对数的计算方法及推导

① 对数函数的运算公式.

对数的运算性质

当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）

(4)log(a^n)(M)=（1/n）log(a)(M)(n∈R)

（5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）

(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)

设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)

(7)对数恒等式：a^log（a)N=N;

log（a）a^b=b 证明：设a^log（a)N=X，log（a)N=log（a)X，N=X

（8）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M

2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,

log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M

5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

(1)对数的计算方法及推导扩展阅读

对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。

参考资料对数公式_网络

② 对数运算性质的推导过程是什么

对数运算性质的推导过程如下：

由对数的定义：如果a的x次方等于M（a>0,且a不等于1），那么数x叫做以a为底M的对数，记作x=logaM。

a^x=M,x=logaM。

(a^x)^n=M^n。

a^(nx)=M^n。

nx=logaM^n。

∵x=logaM。

∴nlogaM=logaM^n。

即logaM^n=nlogaM。

对数的应用。

对数在数学内外有许多应用。这些事件中的一些与尺度不变性的概念有关。例如，鹦鹉螺的壳的每个室是下一个的大致副本，由常数因子缩放。这引起了对数螺旋。Benford关于领先数字分配的定律也可以通过尺度不变性来解释。

对数也与自相似性相关。例如，对数算法出现在算法分析中，通过将算法分解为两个类似的较小问题并修补其解决方案来解决问题。自相似几何形状的尺寸，即其部分类似于整体图像的形状也基于对数。对数刻度对于量化与其绝对差异相反的值的相对变化是有用的。

③ 对数运算性质的八个推导公式。并要有推导过程。

loga（mn）=logam+logan
证明：
设logam=p，logan=q，由对数的定义可以写成m=ap，n=aq．所以
m·n=ap·aq=ap+q，
所以
loga（m·n）=p+q=logam+logan．
即
loga（mn）=logam+logan．
每个对数都有意义，即m＞0，n＞0；a＞0且a≠1．
除法一样证，谢谢
附
证明logam
n(指数）=nlogam
logam=x,logan=y
得a^x=m,a^y=n
∴mn=a^xa^y=a^(x+y)
得x+y=loga(mn),即logam+logan=logamn
设logam=x,即a^x=m,得(a^x)n=m^n,即a^（nx）=m^n
∴loga^m（^n）=nx=nlogam
得证

④ 对数公式推导

对数公式推导：log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)，loga(b)×logb(a)=1，loge(x)=ln(x)，lg(x)=log10(x)。
对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0，且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。

⑤ 对数公式的运算法则

运算法则公式如下：

1.lnx+ lny=lnxy

2.lnx-lny=ln(x/y)

3.lnxⁿ=nlnx

4.ln(ⁿ√x)=lnx/n

5.lne=1

6.ln1=0

拓展内容：

对数运算法则(rule of logarithmic operations）一种特殊的运算方法.指积、商、幂、方根的对数的运算法则。

在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。 在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。

更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。

由指数和对数的互相转化关系可得出:

1.两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即

⑥ 对数的计算方法

计算对数我们利用对数公式即可，按照对数函数y=log(a)X，已知常数a的大小，再代入未知数X，既可以求出Y的值。这里的Y就是X以a为底的时对数。
对数公式是什么
对数公式是数学公式中的一种，a^Y=X(a>0,且a≠1)，则Y=log(a)X。在这个公式中，a叫做底数，X叫做真数，而Y叫做以a为底的X的对数。当a=10时，其对数叫做常用对数;当对数公式以e为底时，这时的对数就叫做自然对数。
对数公式的证明
已知a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1)，则可推导出恒等式：log(a) (a^N)=N;证明在a>0且a≠1，N>0时，可以设：当log(a)(N)=t，如果满足(t∈R)则有a^t=N，最后得出结论a^(log(a)(N))=a^t=N;因此该恒等式成立。
根据对数公式的推导公式
设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn) ①对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m ②对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn ③③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)。

⑦ 对数公式推导过程

用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数
*表示乘号,/表示除号
定义式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推导
1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)
2.
MN=M*N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3.与2类似处理
MN=M/N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4.与2类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他性质：
性质一：换底公式
log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
推导如下
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]
综合两式可得
N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因为N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
性质二：（不知道什么名字）
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下
由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b)] = (m/n)*{[ln(a)] / [ln(b)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
累死了……

⑧ 对数公式的推导

在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。 在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。

如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

以a为底N的对数记作

上是增函数。

希望我能帮助你解疑释惑。