旋量计算方法

① 尘封的往事：量子场论研究的“中国魔术”

2016年的10月10日到21日，一场关于量子场论中的散射振幅的workshop在位于北京北四环的中科院卡弗里理论物理所举行。这workshop的中国当地组织者是来自浙江大学的冯波、来自科学院理论物理所的何颂以及杨刚。

② 机器人机构学的数学基础的目录

序
前言
符号表
第1章 绪论
1.1 机构学与机器人学的发展历史概述
1.2 机构学及机器人学基础
1.2.1 机构与机器人的基本组成元素：构件与运动副
1.2.2 运动链、机构与机器人
1.2.3 自由度、活动度与约束
1.2.4 机器人机构的分类
1.3 机器人机构学的主要研究内容
1.3.1 机构与机器人的结构分析与综合
1.3.2 机构与机器人的运动学性能评价指标
1.3.3 机构与机器人动力学
1.3.4 机构与机器人的设计理论
1.4 机构学与机器人学研究的数学方法
1.4.1 李群、李代数
1.4.2 旋量理论
1.4.3 现代数学工具在机构学与机器人学中的应用举例
1.5 本书概述及使用建议
1.5.1 本书概述
1.5.2 文献使用与说明
第2章 预备知识
2.1 线性空间
2.2 欧氏几何
2.3 射影几何与齐次坐标
2.3.1 射影直线、射影平面与射影空间
2.3.2 点线面的齐次表示与P1ucker坐标
2.4 线几何
2.4.1 线矢量的定义与P1ucker坐标
2.4.2 线矢量的运算
2.4.3 Kiein映射
2.5 微分流形
习题
第3章 李群与李子群
3.1 群与李群的定义
3.2 几种典型的李群
3.3 李群的映射
3.4 李群的作用
3.5 李子群的运算
3.6 SE（3）及其子群
3.7 位移子群的正则表示与共轭表示
3.8 位移于流形
3.9 参考文献说明
习题
第4章 李代数
4.1 李代数的定义
4.2 几种特殊的李代数
4.3 指数映射
4.4 SE（3）伴随表达的指数映射
4.5 参考文献说明
习题
第5章 李群与刚体运动
5.1 刚体运动与剐体变换
5.2 刚体运动与李群
5.3 剐体运动的指数坐标
5.4 参考文献说明
习题
第6章 旋量与刚体运动
6.1 旋量的基本概念
6.1.1 旋量的定义
6.1.2 旋量的性质与运算
6.2 旋量与螺旋运动
6.2.1 螺旋运动的定义
6.2.2 运动旋量与瞬时螺旋运动
6.3 刚体速度的旋量表示
6.3.1 质点的瞬时运动速度
6.3.2 刚体速度的运动旋量坐标
6.3.3 刚体速度的坐标变换
6.3.4 刚体速度的复合变换
6.3.5 螺旋运动的速度
6.4 力旋量
6.4.1 力旋量的概念
6.4.2 力旋量的旋量坐标
6.5 反旋量
6.5.1 反旋量的概念
6.5.2 反旋量的特性
6.5.3 几种特殊的反旋量
6.6 旋量的时间导数
6.7 参考文献说明
习题
第7章 旋量系与反旋量系
7.1 旋量系
7.1.1 旋量集与旋量系
7.1.2 旋量集的线性相关性
7.2 特殊旋量系
7.2.1 旋量系的分类
7.2.2 旋量一系
7.2.3 旋量二系
7.2.4 旋量三系
7.2.5 旋量四、五、六系
7.2.6 可实现连续运动的旋量系
7.3 反旋量系
7.3.1 反旋量系的定义
7.3.2 特殊旋量系与其反旋量系之间的关系
7.4 反旋量系的快速计算方法
7.5 旋量集在不同几何条件下的维数
7.6 参考文献说明
习题
第8章 运动旋量系与约束旋量系
8.1 约束旋量系与运动链
8.2 等效运动副旋量系
8.2.1 等效运动副旋量系的概念
8.2.2 等效运动副旋量系的应用举例
8.3 约束作用下运动副旋量系的配置
8.4 约束作用下允许存在的运亏
8.5 机构可连续运动的条件
8.5.1 瞬时运动机构
8.5.2 机构可连续运动的条件
8.5.3 约束力及其允许的转动
8.6 参考文献说明
习题
第9章 复杂机构的自由度分析
9.1 与机构自由度相关的几个基本概念
9.2 机构自由度的计算公式
9.3 旋量集及旋量系的集合表示
9.4 并联机构的自由度分析
9.5 含复杂铰链的并联机构及其自由度分析
9.6 参考文献说明
习题
第10章 并联机构的构型综合
10.1 几种主流的构型综合方法概述
10.2 基于现代数学工具的并联机构构型综合研究内容
10.3 数综合
10.4 少自由度并联机构的约束特性
10.5 基于旋量系理论的约束综合法
1O.6 基于位移子群及位移流形的运动综合法
1O.6.1 位移子群、位移子流形与之对应的运动链
10.6.2 基于位移子群及位移子流形的运动综合法的般步骤
10.6.3 综合实例
10.7 并联机构的主动输人选取理论
10.8 参考文献说明
习题
第11章 串联机器人运动学
11.1 串联机器人正向运动学分析的指数积公式
11.1.1 DH参数与串联机器人正向运动学
11.1.2 串联机器人正向运动学的指数积（POE）公式
11.1.3 惯性坐标系与初始位形的选择
11.1.4 实例分析
11.1.5 nH参数法与POE公式的关系
11.2 串联机器人反向运动学的指数积公式
11.2.1 反向运动学的指数积公式
11.2.2 子问题的分类与求解
11.2 ，3应用举例
11.3 参考文献说明
习题
第12章 机器人机构的运动性能分析
12.1 机器人的速度雅可比矩阵
12.1.1 串联机器人的速度雅可比矩阵
12.1.2 并联机器人的速度雅可比矩阵
12.2 机器人机构的奇异位形分析
12.2.1 机器人奇异位形的定义
12.2.2 奇异位形的分类
12.2.3 机器人奇异位形的一般求解方法
12.2.4 典型机器人机构的奇异位形分析
12.3 机器人机构的灵巧性分析
12.4 机器人的运动解耦性分析
12.5 机器人机构的传动性能
12.6 机器人机构型综合的再讨论
12.7 参考文献说明
习题
第13章 机器人的静力学及静刚度分析
13.1 机器人的力雅可比矩阵
13.2 静刚度分析
13.2.1 刚性体机器人机构的静刚度映射
13.2.2 柔性机构的静刚度分析
13.3 参考文献说明
习题
第14章 机器人动力学基础
14.1 刚体的惯性
14.1.1 刚体动能与广义惯性矩阵
14.1.2 刚体的动量旋量
14.2 刚体运动的牛顿欧拉方程
14.2.1 一般刚体运动的牛顿欧拉方程
14.2.2 串联机器人紧凑形式的牛顿一欧拉方程
14.3 串联机器人的拉格朗日方程
14.3.1 质点系的拉格朗日方程
14.3.2 串联机器人的拉格朗日方程
14.4 参考文献说明
习题
附录：几何代数与刚体运动
A.1 几何代数概论
A23D几何代数与刚体运动
名词索引
参考文献

③ 有谁知道国际数学大师嘉当的资料

生： 西元1869年4月9日 于 法国Isere县的小村Dolomieu
卒： 西元1951年5月6日 于 巴黎
国籍： 法国
详细内容 : Elie Joseph Cartan(嘉当)是有名的法国数学家。其主要贡献在李群、微分方程和几何学等方面；他的贡献对现代数学的发展有重要影响。

早期继续了李（Lie）和德国数学家基灵（Killing）的工作，1894发表《有限维连续变换群的构造》，文中修正了基灵的连续变换群论，对复数域上单李代数完全分类给定严格证明。1913年完成了半单纯李氏代数有限为表示理论，奠定了李群表示理论的基础。在解决单李代数的表示时，他发现了旋量(旋量以后在量子力学和基本粒子理论中有重要应用)，提出正交群李代数的旋表示。

他对李群研究的第二个方面是讨论李群的整体性质，即它的拓扑性质。他用一种极富创见性的方法计算李群的贝蒂数，断言比利时数学家德．拉姆上同调群的维数就是贝蒂数（此断言后来由德．拉姆证明），他用左不变微分式来代替微分式，将贝蒂数的计算化为纯算术问题，从而最终得到解决。

在偏微分方程方面，他发展了普法夫的方程组理论，在他的方法中表现出强烈的几何倾向。他的偏微分方程组理论使他在无限李群、微分几何学、分析力学和广义相对论等方面又得出了杰出的结果。1920年以后，嘉当在相对论发展的影响下，对微分几何学进行了一系列的工作。他发展了一般流形上活动标架法，创立仿射联络、射影联络、保角联络的几何学，发现和研究对称黎曼空间，对联络进行深入研究。他提出的广义空间是纤维丛概念的前身，是克莱因几何学与黎曼几何学的统一。1930年发表的《有限连续群理论及位置分析》中，他总结了以前的研究并证明一系列新定理，其中包括:更明确的流形、连 续群、李群、齐性空间等概念，证明李群的闭子群是李群，首次证明李的第三基本定理的逆定理，证明单连通李群同胚于极大紧子群与欧氏空间的拓扑积。

其将G.Darboux所创立的动座标系的方法，自由自在的发挥，给了李氏群论、Pfaff形式论、不变积分理论、位相学、微分几何学(特别是连通几何学)、理论物理学等等...，无数的贡献。他的学位论文，到现在还吸引许多年轻研究者的注意，他创设的连通的概念也成为微分几何学上的基本慨念。嘉当晚年发展了对称空间理论，提出拟保形映象理论。

④ 有什么比较好的方法求解散射矩阵的级联吗

S矩阵program是一个非常精彩，同时也在研究的课题，这个问题提出好久都没人来答，正好最近看了一点这方面的内容，弱弱的说一下 S－matrix理论的研究源自于这样一个事实，如果计算胶子的散射矩阵，将它平方，再对偏振求和啥的，我们发现即使两点都如此麻烦。但是有趣的是，它算出来的结果却出奇的简单。如此复杂的算式居然得到了如此简单的答案，这就会让人思考可能是计算的方法本身出现了问题， 的确，由于通常的场论坚持用拉格朗日密度和作用量这些局域的东西进行描述，不得不出现很多冗余的自由度，也就是规范不变性带来的自由度，比如量子电动力学中的纵向偏振，规范场中的鬼场等都是规范自由度带来的不好的副产品。如果能抛弃费曼图，重新的基于可观测量formulate量子场论，避开了规范对称性带来的冗余自由度，那么可能计算就会大大的简化，并且看到一些新的东西。就像拉格朗日和哈密顿重新表述了牛顿力学，让量子力学得以在此基础上自然的出现。 散射振幅用的记号是旋量－螺旋度方法，它的出现基于这样一个事实，因为矢量是在这个表示下变换的，所以可以拆成一个左旋和一个右旋的旋量来表示。根据螺旋度的正负对于旋量进行分类。对于无质量的旋量场，4分量的dirac旋量可以脱耦合成两分量的外尔旋量，螺旋度为正的用方括号表示，螺旋度为负的用表示，因为无质量螺旋度和手征性又是一样的，所以也可以说用方括号表示右手，用尖括号表示左手旋量。这样，动量和偏振实际上都可以表示成spinor-helicity形式。

⑤ 在计算机构的自由度时，要注意哪些事项

(1)正确运用机构自由计算的公式

平面机构自由度的计算公式是个一般表达式，在实际计算中必须考虑各注意事项。

(2)要搞清楚构件、运动副及约束的概念

只有搞清楚构件、运动副及约束的概念，才能正确判断活动构件数、运动副的类型和各类运动副的数目。构件是独立的运动单元体。

对于貌似能独立运动而实际上不能做相对运动的所谓“构件”的组合应看作一个构件，如固结在同一轴上的凸轮、齿轮，同轴同速转动，应视为一个构件。运动副是指两个构件直接接触形成的可动连接。

要构成运动副必须满足以下条件：要有两个构件相接触，一个构件构不成运动副，两个以上的构件在一处接触可能构成多个运动副；两构件要直接接触。

否则不可能对构件的某些独立运动产生约束或限制，不能形成运动副；两构件要形成可动连接，若形成不可相对运动的连接，则这种连接称为固结，这两个“构件”实际上为一个构件。

(3)正确识别和处理机构中存在的复合铰链、局部自由度和虚约束

准确识别复合校链、局部自由度和虚约束，并做出正确处理，是自由度计算中的难点，也是容易出现错误的地方。

(5)旋量计算方法扩展阅读

1、基于群论、李代数、微分几何的知识来解决自由度计算的问题。群论、李代数、微分几何是解决复杂机构学问题的法宝。如果掌握，对于机构的设计与分析，并联机构的设计及计算，甚至机构的概念设计都有着十分积极的意义。

现代的机构学与机器人学很多理论都是基于此而形成的。然而此种方法对设计人员的知识水平要求较高，对于普通的设计人员以及大学本科生来说不太实用。

2、基于螺旋理论的自由度计算方法。旋量也是解决机构学问题的利器。该种方法虽然并不能完美地解决所有的自由度问题。但在理解上更接近于第一种。

在理解难度上大于第二种，计算难度上小于第二种。可以对于机构的概念设计有潜移默化的影响。不过对于普通的设计人员与大学本科生来说，理解还是困难的。

⑥ 自由度的分类

一个杆件（刚体）在平面可以由其上任一点A的坐标x和y，以及通过A点的垂线AB与横坐标轴的夹角等3个参数来决定，因此杆件具有3个自由度。
【计算公式】 F=3n－(2PL +Ph ) n:活动构件数，PL：低副约束数Ph:高副约束数
计算平面机构自由度的注意事项： 复合铰链 －－两个以上的构件在同一处以转动副相联。复合铰链处理方法:如有K个构件在同一处形成复合铰链，则其转动副的数目为（k-1）个。 局部自由度：构件局部运动所产生的自由度，它仅仅局限于该构件本身，而不影响其他构件的运动。局部自由度常发生在为减小高副磨损而将滑动摩擦变为滚动磨擦所增加的滚子处。处理方法：在计算自由度时，从机构自由度计算公式中将局部自由度减去。 虚约束 －－对机构的运动实际不起作用的约束。计算自由度时应去掉虚约束。虚约束都是在一定的几何条件下出现的。常见有以下几种情况： 两构件联接前后，联接点的轨迹重合。如：平行四边形机构，火车轮，椭圆仪。 两构件构成多个移动副，且导路平行。 两构件构成多个转动副，且同轴。 运动时，两构件上的两点距离始终不变。 对运动不起作用的对称部分。如多个行星轮 两构件构成高副，两处接触，且法线重合。如等宽凸轮
【注意】机构中出现虚约束是有条件的！虚约束一般有以下作用：改善机构受力情况；传递较大功率；
增加机构的刚度，如轴与轴承、机床导轨；使机构运动顺利，避免运动不确定，如车轮。 一个杆件（刚体），在空间上完全没有约束，那么它可以在3个正交方向上平动，还可以以三个正交方向为轴进行转动，那么就有6个自由度。
空间机构自由度的计算：
第一种方法：
传统方法，通过公式F=6n－
也就是通过所有刚体的自由度数之和减去每一个运动副所约束的自由度数。这种方法的优点是，便于设计分析人员的分析与计算。尤其在平面机构的自由度分析上，通过计算者识别虚约束与局部自由度，几乎可以完成大部分机构的自由度计算。然而对于空间机构来说，由于虚约束与局部自由度难以识别，而且机构本身的尺寸，约束的位置不同、机构的实际运动自由度会有很大的差异。该公式已经难以胜任间机构的自由度计算任务。不过难以否认的是该公式在机械设计史上的突出贡献，很多经典的机构，机械装置都是基于该公式设计而成的。
第二种方法
通过构建机构的运动学分析方程并分析其秩来计算其自由度，或是拆分出机构的每一个闭链，通过虚位移矩阵法来分析机构自由度。此种方法的好处是在理论上可以完美的计算出机构的自由度，计算方法在理解上较为简单。然而该种方法虽然理解简单但计算过程本身较繁琐，而且该方法适用于对于已设计出机构的分析，利用该公式进行机构设计并不太方便。不过这种方法也较为成熟，也最好理解，很多书籍上都有介绍。
第三种方法
对机构的Jacobian矩阵计算其零空间，来分析机构的自由度。这种方法虽然理论上也可以解决自由度计算但是应用较为少见。其一是零空间的计算十分困难，甚至利用软件也难以解决。其二是该种方法也适用于对已有机构的分析计算，难以利用该方法实现创新。
第四种方法
基于群论、李代数、微分几何的知识来解决自由度计算的问题。群论、李代数、微分几何是解决复杂机构学问题的法宝。如果掌握，对于机构的设计与分析，并联机构的设计及计算，甚至机构的概念设计都有着十分积极的意义。现代的机构学与机器人学很多理论都是基于此而形成的。然而此种方法对设计人员的知识水平要求较高，对于普通的设计人员以及大学本科生来说不太实用。
第五种方法
基于螺旋理论的自由度计算方法。旋量也是解决机构学问题的利器。该种方法虽然并不能完美的解决所有的自由度问题。但在理解上更接近于第一种。在理解难度上大于第二种，计算难度上小于第二种。可以对于机构的概念设计有潜移默化的影响。不过对于普通的设计人员与大学本科生来说，理解还是困难的。
总体来说，直到2015年还没有机构自由度计算的完美解决方案

⑦ 旋量是什么

迹规划是机器人控制问题的重要方面，根据作业要求通地轨迹序列控制点控制机器人位姿轨迹。Paul〔1〕首先利用齐次变换矩阵将手部在直角坐标下的位置、速度和加速度变换成各关节的位移、速度和加速度，然后规划成二次平滑函数。Paul方法的计算量非常大，Taylor〔2〕采用四元数表示法改进了Paul方法。后来Lin和Luh〔3，4〕提出规划轨迹的3次样条函数方法，可得到优化的关节运动规律，但当轨迹中间路径点个数n较多时，此法所需计算量也较大，而且缺乏时姿态插补的考虑。在许多高精度应用场合，如切割、弧焊等不仅要求机器人位置精确，还需要在该位置具有任意确定的姿态，对外部品质的要求是很高的。因此，必须解决机器人姿态在插补结点处相应的空间坐标，以寻求更具一般意义的位姿轨迹生成的通用算法。
本文运用旋量法来描述机器人末端夹持器在直角坐标空间中的位置和姿态对时间函数所显示的运动轨迹，由于姿态旋量的直观和简便对描述瞬时姿态有独特的优点，且计算量也小。文中还利用速度矢量是雅可比矩阵列向量的线性组合关系，对广义坐标的速度量进行线性规划，免去了求解运动学方程，并适合于具有冗余自由度的操作器。

1 机器人位姿轨迹
1.1 姿态旋量
机器人的位姿就是终端夹持器的位置和姿态。我们可以用角位移矢量Ω来描述机器人的姿态，设ψ为基坐标系中绕瞬时轴加转的等效旋转角，K表示基系中瞬时转轴的单位向量，则角位移矢量：
Ω＝ψK。
根据旋量定义，可以证明等效角位移矢量的姿态矢量是旋量，表示为

式中，OP为用位移矢量上给定的初始点位置，基系原点O为旋量参考点。

由对偶数理论可知：三维欧氏空间中直线与三维对偶空间中的点是一一对应，于此可将直角坐标空间中的姿态旋量映射到对偶空间，得到对应点，位姿轨迹的规划问题便转化为对偶空间中由姿态旋量所映射的点运动轨迹的选择问题。

图1 姿态旋量

1.2 位姿轨迹
设T为机器人由起始点到结束点完成运动所需的总时间，t为分段轨迹算起的时间，令

若在时间间隔〔0，t〕内，机器人完成一个给定的工作，整个工作轨迹上需计算的采样点数：
N0＝Int(t／T)。
姿态旋量时应的对偶空间中的点假设沿着一连续轨迹运动

是λ(t)的对偶函数，写成对偶坐标形式。
(1)
式中Ωxi,Ωyi,Ωzi为姿态坐标分量，的Plücker坐标(Ωi，Soi，用坐标分量的纯量形式表示为(Ωxi,Ωyi,Ωzi,S0xi,S0yi,S0zi)
姿态矢量Ωi为瞬时转动轴上的自由矢量，只有当Pi点位置确定后，它才在轴线上唯一定位。Ωi在空间的定位可通过瞬时转动轴线上Pi的位置矢量rip给定，于此S0i＝rip×Ωi〔5〕，将式(1)改写成行列式形式的参数方程为
(2)
式中，xpi,ypi,zpi为夹持器姿态矢量Ωi在轴线上Pi点相对于基系的坐标，式(2)就是机器人位姿的姿态旋量表示。由Ωxi，Ωyi,Ωzi确定机器人夹持器的姿态轨迹，由xpi,ypi,zpi导出其位置轨迹，设定理想位置及姿态轨迹为
(3)
(4)
代入式(2)便可确定机器人在对偶空间的姿态旋量。机器人在进行焊接或切割工作，圆弧曲线轨迹运动中姿态的变化，需要按式(2)求出每一采样时刻的姿态角。

2 机器人运动螺旋方程
设为终端速度旋量，为姿态角速度向量，vpi为终端位置速度，基旋量，
(5)
(6)
于端夹持器的瞬时运动螺旋方程为
(7)
螺旋轴线Plücker坐标为

3 关节运动速度
设固联于机器人各可动件上的附件参考系原点O′i放在运动副关节处，相邻运动副轴线之间的合法线长度为a12，a23，……；相邻两杆之间的偏距分别为d1，d2，…；相邻轴线之间的扭向角为v12，v23，…；运动副相对回转角为θ1，θ2，…。
定义函数

令
取第i关节的转角θi，或滑移距离zi作为广义坐标，qi＝(1－μi)zi＋μiθi(i＝1，2，…，n)
将螺旋运动旋量方程(7)作转换后可得
(8)
或表示为
(9)
式中，J1，J2，J3是雅可比矩阵J的三个3×3子阵，这里注意到六关节机器人决定姿态的关节4、5、6的变量没有影响vx,vy,vz的移动，可将式(9)分解写成
(10)
(11)
由上式可知终端执行器移动线速度和转动角速度与各关节角速度的关系由雅可比矩阵联系，它由机器人各杆件的位姿矩阵和旋转矩阵组合给出。
根据工作过程的需要，规划终端执行器的位姿轨迹及速度必需与末端的实际测定的数值一致。然而，机器人各杆件的弹性变动，关节间隙，重力负载及杆件离心效应等因素的影响致使机器人位姿动态精度形成误差。设为期望轨迹上的速度旋量，为机器人末端测定的实际速度旋量，由传感器可获得实际位姿轨迹与期望作业偏差为

机器人的位置和姿态误差分别小于给定误差R及G的概率〔6〕。为使误差收敛反回轨迹，以消除误差的累积效果，需使位置及姿态误差得到校正补偿，式(10)，(11)改写为
(12)
(13)
式(12)、(13)适用于J满秩的情况，当机器人具有冗余自由度时，对应的有无穷多解，对此可取能量损失为最小，选取最优解
(14)
为寻求满足式(14)使损失函数N()，为最小，应用拉格朗日算子解
(15)
W为n×n对称正定矩阵，λ为Lagrange乘子，满足最优解的必要条件是

即
(16)
(17)
在式(16)，(17)中消去λ，得最优解。
(18)
考虑到使误差得到收敛，式(18)改写成
(19)
其中均为正定阵。式(19)适用于有冗余自由度时的规划。要求关节运动速度不应达到边界位置极限速度，设M为允许的最大速度，必需使＜M，以适应电机最大转速的要求。

4 算 例
设斯坦福机械手在拟定轨迹中通过空间3个已知点P1(50，0，118)，P2(110.5，50，84)，P3(50.2，100，50)，并在三点保持姿态为Ω1(0，0，1.57)T，Ω2（0，－0.045，0)T，Ω3(0，0，1.57)T。P1，Ω1状态相对应的关节坐标及其相应的正弦和余弦值如表1，试规划其运动和位姿轨迹。
表1

关节坐标

坐 标 数 值 正 弦 余 弦
θ1 0° 0 1

θ2 90° 1 0

θ3 ／ ／
θ4 0° 0 1
θ5 90° 1 0
θ6 90° 1 0

解 设机械手终端以圆弧轨迹规划，其位置坐标函数及姿态坐标函数为
xp＝f1〔λ(t)〕＝60.5sin(2.9966°t)＋50，
yp＝f2〔λ(t)〕＝－50.03cos(2.9966°t)＋50，
zp＝f3〔λ(t)〕＝34cos(2.9966°t)＋84，
Ωx＝ζ1〔λ(t)〕＝－0.05cos2(2.9966°t)＋0.05sin(2.9966°t)＋0.05，
Ωy＝ζ2〔λ(t)〕＝－0.065sin(2.9966°t)＋0.02cos2(2.9966°t)＋0.02，
Ωz＝ζ3〔λ(t)〕＝0.0012cos2(2.9966°t)－1.57sin(2.9966°t)＋1.569。
设运动总时间为T＝60s，据式(2)当t＝40s时终端夹持器的位置，姿态为

据式(5)、(6)可求得t＝40s终端的位姿速度值，

斯坦福机械手雅可比矩阵的三个子阵为

其中，
J11＝－d2〔C2(C4C5C6－S4S6)－S2S5C6〕＋S2d3(S4C5C6＋C4S6)，
J21＝－d2〔－C2(C4C5C6＋S4S6)＋S2S5S6〕＋S2d3(－S4C5S6＋C4C6)，
J31＝－d2(C2C4S5＋S2C5)＋S2d3(S4S5)，
J12＝d3(C4C5C6－S4S6)，J13＝－S5C6，
J22＝－d3(C4C5S6＋S4C6)，J23＝S5S6,
J32＝d3C4S5，J33＝C5。
d2＝－t6041S1＋t6042C1，
d3＝S2(t6041C1＋t6042S1)＋t6043C2，
Ci＝cosθi，Si＝sinθi，(i＝1，2，…，6)，
t6041＝102.5，t6042＝25.09，t6043＝67.07，
可得d2＝25.09，d3＝102.5。
据测定手部位姿误差统计值为Δx＝0.08465，Δy＝0.1269，Δz＝0.1050，Δφx＝0.0022，Δφy＝0.0025，Δφz＝0.0041。取

据式(12)，(13)可得关节速度

5 结 论
1)本文用对偶映射原理来描述机器人的姿态旋量，用Plücker线坐标表达机器人位姿。
2)在机器人轨迹规划中，利用旋量方法时描述瞬时姿态具有直观、简便的独特优点，比较全面地表达了终端执行器的位置和姿态的轨迹生成，且计算量较少。
3)根据实际工作轨迹进行规划，提高了操作器运行精确性，并使非线性优化问题化为线性优化问题，利用速度矢量是雅可比矩阵列向量的线性组合关系，免去了求解逆运动学方程，并适合于具有冗余自由度的操作器。■

基金项目：福建省自然科学基金资助项目
作者单位：林瑞麟(华侨大学机电工程系，福建泉州362011)

参考文献：

〔1〕Paul R P. Manipulator cartesian path contor〔J〕. IEEE Transaction on Systems,Man, and Cybernetics,1979,9(11)：702～711.
〔2〕Taylor R H. Planning and execution of straight line trajectories〔J〕. IBM Journal of Research and Development,1979,23：424～436.
〔3〕Lin C S, Chang P R, Luh JYS. Formulation and optimization of cubic polynomial joint trajectories for instrial robots〔J〕. IEEE Jransaction on Automatic Control,1983,28(12)：1066～1073.
〔4〕Luh J Y S, Lin C S. Approximate join trajectories for control of instrial robots along cartesian paths〔J〕. IEEE Trans System, Man and Cybernetico，1984，14(3)：444～450.
〔5〕林瑞麟，蒋少茵，林碧. 旋量法在机器人动力学分析中的应用〔J〕.应用数学和力学，1996，17(1)：75～80.
〔6〕徐卫良，张启先. 机器人误差分析的蒙特卡洛方法〔J〕.机器人，1988，2(4)：1～5.

(汤任基推荐)
收稿日期：1998-02-05

修订日期：1999-10-30

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