最全计算方法

㈠ 最新最全住房公积金贷款买房计算方法！

你买房了吗？如果没有，那么买房知识怎么也不会嫌多。他会让你更加顺利购买到真正的好房子。今天小编与大家分享住房公积金贷款买房怎么计算：

住房公积金贷款额度的计算，要根据还贷能力、房价成数、住房公积金账户余额和贷款最高限额四个条件来确定，按四个条件算出的最小值就是借款人的最高可贷金额

计算方法如下：

1. 按照还贷能力计算的贷款额度
   职工本人贷款额度的计算公式为：
   （借款人月工资总额+借款人所在单位住房公积金月缴存额）×还贷能力系数-借款人现有贷款月应还款总额]×贷款期限（月）。
   夫妻双方贷款额度的计算公式为：
   （夫妻双方月工资总额+夫妻双方所在单位住房公积金月缴存额）×还贷能力系数-夫妻双方现有贷款月应还款总额]×贷款期限（月）。
   其中还贷能力系数为40%。
   月工资总额＝公积金月缴额÷（单位缴存比例＋个人缴存比例）。

2. 按照房屋价格计算的贷款额度
   计算公式为：贷款额度＝房屋价格×贷款成数
   a.购买商品住房、限价商品住房、定向安置经济适用住房、定向销售经济适用房或私产住房。
   职工家庭（包括职工、配偶及未成年子女，下同）贷款购买首套住房（包括商品住房、限价商品住房、定向安置经济适用住房、定向销售经济适用住房或私产住房），贷款额度不超过所购房屋价格的80%。其中私产住房的房屋价格为购房全部价款与房屋评估价格的较低值。
   职工家庭贷款购买第二套及其他符合我市购房条件的自有住房的，贷款额度不超过所购房屋价格的70%。
   购买定向安置经济适用住房的，贷款额度还应不高于所购住房全部价款与房屋补偿金的差价。
   b.购买公有现住房的，贷款额度不超过所购房屋价格的70%；在农村集体土地上建造、翻建、大修自有住房的，贷款额度不超过其所需费用的70%。

3. 按照住房公积金账户余额计算的贷款额度
   a.购买限价商品住房或经济适用住房，贷款额度不得高于职工申请公积金贷款时住房公积金账户余额（同时使用配偶住房公积金申请公积金贷款，为职工及配偶住房公积金账户余额之和，下同）的20倍，住房公积金账户余额不足2万元的按2万元计算。
   b.贷款购买首套自有住房的，贷款额度不得高于职工申请公积金贷款时住房公积金账户余额的20倍，住房公积金账户余额不足2万元的按2万元计算。
   c.以下情况贷款额度不得高于职工申请贷款时住房公积金账户余额的10倍，住房公积金账户余额不足2万的按2万计算：贷款购买第二套住房的；购买公有现住房的；在农村集体土地上建造、翻建、大修自有住房的。

4. 按照贷款最高限额计算的贷款额度
   使用本人住房公积金申请住房公积金贷款的，贷款最高限额60万元；同时使用配偶住房公积金申请住房公积金贷款的，贷款最高限额80万元。
   申请贷款时职工或其配偶正常缴存按月住房补贴的，参照正常缴存补充住房公积金的规定执行。
   计算出的贷款额度数值保留到千位，千位以下不为零的千位加一。

小编在此祝大家购房顺利!

（以上回答发布于2016-11-23，当前相关购房政策请以实际为准）

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㈡ 基本工资的计算方法

1、制度工作时间的计算

年工作日：365天-104天(休息日)-11天(法定节假日)=250天

季工作日：250天÷4季=62.5天/季

月工作日：250天÷12月=20.83天/月

工作小时数的计算：以月、季、年的工作日乘以每日的8小时。

2、日工资、小时工资的折算

按照《劳动法》第五十一条的规定，法定节假日用人单位应当依法支付工资，即折算日工资、小时工资时不剔除国家规定的11天法定节假日。据此，日工资、小时工资的折算为：

日工资：月工资收入÷月计薪天数

小时工资：月工资收入÷(月计薪天数×8小时)。

月计薪天数=(365天-104天)÷12月=21.75天

(2)最全计算方法扩展阅读：

根据《工资支付暂行规定》：

第十三条 用人单位在劳动者完成劳动定额或规定的工作任务后，根据实际需要安排劳动者在法定标准工作时间以外工作的，应按以下标准支付工资：

（一）用人单位依法安排劳动者在日法定标准工作时间以外延长工作时间的，按照不低于劳动合同规定的劳动者本人小时工资标准的150%支付劳动者工资；

（二）用人单位依法安排劳动者在休息日工作，而又不能安排补休的，按照不低于劳动合同规定的劳动者本人日或小时工资标准的200%支付劳动者工资；

（三）用人单位依法安排劳动者在法定休假节日工作的，按照不低于劳动合同规定的劳动者本人日或小时工资标准的300%支付劳动者工资。

实行计件工资的劳动者，在完成计件定额任务后，由用人单位安排延长工作时间的，应根据上述规定的原则，分别按照不低于其本人法定工作时间计件单价的150%、200%、300%支付其工资。

经劳动行政部门批准实行综合计算工时工作制的，其综合计算工作时间超过法定标准工 作时间的部分，应视为延长工作时间，并应按本规定支付劳动者延长工作时间的工资。

实行不定时工时制度的劳动者，不执行上述规定。

㈢ 汽车油耗多钱的计算公式

计算公式为百公里油耗*油单价÷100=每公里燃油费用。假设一辆车的百公里油耗为7升，当前如果92号汽油价格为每升7元，则该车行驶100公里需要的油钱大概为49元。然后再除以100公里，四舍五入就是0.49元。

加满了油到自动跳枪后，开车跑路到附油箱加油告急灯刚刚亮时，看看跑了多少公里。用50升减15升后，直接简单计算油耗。例如跑了420公里，用50升减15升后得35升再被4.2除得到8.333，这个8.333就是你的实际比较粗的百公里油耗。

业余计算方法一：所耗油量：100/7.5=13.3升；油耗：13.4/130*100=6.1升/百公里，即每百公里油耗为6.1升。

等速油耗是国标规定的某些类型车辆在等速行驶燃料消耗量试验中得到的车辆百公里油耗。这些类型车辆包括：

（1）M1类、最大设计总质量不超过3.5t的M2类和N1类的压缩天然气汽车；最大设计总质量不超过3.5t的M1类、N1类车辆，按GB/T 12545.1-2008《乘用车燃料消耗量试验方法》规定的试验方法。

（2）最大设计总质量超过3.5t的M2类、M3类和N2类、N3类的压缩天然气汽车；M2类、M3类和最大总质量大于或等于2t的N类车辆，按GB/T 12545.2-2001《商用车燃料消耗量试验方法》规定的试验方法。

M类、N类机动车在GB/T15089-2001中有定义。

㈣ 有没关于窗帘最齐全的计算方法

第一种方法：1 测量用料篇
⑴ 完成品宽度（轨道长度）
 窗帘做非整面墙测量宽度为窗户宽度加上窗户两侧各15-30CM，这样可以保

证窗帘拉上时，两侧无缝隙漏光，当窗帘拉开时，可以让光线充分进入。
 窗帘做非整面墙测量宽度为墙体宽度
⑵ 完成成品高度
 半高窗帘为窗框高度加上20-30公分
落地窗帘的产品高度为地板上1-2公分为宜
⑶面料的计算方法
一般样式的用料：

定高布：实际宽度× 2倍的皱摺 =用布的总米数
定高布敷料 ：
a．调节带：实际宽度× 2倍的皱摺
b．杆：实际宽度
c．底边铅坠：
实际宽度 ×2倍的皱摺
d. 三边铅坠
实际高度 × 2 ×片数 +实际宽度 ×2倍的皱摺

定宽布：（实际宽度 × 2倍的皱摺）/ 门幅的宽度 = 幅数
（实际高度 + 20公分） × 幅数 =总米数

定宽布敷料：
a．调节带：副数×门副的宽度
b．杆：实际宽度
c．底边铅坠：
幅数×门幅的宽度
d. 三边铅坠
实际高度 × 2 ×片数 + 幅数×门幅的宽度
第二种方法：窗帘计算

平开帘 平开帘要盖住窗框左右各0.15米 并且打两倍褶。窗帘离地面

0.1～0.2米。

1、平开帘计算方法：（窗宽+0.15×2）×2＝成品帘宽度2

成品帘宽度÷步宽×窗帘高＝窗帘所需布料

如：窗宽2.5米，高1.6米，布料宽1.5米

用料米数为：（2.5+0.15×2）×2＝5.6 5.6÷1.50×1.6＝6米

2、帘头计算方法：帘头宽×3倍褶÷布宽（1.50米）＝幅数

幅数×（帘头高度+免边）＝所需布数米数

如：窗帘帘头宽2.5米，高0.48米

用料米数为：2.5米×3÷1.5米＝5 即5幅布 5×（0.48+0.2米）＝3.4

米

罗马帘：罗马帘分为内罗马帘和外罗马帘。外罗马帘盖住窗外框即可，

内罗马帘测量一定要准确，测量上中下三道尺寸。

以外罗马帘为例：单个罗马帘宽度都在1.5米以内，因此在计算时只需

考虑长度，用一幅布料即可。

罗马帘计算方法：1幅×（窗高+免边）＝所需布料米数

如：布宽1.5米成品帘规格：宽1.2米×高1.5米

计算方法：1幅×（1.5+0.2）＝1.70米

里布计算方法：帘高+0.04米（每个褶用布量）×褶数＝里布所需布料

米数

由于罗马帘要在里布上穿铝条，里布的长要加上打褶所需布料。
即长：1.5米（帘高）+0.04米（每个褶布用量）×4个褶＝1.66米

第三种方法：计算平开窗帘的方法普通窗帘多为平开帘，计算窗帘用料前，首

先要根据窗户的规格来确定成品窗帘的大小。 成品帘要盖住窗框左右各

0.15m ，并且打两倍褶。安装时窗帘要离地面 1-2cm 。 计算方法： ( 窗宽

+0.15*2)*2= 成品帘宽度÷布宽 * 窗帘高 = 窗帘所需布料 窗帘帘头计算方

法：帘头宽 *3 倍褶÷ 1.50m 布宽 = 幅数 ( 帘头高度 + 免边 )= 所需布数

米数 假如窗帘帘头如宽 1.92m*0.48m 用料米数为 1.92m*3 倍÷

1.50m=3.84, 即 4 幅布 4*(0.48+0.2m)=2.72m
style="BACKGROUND: white; LINE-HEIGHT: 150%; TEXT-ALIGN: center"计算

罗马帘的方法罗马帘分为外罗马帘和内罗马帘测量：外罗马帘尺寸只要盖住窗

外框即可，内罗马帘测量一定要求准确，测量上、中、下三道尺寸。 以外罗

马帘的制作为例：单个罗马帘宽度都在 1.5m 以内，因此在计算时只需考虑长

度，用一幅布料即可。计算方法为： 1 幅 *( 窗高 + 免边 )= 所需布料米数

假定布宽 1.50m ，成品帘规格：宽 1.20m* 高 1.50m 计算方法为： 1 幅

*1.50( 窗高 )+0.20( 免边 )=1.70m 里布：由于罗马帘要在里布上穿铝条，

里布的长要加上打褶所需布料。 计算方法为：帘高 +0.04m( 每个褶用布量

)* 褶数 = 里布所需布料的米数 即长： 1.50m( 帘高 )+0.04m( 每个褶用布

量 )*4 个褶 =1.66m 宽： 1.2m 在罗马帘背面穿铝条，缝吊环，垂直列间距

为 25-30cm, 水平方向约 2-3 等份。 将每一垂直列的吊环用绳系起，即完成

制作。

第四种方法：窗帘价格如何计算
窗帘的主料并不贵，贵的是辅料和老板们的“正确算法”
计算公式，以窗帘宽：窗宽＝1.67为例，老板会叫你做比例2的。
窗帘价格＝（窗帘每米价格＋辅料每米价格）×窗宽×1.67
纱价格＝（纱每米价格＋辅料每米价格）×窗宽×1.67
轨道价格＝轨道每米价格×窗宽
花边价格＝花边每米价格×（2×窗帘宽度＋2×窗帘高度），一般而言一个窗

是两幅高低相同的窗帘组成，所以花边价格＝花边每米价格×（窗宽×1.67＋

2×窗帘高度×4）
或垂线价格＝垂线每米价格×（窗宽×1.67×2＋窗帘高度×4） 如果底边只

用一条垂线就不用乘以2
因为不同的窗有不同的高度，花边或垂线要针对每个窗算。

下面是卷帘计算公式：
每幅卷帘价格＝两个端子价格＋拉线价格＋轨道长度（就是窗宽）×轨道每米

价格＋窗宽×窗高（不低于2米）×每平方米卷帘价格

注意：窗宽和窗帘宽不不同概念，重复：窗帘宽＝比例(如1.67)×窗宽，比例

越高，米就越贵，不过低于1.67就不好看了。

做窗帘省钱几法：
事前一定要准确丈量窗的宽度，而窗帘制作时要打褶，所以窗宽比窗帘宽度为

3：5，即窗帘布料宽度是窗的1.67倍，如果想褶皱多一些的，这个比例要高，

但是价钱就上去了，其实1.67比例也可以，1.8更是足够了。店老板会推荐你

用窗帘：窗＝2。
如果你不想做落地窗帘，而窗的高度不足1.4米，你可以要求老板算一半的价

钱，因为窗帘高是2.8米，可以做半幅。如果你不说老板一定给你按2.8的价钱

算。
如果布料下垂性很好，可以考虑不用垂线。垂线一般是3元一米，5元一米的属

于当你冲头，老板会和你说垂线好坏，其实做在窗帘里面谁知道他用的是哪种

垂线。老板一般要求你底边做2条垂线，个人认为一条足够。
如果你买的布料适合做花边的，那么做花边的费用比做垂线费用低点，只要花

边简洁，和布料相配效果也是不错的
千万记得叫老板在收据上写下窗帘和纱的编号，并且剪下一小角以防止老板换

布料（花色通，料子不同）。看到有人找商家理论的，35元/米的全棉变成了

10元左右的化纤布料。
定金收据要开好，定金越少越好（法律规定最高20％）。

摘自： 窗帘网搜搜

㈤ 固定资产折旧的计算方法

我国会计准则中可选用的固定资产折旧方法包括年限平均法、工作量法、双倍余额递减法和年数总和法。

1、平均年限法，又称直线法，是最简单并且常用的一种方法。此法是以固定资产的原价减去预计净残值除以预计使用年限，求得每年的折旧费用。在各年使用资产情况相同时，采用直线法比较恰当。

2、工作量法，又称变动费用法。是根据实际工作量计提折旧额的一种方法。理论依据在于资产价值的降低是资产使用状况的函数。根据企业的经营活动情况或设备的使用状况来计提折旧。假定固定资产成本代表了购买一定数量的服务单位，然后按服务单位分配成本。

3、双倍余额递减法，是在固定资产使用年限最后两年的前面各年，用年限平均法折旧率的两倍作为固定的折旧率乘以逐年递减的固定资产期初净值，得出各年应提折旧额的一种加速折旧的方法。在双倍余额递减法下，必须注意不能使固定资产的净值低于其预计净残值以下。

4、年数总和法，又称年限合计法，是将固定资产的原价减去预计净残值的余额乘以一个固定资产尚可使用寿命为分子、以预计使用寿命逐年数字之和为分母的逐年递减的分数计算每年的折旧额。

(5)最全计算方法扩展阅读：

计提折旧的固定资产

1、房屋建筑物；

2、在用的机器设备、仪器仪表、运输车辆、工具器具；

3、季节性停用及修理停用的设备；

4、以经营租赁方式租出的固定资产和以融资租赁式租入的固定资产。

固定资产折旧的特殊情况

1、已达到预定可使用状态的固定资产，如果尚未办理竣工决算，应当按照估计价值暂估入帐，并计提折旧。待办理了竣工决算手续后，再按照实际成本调整原来的暂估价值，不需要调整原已计提的折旧额。当期计提的折旧作为当期的成本、费用处理。

2、处于更新改造过程停止使用的固定资产，应将其账面价值转入在建工程，不再计提折旧。更新改造项目达到预定可使用状态转为固定资产后，再按照重新确定的折旧方法和该项固定资产尚可使用寿命计提折旧。

㈥ 占地面积怎么算 占地面积三大计算方法

导语：购房的时候很多朋友对于一些专业术语都不够了解，占地面积是项目进行报批的时候最常用到的词语，占地面积怎么算?占地面积对于建筑物和平地来说有不同的含义，计算的方法也是有差异性的，占地面积笼统的来看就是建筑物所占的面积，在道路和河流中也适用。可以来看看下文中关于占地面积的一些介绍，让您了解占地面积的正确计算方法。

占地面积怎么算?占地面积多数指的都是建筑物在土地上的水平投影所占的面积，在建房的时候一般都按照最底层的建筑面积来进行长宽方面的计算，可以说建筑面积就是占地面积和土地面积之比。对于开发商来说占地面积也可以指空白地皮的总面积，所以很多朋友在计算占地面积的时候与开发商提供的数据会有一定的差异性，一般建议若是有架空的部分占地面积可以全部计算，但是建筑面积要折半处理。

占地面积三大计算方法

第一，占地面积主要来计算占地实际的面积，包括建筑物在地下的部分，在计算的时候楼面建筑面积可以平分到每个建筑单位上，若是瓦屋则需要按照瓦檐的外展滴水线来进行计算。若是普通的混合结构在计算占地面积的时候多数要把排水沟计算在内。

第二，占地面积计算的时候按照建筑物树立的外墙的外延所占有的横向比例来计算，这样计算可以与建筑物之间的距离进行规划，一般都是计算楼盘的容积率的时候会使用这样的方式计算占地面积。

第三，按照建筑物的外墙投影的范围来计算占地面积，这样的计算方式在目前来看属于比较科学的是，虽然说和前两种计算方法一样存在一定的正义，但是多数的规划师在规划的时候都采用此种方式，这样楼盘建筑的飘窗一般都是不计划在内的。

占地面积怎么算?看了上文中介绍给您的占地面积的计算方法朋友们已经可以有所了解了，占地面积属于地产行业中的专属词汇，因为地区建筑商不同，在计算的时候可能会有标准方面的差异，在实际面积和房屋的实际使用率之间可能会有一些误差，占地面积一般都是要大于计算出的使用面积的，需要按照国家有关建筑面积的规则来规范化计算。

㈦ 2. 常用的工程量计算方法有哪些现在最主流的计算方式是什么

按施工先后顺序计算。
按施工先后顺序计算即从平整场地、基础挖土算起，直到装饰工程等全部施工内容结束为止，用这种方法计算工程量，要求具有一定的施工经验，能掌握组织全部施工的过程，并且要求对定额和图纸的内容十分熟悉，否则容易漏项。
常见的计算方法还有：基础定额或单位估价表的分部分项顺序计算，即按定额的章节、子项目顺序，由前到后，逐项对照，只需核对定额项目内容与图纸设计内容一致即是需要计算工程量的项目。这种方法要求首先熟悉图纸，要有较好的工程设计基础知识，同时还应注意工程图纸是按使用要求设计的，其建筑造型、内外装修、结构形式以及室内设施千变万化，有些设计还采用了新工艺、新技术和新材料，或有些零星项目可能套不上定额项目，在计算工程量时，应单列出来，待后面编制补充定额或补充单位估价表。

㈧ 最基本的成本计算方法是什么法

最基本的成本计算方法有：品种法、分批法、分步法。成本计算方法的确定在很大程度上取决于企业生产的特点和成本管理的要求。
因此，产品成本就应该按照订单或生产批别进行计算，这种成本计算方法就称之为分批法。而在大量大批多步骤生产的情况下，往往不仅要求按产品品种计算方法称之为分步法。
除此之外，还有一些可与基本方法结合使用的成本计算方法，例如，采用品种法计算成本，在产品品种规格繁多的情况下，为了简化成本计算工作，可以先将产品划分为若干类别，分别计算各类别产品成本，然后在各个类别内部采用一定的分配标准，计算出各个规模产品的成本，这种方法称之为分类法。在定额管理制度比较健全的企业中，为了加强成本的定额控制，还可以以定额成本为基础，计算产品的实际成本，这种方法就称之为定额法。
需要指出的是，由于企业生产情况错综复杂，在实际工作中，各种成本计算方法往往是同时使用或结合使用的。这主要取决于企业的生产特点，其目标是力求达到既要正确计算产品成本，又要简化成本的核算工品种法
总之具体实施方法还需要看具体情况。

㈨ 圆周率的计算方法是什么有多少种计算方法

实验对 π 值进行估算，这是计算 π 的的第一阶段。这种对 π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界，实际上长期使用 π ＝3这个数值。最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这一结论。在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后人称之为“古率”。

早期的人们还使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度，公元前六世纪，曾取 π= √10 = 3.162。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。

几何法时期

凭直观推测或实物度量，来计算 π 值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。

真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个人，是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把 π 的值精确到任意精度的方法。由此，开创了圆周率计算的第二阶段。

圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形，因此 2√2 ＜ π ＜ 4 。
当然，这是一个差劲透顶的例子。据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域。

阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文《圆的测定》之中。在这一书中，阿基米德第一次创用上、下界来确定 π 的近似值，他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”，他还提供了误差的估计。重要的是，这种方法从理论上而言，能够求得圆周率的更准确的值。到公元150年左右，希腊天文学家托勒密得出 π ＝3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步。

割圆术。不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长。

在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263年前后，刘徽提出着名的割圆术，得出 π ＝3.14，通常称为“徽率”，他指出这是不足近似值。虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。这种精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。

恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此，《隋书·律历志》有如下记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”

这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。其一是求得圆周率

3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927

其二是，得到 π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。

他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。

这一结果是如何获得的呢？追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢？这已经不得而知，因为记载其研究成果的着作《缀术》早已失传了。这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。

中国发行的祖冲之纪念邮票
祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上着文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山……

对于祖冲之的关于圆周率的第二点贡献，即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示 π 这一点，通常人们不会太注意。然而，实际上，后者在数学上有更重要的意义。

密率与 π 的近似程度很好，但形式上却很简单，并且很优美，只用到了数字1、3、5。数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中，没有比密率更接近 π 的分数。在国外，祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果。

可见，密率的提出是一件很不简单的事情。人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢？他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢？这一问题历来为数学史家所关注。由于文献的失传，祖冲之的求法已不为人知。后人对此进行了各种猜测。

让我们先看看国外历史上的工作，希望能够提供出一些信息。

1573年，德国人奥托得出这一结果。他是用阿基米德成果22／7与托勒密的结果377／120用类似于加成法“合成”的：(377-22) / (120-7) = 355/113。

1585年，荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120，用两者作为 π 的母近似值，分子、分母各取平均，通过加成法获得结果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。

两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合，无理由可言。

在日本，十七世纪关孝和重要着作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。其学生对这种按部就班的笨办法作了改进，提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法，（实际上就是我们前面已经提到的加成法）这样从3、4出发，六次加成到约率，第七次出现25／8，就近与其紧邻的22／7加成，得47／15，依次类推，只要加成23次就得到密率。

钱宗琮先生在《中国算学史》（1931年）中提出祖冲之采用了我们前面提到的由何承天首创的“调日法”或称加权加成法。他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157／50，约率22／7为母近似值，并计算加成权数x=9，于是 (157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113，一举得到密率。钱先生说：“冲之在承天后，用其术以造密率，亦意中事耳。”

另一种推测是：使用连分数法。

由于求二自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行，所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的。于是有人提出祖冲之可能是在求得盈 二数之后，再使用这个工具，将3.14159265表示成连分数，得到其渐近分数：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…

最后，取精确度很高但分子分母都较小的355／113作为圆周率的近似值。至于上面圆周率渐近分数的具体求法，这里略掉了。你不妨利用我们前面介绍的方法自己求求看。英国李约瑟博士持这一观点。他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说：“密率的分数是一个连分数渐近数，因此是一个非凡的成就。”

我国再回过头来看一下国外所取得的成果。

1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出 π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西着《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出 π 值，他的结果是：

π＝3.14159265358979325

有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。

16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算 π 近似值，用 6×216正边形，推算出精确到9位小数的 π 值。他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具：十进位置制。17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。他也将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来，但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是从正方形开始的，一直推导出了有262条边的正多边形，约4,610,000,000,000,000,000边形！这样，算出小数35位。为了记念他的这一非凡成果，在德国圆周率 π 被称为“鲁道夫数”。但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，穷数学家一生也改进不了多少。到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远，再向前推进，必须在方法上有所突破。

17世纪出现了数学分析，这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解。 π 的计算历史也随之进入了一个新的阶段。

分析法时期

这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。

1593年，韦达给出

这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出 π 值。

接着有多种表达式出现。如沃利斯1650年给出：

1706年，梅钦建立了一个重要的公式，现以他的名字命名：

再利用分析中的级数展开，他算到小数后100位。

这样的方法远比可怜的鲁道夫用大半生时间才抠出的35位小数的方法简便得多。显然，级数方法宣告了古典方法的过时。此后，对于圆周率的计算像马拉松式竞赛，纪录一个接着一个：

1844年，达塞利用公式：

算到200位。

19世纪以后，类似的公式不断涌现， π 的位数也迅速增长。1873年，谢克斯利用梅钦的一系列方法，级数公式将 π 算到小数后707位。为了得到这项空前的纪录，他花费了二十年的时间。他死后，人们将这凝聚着他毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力。于是在他的墓碑上留下了他一生心血的结晶： π 的小数点后707位数值。这一惊人的结果成为此后74年的标准。此后半个世纪，人们对他的计算结果深信不疑，或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确。以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着他求出的 π 值。

又过了若干年，数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑，其疑问基于如下猜想：在 π 的数值中，尽管各数字排列没有规律可循，但是各数码出现的机会应该相同。当他对谢克斯的结果进行统计时，发现各数字出现次数过于参差不齐。于是怀疑有误。他使用了当时所能找到的最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，算了整整一年。1946年，弗格森发现第528位是错的（应为4，误为5）。谢克斯的值中足足有一百多位全都报了销，这把可怜的谢克斯和他的十五年浪费了的光阴全部一笔勾销了。

对此，有人曾嘲笑他说：数学史在记录了诸如阿基米德、费马等人的着作之余，也将会挤出那么一、二行的篇幅来记述1873年前谢克斯曾把 π 计算到小数707位这件事。这样，他也许会觉得自己的生命没有虚度。如果确实是这样的话，他的目的达到了。

人们对这些在地球的各个角落里作出不懈努力的人感到不可理解，这可能是正常的。但是，对此做出的嘲笑却是过于残忍了。人的能力是不同的，我们无法要求每个人都成为费马、高斯那样的人物。但成为不了伟大的数学家，并不意味着我们就不能为这个社会做出自己有限的贡献。人各有其长，作为一个精力充沛的计算者，谢克斯愿意献出一生的大部分时光从事这项工作而别无报酬，并最终为世上的知识宝库添了一小块砖加了一个块瓦。对此我们不应为他的不懈努力而感染并从中得到一些启发与教育吗？

1948年1月弗格森和伦奇两人共同发表有808位正确小数的 π 。这是人工计算 π 的最高记录。

计算机时期

1946年，世界第一台计算机ENIAC制造成功，标志着人类历史迈入了电脑时代。电脑的出现导致了计算方面的根本革命。1949年，ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数，包括准备和整理时间在内仅用了70小时。计算机的发展一日千里，其记录也就被频频打破。

ENIAC：一个时代的开始

1973年，有人就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书，可谓世界上最枯燥无味的书了。1989年突破10亿大关，1995年10月超过64亿位。1999年9月30日，《文摘报》报道，日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值。如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字，那么，这些纸摞起来将高达五六百米。来自最新的报道：金田康正利用一台超级计算机，计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数，改写了他本人两年前创造的纪录。据悉，金田教授与日立制作所的员工合作，利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机，使用新的计算方法，耗时四百多个小时，才计算出新的数位，比他一九九九年九月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍。圆周率小数点后第一兆位数是二，第一兆二千四百一十一亿位数为五。如果一秒钟读一位数，大约四万年后才能读完。

不过，现在打破记录，不管推进到多少位，也不会令人感到特别的惊奇了。实际上，把 π 的数值算得过分精确，应用意义并不大。现代科技领域使用的 π 值，有十几位已经足够。如果用鲁道夫的35位小数的 π 值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值：

“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。”

那么为什么数学家们还象登山运动员那样，奋力向上攀登，一直求下去而不是停止对 π 的探索呢？为什么其小数值有如此的魅力呢？

这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪，但除此之外，还有许多其它原因。

奔腾与圆周率之间的奇妙关系……

1、它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性。这对计算机本身的改进至关重要。就在几年前，当Intel公司推出奔腾（Pentium）时，发现它有一点小问题，这问题正是通过运行 π 的计算而找到的。这正是超高精度的 π 计算直到今天仍然有重要意义的原因之一。

2、 计算的方法和思路可以引发新的概念和思想。虽然计算机的计算速度超出任何人的想象，但毕竟还需要由数学家去编制程序，指导计算机正确运算。实际上，确切地说，当我们把 π 的计算历史划分出一个电子计算机时期时，这并非意味着计算方法上的改进，而只是计算工具有了一个大飞跃而已。因而如何改进计算技术，研究出更好的计算公式，使公式收敛得更快、能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题。在这方面，本世纪印度天才数学家拉马努扬得出了一些很好的结果。他发现了许多能够迅速而精确地计算 π 近似值的公式。他的见解开通了更有效地计算 π 近似值的思路。现在计算机计算 π 值的公式就是由他得到的。至于这位极富传奇色彩的数学家的故事，在这本小书中我们不想多做介绍了。不过，我希望大家能够明白 π 的故事讲述的是人类的胜利，而不是机器的胜利。

3、还有一个关于 π 的计算的问题是：我们能否无限地继续算下去？答案是：不行！根据朱达偌夫斯基的估计，我们最多算1077位。虽然，现在我们离这一极限还相差很远很远，但这毕竟是一个界限。为了不受这一界限的约束，就需要从计算理论上有新的突破。前面我们所提到的计算，不管用什么公式都必须从头算起，一旦前面的某一位出错，后面的数值完全没有意义。还记得令人遗憾的谢克斯吗？他就是历史上最惨痛的教训。

4、于是，有人想能否计算时不从头开始，而是从半截开始呢？这一根本性的想法就是寻找并行算法公式。1996年，圆周率的并行算法公式终于找到，但这是一个16进位的公式，这样很容易得出的1000亿位的数值，只不过是16进位的。是否有10进位的并行计算公式，仍是未来数学的一大难题。

5、作为一个无穷数列，数学家感兴趣的把 π 展开到上亿位，能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题，可以发现许多迷人的性质。如，在 π 的十进展开中，10个数字，哪些比较稀，哪些比较密？ π 的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗？或许它们并非完全随意？这样的想法并非是无聊之举。只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单，许多人司空见惯但却不屑发问的问题。

6、数学家弗格森最早有过这种猜想：在 π 的数值式中各数码出现的概率相同。正是他的这个猜想为发现和纠正向克斯计算 π 值的错误立下了汗马功劳。然而，猜想并不等于现实。弗格森想验证它，却无能为力。后人也想验证它，也是苦于已知的 π 值的位数太少。甚至当位数太少时，人们有理由对猜想的正确性做出怀疑。如，数字0的出现机会在开始时就非常少。前50位中只有1个0，第一次出现在32位上。可是，这种现象随着数据的增多，很快就改变了：100位以内有8个0；200位以内有19个0；……1000万位以内有999，440个0；……60亿位以内有599，963，005个0，几乎占1／10。

其他数字又如何呢？结果显示，每一个都差不多是1／10，有的多一点，有的少一点。虽然有些偏差，但都在1／10000之内。

7、人们还想知道： π 的数字展开真的没有一定的模式吗？我们希望能够在十进制展开式中通过研究数字的统计分布，寻找任何可能的模型――如果存在这种模型的话，迄今为止尚未发现有这种模型。同时我们还想了解： π 的展开式中含有无穷的样式变化吗？或者说，是否任何形式的数字排列都会出现呢？着名数学家希尔伯特在没有发表的笔记本中曾提出下面的问题： π 的十进展开中是否有10个9连在一起？以现在算到的60亿位数字来看，已经出现：连续6个9连在一起。希尔伯特的问题答案似乎应该是肯定的，看来任何数字的排列都应该出现，只是什么时候出现而已。但这还需要更多 π 的数位的计算才能提供切实的证据。

8、在这方面，还有如下的统计结果：在60亿数字中已出现连在一起的8个8；9个7；10个6；小数点后第710150位与3204765位开始，均连续出现了七个3；小数点52638位起连续出现了14142135这八个数字，这恰是的前八位；小数点后第2747956位起，出现了有趣的数列876543210，遗憾的是前面缺个9；还有更有趣的数列123456789也出现了。

如果继续算下去，看来各种类型的数字列组合可能都会出现。

拾零： π 的其它计算方法

在1777年出版的《或然性算术实验》一书中，蒲丰提出了用实验方法计算 π 。这个实验方法的操作很简单：找一根粗细均匀，长度为 d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为 l 的平行线（方便起见，常取 l = d/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，于是就可以得到 π 的近似值。因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/πd 。利用这一公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。在一次实验中，他选取 l = d/2 ，然后投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为 2212/704 = 3.142。当实验中投的次数相当多时，就可以得到 π 的更精确的值。

1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到 π 的近似值为3.1596。目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼。在1901年，他重复这项实验，作了3408次投针，求得 π 的近似值为3.1415929，这个结果是如此准确，以致于很多人怀疑其实验的真伪。如美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰就对此提出过有力的质疑。

不过，蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的 π 值。蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。计算 π 的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。

在用概率方法计算 π 值中还要提到的是：R·查特在1904年发现，两个随意写出的数中，互素的概率为6／π2。1995年4月英国《自然》杂志刊登文章，介绍英国伯明翰市阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的罗伯特·马修斯，如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率。马修斯从100颗最亮的星星中随意选取一对又一对进行分析，计算它们位置之间的角距。他检查了100万对因子，据此求得 π 的值约为3.12772。这个值与真值相对误差不超过5％。

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通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现 π ，这充分显示了数学方法的奇异美。 π 竟然与这么些表面看来风马牛不相及的试验，沟通在一起，这的确使人惊讶不已