旋转抛物面积计算方法

‘壹’ 求旋转抛物面面积（重积分的应用）

即底半径为4，高为4的正圆锥的侧面积＝2π×4×√﹙4²+4²﹚/2＝16√2π﹙面积单位﹚
这是初中的几何题，与旋转抛物面无关。除非你是x＝y²。

‘贰’ 旋转液体抛物面公式推导

盛有液体的开口圆桶，设圆桶以定转速绕其中心铅垂改旋转，则由于液体粘性的作用，与容器壁接触的液体层，首先被带动而旋转，并向中心发展，使所有的液体质点都绕该轴旋转。待运动稳定厉，各质点都具有相同角速度，液面形成一个漏斗形的旋转面。将坐标系取在运动着的容器上，原点取在旋转轴与自由表而交点上，z轴垂直向上。根据达朗伯原形，作用在液体质点上的质量力除了重力以外，还要虚加一个大小等于液体质点的质量乘以向心速度，方向与向心加速度相反的离心惯性力。对于等角速圆周运动来说，液体中任一质点m(x,y,z)处的离心惯性力F=mrω²
式中M为质点质量，ω为角速度即为圆桶的转速，r为该点所在位置的半径，r=√(x²+y²)。单位质量离心力F/m在x轴、y轴方向的分量为
X=rω²cosα=xω²，Y=rω²sinα=yω²
沿远方向的质量力分量为 Z=-g

下面求流体静压力分布规律和等压面方程。

将单位质量力带入流体平衡微分方程式的全微分表达式有
dp=ρ(xω²dx+yω²dy-gdz)
积分有 p=ρ(1/2x²ω²+1/2y²ω²-gz)+C 或 p=ρ(1/2r²ω²-gz)+p0
根据边界条件，当r=0,z=0时，p=p0，
积分常数C=p0于是得 p=ρ(1/2r²ω²-gz)+p0
这就是等角度旋转容器中液体游压力分布公式。公式说明；在同一高度上，液体静压力
沿径向按半径二次方增长。

将单位质量力带入等压面微分方程式有
dp=ρ(xω²dx+yω²dy-gdz)=0
积分有1/2x²ω²+1/2y²ω²-gz=0 或 1/2r²ω²-gz=C
这说明，等压面条一按绕z轴的旋转抛物面。在自由表面上当r=0,z＝0可得积分
常数C=0，故自由液面方程为z=ω²r²/2g
楼主所说的2就是此处的2，通过等压面微分方程积分得到。

‘叁’ 数学：旋转曲面面积公式的推导

以曲边梯形的面积为例：

设f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（x）≥0。由曲线y=f(x)，直线x=a,x=b以及x轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积。

作法：（i）分割。在区间[ a，b]内任取n-1个分点，它们依次为a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn=b，这些点把[a,b]分割成n个小区间[xi－1, xi],I=1,2,…n.再用直线x= xi,i=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。

（ii）近似求和。在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点，作以f(x)为高，[xi-1,xi]为底的小矩形。当分割[a,b]的点分点较多，又分割得较细密时，由于f为连续函数，它在每个小区间上的值变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积。n个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S的近似值。

(3)旋转抛物面积计算方法扩展阅读：

旋转曲面是一类特殊的曲面，它是一条平面曲线绕着它所在的平面上一条固定直线旋转一周所生成的曲面。该固定直线称为旋转轴，该旋转曲线称为母线。曲面和过旋转轴的平面的交线称为经线或子午线，曲面和垂直于旋转轴的平面的交线称为纬线或平行圆。

例如：球面是由圆绕着其直径旋转而成；环面是由圆绕着外面的一条直线旋转而成。

‘肆’ 旋转抛物面方程

x=0时,y^2=2pz.
绕z轴旋转,旋转半径R^2=2pz
在xoy平面上,轨迹是O(0,0)为圆心,半径R^2=2pz的圆
即x^2+y^2=2pz

‘伍’ 求旋转抛物面z=x^2+y^2,被平面z=1所截下部分的面积

z=1与z=x^2+y^2联立：

x^2+y^2=1，z=1。

这个曲线为以（0，0，1）圆，其中半径为1

所以面积S=π r^2 =π

抛物线旋转180°所得到的面。数学上的抛物线就是同一平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的集合 。

(5)旋转抛物面积计算方法扩展阅读：

当a = b时，曲面称为旋转抛物面，它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。

在车灯、手电筒等照明器具以及雷达中应用得非常多。它们的反光面或者反射面都是抛物面。

‘陆’ 怎样计算旋转抛物面的面积

旋转曲面的面积

设平面光滑曲线 C 的方程为

(6)旋转抛物面积计算方法扩展阅读

旋转抛物面方程

在一个平面上，只有抛物线，你可以把一条平面上的抛物线看成是一个3维的抛物面与一个过其中心轴并与之平行的平面相交的结果。这个3维的抛物面若为z=f(x,y)，则其与zox平面的相交线为z=ax²，与zoy平面的相交线为z=ay²，zoy可以视为zox绕抛物面的中心轴转转了90°。

如果平面转角不是90°，而是其它度数，则z与x,y就同时有关了，但在任何一个z=b的点上，在两个坐标系平面上各有b=ax²和b=ay²。而在非xoz和yoz的平面上，则应有b=a(x²+y²)。这样，通式就是z=a(x²+y²)。

一个以原点为顶点的抛物线方程说的是，z值(高度)与到原点的距离有关，关系是二次的，系数是a。在xoz平面上，z是高度，x是到原点的距离；在yoz平面上，z是高度，y是距离；在xoz和yoz之间的旋转平面上，z是高度，√(x²+y²)是距离。系数都是a。

‘柒’ 抛物面旋转体体积如何求

用微积分求了
不要死记公式了 旋转体体积的求法很简单，无非是个简单的积分问题，一般有两种公式，对X或者对Y求积分，
你用横截面的面积求出来，然后在对其的两端求定积分。
我也是好几年没有学了，大概就是那样了，