第一类曲面积分的计算方法和技巧

Ⅰ 第一类曲面积分怎么换元

步骤：

1、求α、β对应下的曲面方程，可以直接写出r=(f(α，β)，g(α，β)，α)。

2、计算曲面第一基本形式量E、F、G计算过程省略了。

3、计算∫∫hdS，把h换成α、β的函数。把dS换成(EG-F^2)^1/2dαdβ，把重积分区间改成α、β的范围即可。

曲面积分是定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

利用奇偶性

被积函数若是关于x的奇函数，且积分曲面关于yoz前后对称，那么该积分等于0。

若被积函数若是关于x的偶函数，且积分曲面关于yoz前后对称，那么该积分等于二倍的对yoz前边曲面上的积分。

Ⅱ 数学第一类曲面积分

从概念上讲，第一类的，都是和方向无关的，对标量的积分。第二类的，都是和方向有关的，对某种意义上的矢量的积分。具体地说：第一类曲线积分是对长度的积分，第二类曲线积分是对坐标的积分，讲究曲线上演某方向的变化了。第一类区面积分，是对面积的积分，第二类区面积分是对二维坐标的积分，强调面积朝向某侧的情况。从计算上讲，第一类的计算要求出长度或者面积微元的表示式，因此计算公式似乎复杂，但是记住公式之后，因为不用考虑方向，因此实际上简单。第二类的，不用考虑微元的表示式，直接就是对坐标积分，形式上简单，不过，在具体到某个线或者面的时候，要考虑是否要根据方向的变化分成不同的小段，在每个方向一致的小段上，还要考虑正负号，是否为零等等，实际上相对麻烦许多。关于这两类积分（实际上是四类，不过我的称呼是分别针对面，线来说）实际上都有统一的公式。两类曲线积分可以通过方向余弦实现统一。两类区面积分可以通过切面的法向量方向余弦实现统一。此处的学习重点除了上述内容之外，要特别注意 格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，拉普拉斯算子，拉普拉斯反算子。这些在某些专业中应用更广泛。

Ⅲ 第一类曲线积分怎么求

设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x，y)，设ρ(x，y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；

对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分，dm=ρ(x，y)ds；所以m=∫ρ(x，y)ds；L是积分路径，∫ρ(x，y)ds就叫做对弧长的曲线积分。

(3)第一类曲面积分的计算方法和技巧扩展阅读

量子力学

量子力学中的“曲线积分形式”和曲线积分并不相同，因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间上的泛函积分，即关于空间中每个路径的概率函数进行积分。然而，曲线积分在量子力学中仍有重要作用，比如说复围道积分常常用来计算量子散射理论中的概率振幅。

复分关系

如果将复数看作二维的向量，那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的共轭函数在同样路径上的积分值的实部。根据柯西-黎曼方程，一个全纯函数的共轭函数所对应的向量场的旋度是0。

Ⅳ 计算第一型曲面积分：∫∫(x+y+z)dA , ∑为上半球面z=√(a^2-x^2-y^2) (a>0)

解答过程如下：

(4)第一类曲面积分的计算方法和技巧扩展阅读

第一形曲线积分和第二形曲线积分区别

一、方法不同

第一型曲面积分最基本的计算方法就是同第二型曲面积分一样, 也是化为二重积分。

第二型曲面最基本的方法就是通过找投影化为二重积分. 想要提醒一点的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 这时候x'=0, 即 dx=0, 所以曲面积分中包含 dxdy 与 dzdx 的两项直接为零,。

而关于 P(x,y,z)dzdx 的积分, 也变为了 P(c,y,z)dydz 的积分, 然后结合方向就可以化为二重积分.。同理, 对于 y 或者 z 为常数的情况亦是如此。

二、积分对象不同

第一内类曲线积分是对弧长积分，对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素；第二类曲线积分是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分，对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素。

三。应用场合不同

第一类曲线积分求非密度均匀的线状物体质量等问题，第二类曲线积分解决做功类等问题。

Ⅳ 第一类曲面积分的计算

如图所示：

Ⅵ 第一类曲面积分和第二类曲面积分的区别

第一类曲面积分和第二类曲面积分的区别如下：

1、积分对象不同

第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。；

第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量；

2、积分顺序不同

第一类曲线积分——有积分顺序，积分下限永远小于上限；

第二类曲线积分——没有积分顺序，积分上下限可以颠倒；

3、积分意义不同

第一类曲线积分——有几何意义和物理意义；

第二类曲线积分——只有物理意义；

4、积分方向不同

第一类曲线积分——积分没有方向；

第二类曲线积分——有积分方向；

Ⅶ 第一型曲面积分的计算问题。

1、第一类没方向,有几何意义和物理意义；第二类有方向,只有物理意义。
2、一类曲线是对曲线的长度,二类是对x,y坐标.怎么理解呢?告诉你一根线的线密度,问你线的质量,就要用一类.告诉你路径曲线方程,告诉你x,y两个方向的力,求功,就用二类.二类曲线也可以把x,y分开,这样就不难理解一二类曲线积分之间的关系了,它们之间就差一个余弦比例.
一二类曲面积分也是一样的.一类是对面积的积分,二类是对坐标的.告诉你面密度,求面质量,就用一类.告诉你x,y,z分别方向上的流速,告诉你面方程,求流量,就用第二类.同理,x,y,z方向也是可以分开的,分开了也就不难理解一二类曲面积分的关系了.
你要把以上两点都能理解的话,再去看高斯公式与流量,斯托克斯公式与旋度,这两个是线面体积分转化的两个公式,都理解了就没问题了.
学积分,重要的就是要理积分就等于是求积（乘法的积）.积分就是乘法.因为变量在连续变化,我不能直接乘,所以有了微积分来微元了再乘.一类线面积分就是函数和线面乘,二类线面积分就是函数和坐标乘.

Ⅷ 第一类曲面积分如何求

计算步骤如下：
cosαds=dx
cosβds=dy
cosγds=dz
α、β、γ分别为曲线与x轴、y轴、z轴的夹角则I=∫[L]f(x,y,z)ds=∫[a,b]f(x(t),y(t),z(t))sqrt[(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2]dt
曲线积分简介：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线
，设构件的质量分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρS求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。定义：设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn
把L
分成
n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ
f(x,y)i*ds，记λ=max(ds)
，若Σ
f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为:∫f(x,y)*ds
;其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

Ⅸ 第一类曲面积分

区别是：
第一类曲面积分是对面积的曲面积分 。
第二类曲面积分是对坐标轴的曲面积分。
对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分是可以转化的；两类曲面积分的区别在于形式上积分元素的不同，第一类曲面积分的积分元素是面积元素dS,例如：在积分曲面Σ上的对面积的曲面积分：
∫∫f(x,y,z)dS；
而第二类曲面积分的积分元素是坐标平面dxdy,dydz或dxdz,例如：在积分曲面Σ上的对坐标平面的曲面积分：
∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz。

Ⅹ 请教高人讲解曲线积分和曲面积分（第一类第二类都要）

哥们给你都说了吧：
第一类曲线积分，可以通过将ds转化为dx或dt变成定积分来做，但是单纯的第一类曲线积分和二重积分没有关系，只有通过转化为第二类曲线积分后，要是满足格林公式或者斯托科斯公式条件，可以用公式转化为简单的曲面积分，再将曲面积分投影到坐标面上转化为二重积分来计算，这是第一类曲线积分和二重积分关系，但是第一类曲线积分和三重积分么有任何关系……
第一类曲面积分，可以通过公式变换，将dS转化为dxdy，直接转化为二重积分来做，但是和三重积分没有任何关系，只有通过转化为第二类曲面积分，满足了高斯公式条件，才能用高斯公式转化为三重积分来计算
曲线积分与定积分，曲面积分与二重积分的区别：曲面积分、曲线积分都是给定了特定的曲线或者曲面的方程形式，意思是在曲线上或曲面上进行积分的，而不是像普通的二重积分和定积分那样直接在xyz坐标上进行积分，所以要将第一类曲线积分，第一类曲面积分通过给定的方程形式变换成在xyz坐标进行积分，另外既然给定了曲线或曲面方程，就可以根据方程把一个量表示成其他的两个量的关系，因为是在给定的曲线或曲面方程上进行积分的，所以要满足给定的曲线或曲面的方程，所以各个量之间可以代换的，这个普通的定积分和二重积分不能这么做的……
第一类曲线积分：对线段的曲线积分，有积分顺序，下限永远小于上限……求解时米有第二类曲线积分简单，需要运用公式将线段微元ds通过给定的曲线方程形式表示成x与y的形式，进行积分，这个公式书里面有的，就是对参数求导，然后再表示成平分和的根式……
第二类曲线积分：对坐标的曲线积分，没有积分顺序，意思是积分上下限可以颠倒了……
第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系：可以用余弦进行代换，余弦值指的是线段的切向量，这个书本里面的，我就不写了
第一类曲面积分：对面积的曲面积分，求解时要通过给定的曲面方程形式，转化成x与y的形式，这个公式书里面也有的，就是求偏导吧？然后表示成平方和根式的形式
第二类曲面积分：对坐标的曲线积分，这个简单一些，好好看看就可以了
两类曲面积分的联系：可以用余弦代换，但是这个余弦是曲面的法向量
下面给出第一类曲线积分和第一类曲面积分的联系，方便你记忆：都是要转化成在xyz坐标面上的积分，都是平方和的根式形式，但是第一类曲线积分是对参数求导，第一类曲面积分是求偏导，为何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直线代替曲线，相当于正方体求对角线，你想想是不是，肯定要出现平方和的根式，你好好看看推导过程……
第二类曲线积分与第二类曲面积分的关系：
第二类曲线积分如果封闭的话，可以用格林公式或斯托克斯公式化简
第二类曲面积分如果封闭的话，可以用高斯公式进行化简
这些东西很有趣的，你要学会对应的记忆啊……
格林公式研究的是把平面第二类曲线积分转化为二重积分来做，但是要注意正方向的选取，以及平面单连通和平面复连通，有时需要取辅助线构成封闭曲线的，但是要计算辅助曲线的曲线积分，因为此时的格林公式值是由两条曲线叠加后产生的，这个很重要，因为积分与路径无关都要涉及到平面复连通和单连通的计算……