自适应领域的法向量计算方法

⑴ 怎样求法向量

什么是法向量？
法向量的定义：
1 在平面几何中,如果一个向量垂直于一条直线,那么它就叫做直线的法向量.
2 在立体几何中,如果一个向量垂直于一个平面,那么它就叫做平面的法向量.三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点 p 处的法线为垂直于该点切平面的向量。
3 在立体几何中,如果一个向量同时垂直于两条或多条异面直线,那么该向量叫做这些异面直线的公共法向量.
比方说,
1 在平面上有直线 y=x,那么向量(1,-1)就是这条直线的(一个)法向量(注意法向量是无穷多的).
2 在立体空间中有由x轴和y轴确定的平面,那么这个平面就有一个法向量(0,0,1).
法线法向量是否唯一的？
曲面法线的法向量不具有唯一性；在相反方向的法线也是曲面的法线；法线的两个方向的法向量都可以表示这条法线方向。定向曲面的法线通常按照右手定则来确定。
法向量的模等于1的法向量叫单位法向量。

如何用矩阵行列式求法向量？
如果矩阵是方阵(如nxn)：它的行向量组线性相关，则r(A)<n,由于矩阵行向量组的秩等于列向量组的秩，那么它的列向量组也线性相关；
如果矩阵不是方阵，则上述结论不一定成立，比如一个4x3的矩阵，如果它的行向量组的秩为3，那么行向量组线性相关，此时列向量组的秩也为3，但列向量组线性无关。

平面四边形，知道四个节点的坐标，求一条边的x，y方向的法向量，nx和ny，怎么求？
先表示出一条直线的向量，再根据（法向量）点乘（向量）的点乘积为0，就可以求出来了。

怎样通过点法向量方程式求法向量 ？请解释为什么d=(b,-a)是直线l（它的方程式是：ax+by+c=0）的一个方向向量。
首先，直线ax+by+c=0与直线ax+by=0平行。
在直线ax+by=0上取一点（b，-a），则向量（b，-a）与直线ax+by=0共线。
所以向量（b，-a）是直线ax+by=0的一个方向向量。
而直线ax+by+c=0与直线ax+by=0平行，
所以向量（b，-a）是直线ax+by+c=0的一个方向向量。

求法向量的一个简单公式：
已知平面内两条不平行的直线的方向向量分别为n1、n2，则该平面的法向量=n1×n2。

如何求立体几何中的法向量？
首先对该立体图形建立坐标系，如果能建，则可求面的法向量 ：
求面的法向量的方法是：
1、尽量在图中找到垂直于面的向量 ；
2、如果找不到，那么就设法向量n=（x,y,z），
然后因为法向量垂直于面，所以n垂直于面内两相交直线，可列出两个含有x、y、z的方程，两个方程中有三个未知数，解不出一个唯一的解。但可以根据题目情况、计算方便，使z（或x或y）等于一个具体的数，就变成了两个未知量两个方程的方程组了，是可解方程组，解出唯一的解，就是设的那个法向量n(x,y,z)了.

⑵ 法向量的求法

法向量的求法：

在空间直角坐标系下

求出法向量所垂直的平面内两条不平行的直线的方向向量

设为(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)

显然平面的法向量(x,y,z)与两直线方向向量垂直

即得xx1+yy1+zz1=0,xx2+yy2+zz2=0

将任一未知量取一特殊值，则另外两个未知量可得

即可求出法向量

(2)自适应领域的法向量计算方法扩展阅读

如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i，j，k作为一组基底。若为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量a。

由空间基本定理知，有且只有一组实数(x,y,z)，使得a=ix+jy+kz，因此把实数对(x,y,z)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y,z)。这就是向量a的坐标表示。

⑶ 立体几何怎么求法向量

垂直于平面的向量是该平面的法向量，
平面ABD的一个法向量是向量AA'，∵向量AA'⊥向量AB，
向量AA'⊥向量AD，
所以AA'是平面ABD的一个法向量
，
然后就可以用空间向量的计算来解出方程，当然这是一般方法
因为向量AA'很明显的垂直于下平面
，
所以可以直接说向量AA'是平面ABD的一个法向量。
设法向量需要根据情况，
如果有现成的垂直于一个平面的向量
，
那么那个向量就是这个平面的法向量
，
如果需要自己找法向量，
需要两条相交的向量，
平面的法向量是垂直于平面的向量
，
所以只需要垂直于相交的两个向量就好
，
这就是一个代数式（如：ax+by=z），因为一个平面内的法向量有无数个
，
所以你随便带入一个x，
便有对应的一个y，
所以你需要随便带入一个数
，
求出空间中的一个法向量用于你的计算。
我说的够明白吧
，
如果没听懂的话
，
说明你的基础不太好，，。

⑷ 法向量相乘的计算步骤是什么

梯度是向量,梯度若与法向量点乘则为一个函数(或常数),叉乘则仍为一个向量

⑸ 怎样求曲面上一点的法向量

求曲面上一点的法向量方法如下：

1、曲面由方程F（x，y，z）=0决定，相应的某一点M的法向量你只需要对应的求偏导数就可以了。

2、由于法向量所在的是一条直线，所以方向来讲有两个，如果没有特别要求一般是可以随便选择的，如果是坐标的曲面积分什么的，需要注意一下和xyz正方向之间的夹角，因为这关系到面积投影的正负。

3、至于法向量的角度这个教材上有写明的，就是对F分别求出x，y，z的偏导数之后，Fx‘，Fy’，Fz‘，利用各自的分量除以对应的长度就可以了啊。

4、比如说和x轴的角度cosα=Fx‘/(Fx‘^2+Fy’^2+Fz'^2)^1/2

其余的类似。

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角（一般只求出正弦值即可）：求出平面法向量和斜线的一边，然后联立方程组，可以得到角度的余弦值，根据公式Sinα=|Cosα|。利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离： 任一斜线(平面上一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离

法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，它的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。

⑹ 偶然发现的求法向量的新方法 求理论证明

您发现的这个规则就是向量叉乘的法则啊。
对于两个向量，有叉乘公式：(a,b,c)x(x,y,z)=(bz-cy,cx-az,ay-bx)
法则的证明简洁而富有美感：根据叉乘的定义，axb=c中，c垂直于ab平面，大小为a和b的大小相乘再乘以ab夹角正弦，对吧？
那么就有：(1,0,0)x(0,1,0)=(0,0,1)
把“1”的位置挪一挪又能推广得到：(0,1,0)x(0,0,1)=(1,0,0) (0,0,1)x(1,0,0)=(0,1,0)
同样地，由axb = -bxa，再加上(a+b)x(c+d)=(axc+axd+bxc+bxd)（就是分配率。向量内积和外积分配律证明从略。不过如果您需要的话，欢迎追问，我会帮您解答的。）就可以得到叉乘法则。
那既然axb=c中c垂直ab平面，所以c也就可以作ab平面的法向量了。这也是向量几何里表示平面的方法：用一个法向量来代替。
你的观察力不错，能自己发现这个规律，赞一个！
如果还有不懂的话，欢迎追问！

⑺ 什么叫法向量

法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量，但是这些法向量之间相互平行。从理论上述，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。
如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z)，然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解，因为其它方程和上述两个方程是等价的)，无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。
法向量的主要应用如下：
1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角，这个角和斜线与平面所成的角互余。利用这个原理也可以证明线面平行；
2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补；
3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离
法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，他的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。
（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ，则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即 。
例题
(2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形, ，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，
（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点到平面的距离。
（Ⅰ）解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
设，则， ， ，
， ， ，
∴ , ，
∴ ， ，
由 得， ，
∴ ， ， ，设平面的法向量为 ，则 ， ，由， 得，
，令 得， ，
∴平面 的一个法向量为 ，
∴ 与的夹角的余弦值是 ，
∴ 与平面所成角为 。
当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。
（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行。
例题
（2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中， , ，，点在上，且 ，
（I）证明： ；
（II）求以为棱， 与为面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。
（Ⅲ）解：以为坐标原点，直线分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别为， ，
∴ ， ，
设平面的法向量为，则由题意可知， ，
由 得，
∴ 令得， ，
∴平面的一个法向量为
设点是棱上的点，，则
，
由 得，
∴ ， ∴当是棱的中点时， 。
同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直。
（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为，设二面角的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补，当二面角的锐角时， ；当二面角为钝角时， 。
例题
2004年高考湖南（理）19题：
（Ⅱ）解：由题意可知， , ,
∵ ∴ 为平面的一个法向量，
设平面的法向量为 ，则由题意可知， ,
由 得，
∴ 令 得， ，
∴平面的一个法向量为，
∴向量与夹角的余弦值是 ， ∴ ，
由题意可知，以为棱，与为面的二面角是锐角，
∴所求二面角的大小为 。
我们知道当两个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我们可用这一特征来证明两个平面垂直。
（四）设两个平面和的法向量分别为，若，则这两个平面垂直。
例题
（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中， ， 分别是上的点，且 ，求证：平面平面 。
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则 ， ， ，， ，
∴ ， ，
设平面的法向量为 ，则由题意可知，，
由 得，
∴ 令得， ，
∴平面的一个法向量为 ，
由题意可知，平面的一个法向量为
∴ ∴平面平面
（五）设平面的法向量为，是平面外一点， 是平面内一点，则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值，即 。
我们再来看2003年全国（理）18题：
（Ⅱ）解：设 ，则 ， ， ， ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
由 ， 得，
，令 得， ，
∴平面的一个法向量为 ，而 ，
∴点 到平面的距离 。
我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离。
（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量），分别为异面直线上的点，则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值，即。
例题
（1999年全国（理）21题）如图，已知正四棱柱中，点在棱上，截面 ，且面与底面所成的角为 ，，求异面直线与之间的距离。
解：以为坐标原点，建立如图所示的坐标系 ，
连结交于 ，连结 ，则就是
面 与底面所成的角的平面角，
∴= ，∴
又∵截面 ，为的中点，
∴ 为的中点，∴ ，
则 ， ， ，，
∴ ， ，
设向量 与两异面直线都垂直，由 ，得，
∴ ，∴ ，
∴异面直线与之间的距离
前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几何问题的代数化，将复杂的几何证明转化为代数运算，从而避免了几何作图，减少了逻辑推理，降低了难度。但公式的应用也有一定的局限性，一般地，在能建立空间直角坐标系的情况下，利用法向量较为有效。

⑻ 法向量的计算方法

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组：

①n·a=0；

②n·b=0。

5、解方程组，取其中一组解即可。

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。

例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

(8)自适应领域的法向量计算方法扩展阅读：

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；

如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|（等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量）。

利用这个原理也可以求异面直线的距离。

⑼ 平面的法向量怎么求

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0

5、解方程组，取其中一组解即可。

例如已知三个点求那个平面的法向量：

设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)是已知平面上的3个点

A,B,C可以形成3个向量,向量AB,向量AC和向量BC

则AB（x2-x1,y2-y1,z2-z1）,AC(x3-x1,y3-y1,z3-z1),BC(x3-x2,y3-y2,z3-z2)

设平面的法向量坐标是（x,y,z）

有(x2-x1)*x+(y2-y1)*y+(z2-z1)*z=0 且(x3-x1)*x+(y3-y1)*y+(z3-z1)*z=0 且(x3-x2)*x+(y3-y2)*y+(z3-z2)*z=0

可以解得x,y,z。

(9)自适应领域的法向量计算方法扩展阅读

三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。

法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

⑽ 如何计算平面的法向量

在平面内找两个不共线的向量，待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了，为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x，为x代值即可得到一个最简单的法向量。

如已知向量a和b为平面ɑ内不共线的两个非零向量，且a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，设n为平面ɑ的一个法向量，n=(x，y，z)，根据方程组，可得到法向量n中x，y，z的关系式，从而求出平面ɑ的一个法向量。

(10)自适应领域的法向量计算方法扩展阅读：

数学答题注意事项：

1、巧解选择，填空题，解选择，填空题的基本原则是小题不可大做。

2、直接从题干出发考虑，探求结果，从题干和选择联合考虑，从选择出发探求满足题干的条件。

3、规范答题很重要，找到解题方法后书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，高考评分是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。

4、答题时尽量使用数学符号，这比文字叙述要节省时间且严谨。即使过程比较简单，也要简要地写出基本步骤，否则会被扣分。