表述为，在满足边界条件

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的情况下，找出一个函数y=y（x），使泛函（9.1.1）式取极小值。

有了泛函的概念，下面便可以讨论泛函自变量的变分和泛函的变分概念。

若自变量y（x）取函数y₁（x），则y（x）在y₁（x）上的增量是指y₁（x）附近函数

（x）与y₁（x）的差：

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自变量y₁（x）的增量δy（x）称为自变量y（x）的变分。

如果泛函J［y（x）］的自变量的增量为δy（x），则

ΔJ=J［y（x）+δy（x）］-J［y（x）］

就是泛函的增量。若泛函的增量ΔJ可以表示为

ΔJ=L［y（x），δy（x）］+α （9.1.3）

其中L［y（x），δy（x）］关于δy（x）是齐次线性的，即

L［y（x），δy₁（x）+δy₂（x）］=L［y（x），δy₁（x）］+L［y（x），δy₂（x）］

=L［y（x），λδy（x）］=λL［y（x），δy（x）］

且当δy（x）为无穷小时，α为高阶无穷小；则称（9.1.3）式中的L［y（x），δy（x）］为J［y（x）］在y（x）处的变分，记作δJ［y（x）］。即有

ΔJ=δJ+α（高阶无穷小）

简单地说，泛函的变分是泛函增量的线性主部，这是函数变分的一个定义。下面介绍泛函变分的另一个定义。

给定泛函J=J［y（x）］，考虑泛函在y（x）+tδy（x）的值J［y（x）+tδy（x）］。根据前一定义，若泛函在泛函增量线性主部意义下有变分存在，则

ΔJ=J［y（x）+tδy（x）］-J［y（x）］

=L［y（x），tδy（x）］+α

考虑到

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其中因为L［y（x），tδy（x）］关于δy（x）是线性的，所以

L［y（x），tδy（x）］=tL［y（x），δy（x）］，且

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所以泛函J［y（x）］在y=y（x）处的变分等于泛函J［y（x）+tδy（x）］在t=0时关于t的导数。即

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9.1.2 泛函的极值

前面已叙述了变分方法是研究泛函极值的方法。设泛函J［y（x）］，如果存在y₀（x），使得y的存在域中所有的y（x），均满足

J［y₀（x）］≤J［y（x）］（或J［y₀（x）］≥J［y（x）］）

则称J［y（x）］在y₀（x）取极小值（或极大值）。如果仅对于邻近y₀的y，上式成立，则称J（y）在y₀取局部极小（大）值。

若泛函J=J［y（x）］有变分，且在y₀（x）处达到极小值或极大值，则在y₀（x）处的一阶变分为：

δJ=δJ［y₀（x）］=0 （9.1.6）

（9.1.6）式就是J［y（x）］在 y₀取极值的必要条件。函数 y=y₀（x）称为极值函数（或极值曲线）。

实际上，若J［y（x）］在y₀取极值，记y（x）-y₀（x）=δy（x），则对于任意的t，

J［y（x）］=J［y₀（x）+tδy（x）］

当y₀（x）、δy（x）固定时J［y₀（x）+tδy（x）］=φ（t）是t的函数。因为J在y₀处达到极值，所以当t=0时φ（t）达到极值。即

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故有ΔJ=L［y₀（x），δy（x）］=0

下面讨论泛函

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在边界条件（9.1.2）式，即

y₁=y（x₁） y₂=y（x₂）

条件下的极值问题。

按定义，泛函（9.1.7）式的增量为

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由台劳公式

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其中α′为高阶无穷小量。故有

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上式中第一项关于δy是齐次线性的，第二项是高阶无穷小量，所以J（y）的变分是

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应当指出，泛函的变分是由δy引起的。但δy并非由x变化引起，恰恰相反，δy=y（x）-y₀（x）是在x为同一数值时得到的。所以在上式的变分计算中，把x看作常数。其中y₀（x）为极值曲线，y（x）为一条与y₀（x）靠得很近的曲线。

根据分部积分公式

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（9.1.8）式右侧第二项可写成

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将积分限代入上式右侧第一项，且由边界条件显然有δy（x₁）=0，δy（x₂）=0，故该项为零。于是

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由极值必要条件，为了使任意函数δy都满足δJ（y）=0，则必须有

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上式称为欧拉方程，是泛函（9.1.7）式取极值的必要条件。（9.1.9）式是一个微分方程，求解这个微分方程，可得无穷多个极值曲线。再把边界条件代入，就可得到唯一的极值曲线。这样，泛函的极值问题可归结为相应的微分方程的解。

例如，对于泛函（9.1.1）式，有F（x，y，y′）=

，所以相应的微分方程为

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这个微分方程很易求解。对x积分后，得y′=c₁

，化简后y′=c₂，再积分，得y=c₂x+c₃。式中c₁，c₂，c₃均为常数，将边界条件（9.1.2）代入上式，可求得

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即得

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这就是连接图9.1中A、B两点的直线方程，即所求的最短线方程。

数学上还可以反过来证明，一个微分方程的解可以归结为相应泛函的极值，所以泛函的极值与相应的微分方程的解是等价的。

⑻ 变分法的介绍

《变分法》是工程力学专业本科生的专业课之一，是选修课，是《弹性力学》课程提高和延伸部分。用广泛的变分方法来解决弹性力学的边值问题，建立了弹性力学的几个变分原理，从这些变分原理出发，用一致的方法导出各种类型弹性力学的平衡方程。变分原理为各种近似解奠定了理论基础，是从事固体力学研究人员必备的专业理论，为进一步学习有限元理论，塑性力学等提供了必要的理论基础。（《变分法》教学大纲）

⑼ 如何对hamilton原理进行变分运算

变分法的应用多集中于最优化、极值等方面，通过求取极值等条件求得对应的曲线、曲面等。通过基本原理列出泛函式子，再由变分原理求取极值，从而得到所求解答。