极限计算方法大学

㈠ 极限的运算法则是什么，请不吝赐教

设

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由来：

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用；

古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

㈡ 数列极限的求法

数列极限的求法：

1、如果代入后，得到一个具体的数字，就是极限。

2、如果代入后，得到的是无穷大，答案就是极限不存在。

3、如果代入后，无法确定是具体数或是无穷大，就是不定式类型，

4、计算极限，就是计算趋势 tendency。

存在条件：

单调有界定理 在实数系中，单调有界数列必有极限。

致密性定理，任何有界数列必有收敛的子列。

计算方法，参考下面图片：

㈢ 河海大学极限计算的21种主要方法示例之一

一、利用极限四则运算法则求极限
函数极限的四则运算法则：设有函数，若在自变量f（x），g（x）的同一变化过程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，则
lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B
lim［f（x）・g（x）］=limf（x）・limg（x）=A・B
lim==（B≠0）
（类似的有数列极限四则运算法则）现以讨论函数为例。
对于和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，但使用这些法则，往往要根据具体的函数特点，先对函数做某些恒等变形或化简，再使用极限的四则运算法则。方法有：
1.直接代入法
对于初等函数f（x）的极限f（x），若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）。
直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值。
例1：求极限（x+3）。
解：（x+3）=2+3=7。
2.无穷大与无穷小的转换法
在相同的变化过程中，若变量不取零值，则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。
（1）当分母的极限是“0”，而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则，而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限，从而得出f（x）的极限。
例2：求。
解：∵==0
∴=∞。
（2）当分母的极限为∞，分子是常量时，则f（x）极限为0。
例3：求。
解：=0。
3.除以适当无穷大法
对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则，必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。
例4：计算。
解：===3。
一般情形有如下结论：
设a≠0，b≠0，m，n是正整数，则
=0，当n＞m时，当n=m时∞，当n＜m时。
4.有理化法
适用于带根式的极限。
例5：计算（-）。
解：（-）=
==0。
二、利用夹逼准则求极限
函数极限的夹逼定理：设函数f（x），g（x），h（x），在x的某一去心邻域内（或|x|＞N）有定义，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），则g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（类似的可以得数列极限的夹逼定理）
利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。
例6：计算x［］。
解：当x＞0时，有1-x＜x［］≤1，利用夹逼准则，有（1-x）=1，所以有x［］=1。
三、利用单调有界准则求极限
单调有界准则：单调有界数列必有极限。
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程，可求出极限。
例7：证明数列，，，…有极限，并求其极限。
证明：（1）先证数列有界，易知{x}递增，且x≥，
用数学归纳法证明x≤2，显然x=＜2，
若x≤2，则x=≤=2。
（2）再证数列单调增加x-x=-x==。
利用（1） 0＜x＜2?圯x-x＞0。
（3）利用单调有界收敛准则，x=a。
（4）由x=，x=2+x。
在等式两端取极限，得a=2+a，求得a=2或a=-1（明显不合要求，舍去）
所以x=2。
四、利用等价无穷小代换求极限
常见等价无穷小量的例子有：当x→0时，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。
等价无穷小的代换定理：设α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自变量x在同一变化过程中的无穷小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，则lim=lim。
例8：计算。
解：利用等价无穷小代换，
有===。
注：当分母或分子是两个等价无穷小相减时，不可简单地用各自的等价无穷小代换，否则将导致错误的结果，从另一个角度，等价无穷小代换适宜在乘积和商中进行，不宜在加减运算中简单代换。
例如：因为x→0时，tanx～x，sinx～x，有==0。
上式出现错误的原因是当x→0时，尽管tanx～x，sinx～x，但tanx与sinx（x→0）趋于零的速度只能近似相等，但不完全相等。
五、利用无穷小量性质求极限
在无穷小量性质中，特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。
例9：计算xsin。
解：当x→0时，x是无穷小量，由|sin|≤1，即sin是有界量，故xsin是无穷小量，于是xsin=0。
六、利用两个重要极限求极限
使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时，关键在于对所给的函数或数列作适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。
例10：计算。
解：===2。
例11：计算（）。
解：（）=［（1+）］=e。
七、利用洛必达法则求极限
如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷小，则可能存在，也可能不存在，通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式，对于该类极限一般不能运用极限运算法则，但可以利用洛必达法则求极限。
洛必达法则：
设（1）极限为型或型未定式；
（2）f（x），g（x）在某去心邻域（x）或|x|＞X时可导，且g′（x）≠0；
（3）存在或为无穷小，则=。
其他未定式，如“0・∞”型、“∞-∞”型、“1”型、“0”型、“∞”型，不能直接用洛必达法则，需转为“”型或“”型后再用洛必达法则。

例12：计算。（型）
解：==2。
例18：计算（sinx）。（0型）
解：（sinx）=e=e=e=e=e=e=1。
八、利用泰勒公式求极限
如果函数f（x）在含有x的某个开区间（a，b）内具有直到n阶的导数，则当x在（a，b）内时恒有f（x）=f（x）+f′（x）（x-x）+（x-x）+…+（x-x）+o［（x-x）］（x→x），
其中o［（x-x）］称为皮亚诺余项，当x=0时，上述等式称为麦克劳林公式。
对某些较复杂的求极限问题，可利用麦克劳林公式加以解决。
例19：计算。
解：=
==。
在用泰勒公式求极限时，我们应当灵活应用分清哪些项需要展开，哪些项可以保留。对于复杂函数的极限，泰勒公式是一个有力且有效的工具。
九、利用定积分定义求极限
若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数，以及积分区间。
例15：计算sin+sin+…+sinπ。
解：原式=sin+sin+…+sinπ+sinπ=?蘩sinπxdx=［cosπx］=。

㈣ 大一高等数学求极限方法

1.
代入法, 分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法。

2.
倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用。

3.
消去零因子(分解因式)法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用。

4.
消去零因子(有理化)法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化。

5.
零因子替换法.利用第一个重要极限:lim[x-->0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式。

6.
无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质。

㈤ 大学常用极限公式有哪些

极限公式：

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x(x→0)

6、tanx~x(x→0)

7、arcsinx~x(x→0)

8、arctanx~x(x→0)

9、1-cosx~1/2x^2(x→0)

10、a^x-1~xlna(x→0)

11、e^x-1~x(x→0)

12、ln(1+x)~x(x→0)

13、(1+Bx)^a-1~aBx(x→0)

14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx(x→0)

15、loga(1+x)~x/lna(x→0)

(5)极限计算方法大学扩展阅读：

高等数学极限中有“两个重要极限”的说法，指的是：

sinX/x →1（ x→0 ），

与 (1+1/x)^x→e^x（ x→∞）。

另外，关于等价无穷小，有：

sinx ~ tanx ~ arctanx ~ arcsinx ~ e^x-1 ~ ln(1+X)

~ (a^x-1)/lna ~[(1+x)^a-1]/a ~x（ x→0），

1-cosx ~ x^2/2（ x→0）。

㈥ 大学数学求极限的方法

1.代入法
2.无穷小的性质（无穷小*有界函数=无穷小）
3.取倒数法（整体取倒数、局部取倒数）
4.两个重要极限
5.等价无穷小
定义：
两个无穷小a、b，当lim b/a=1，称a和b是等价无穷小，记作a～b
定理：假设 a～a'、b～b'，则：lim a/b=lim a'/b'
一定要注意：不能滥用等价无穷小的代换。

对于代数和中各无穷小不能分别代换。

等价无穷小的代换原则：乘除可换，加减忌换。
6.消除零因子法
有3个常用的手段可以消除0因子：分解因式、根式有理化、变量替换。