数值计算方法牛顿法解方程例题

Ⅰ 数学牛顿迭代法的例子

牛顿迭代公式编辑
设r是

的根，选取

作为r的初始近似值，过点

做曲线

的切线L，L的方程为

，求出L与x轴交点的横坐标

，称x1为r的一次近似值。过点

做曲线

的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标

，称

为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，

称为r的

次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程

线性化的一种近似方法。把

在点

的某邻域内展开成泰勒级数

，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即

，以此作为非线性方程

的近似方程，若

，则其解为

， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：

。
已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。[1]
军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上，直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

Ⅱ 数值计算方法上机题编程，，，用c语言编程序，用牛顿迭代法求18的倒数，精度为0.0005，求大神解

用牛顿迭代法求方程(2*(X-4)+3)X-6=0的根。
其迭代公式为X2=X1-F(X1)/F'(X1)
F'(X1)为对方程求导。本题中P'(X1)=(6*x1-8)*x1-3；
编译显示正确，但一运行就死机，我已经死了3次了。（一开始还以为电脑的问题）
#include<iostream.h>
#include<math.h>
void main(void)
{float x1,x2=100;
do
{x1=x2;
x2=(float)x1-(((2*x1-4)*x1+3)*x1-6)/((6*x1-8)*x1-3);
}while(fabs(x2-x1)>pow(10,-5));
cout<<x2;
}

Ⅲ 牛顿法解方程

如果寻找方程f(x)=0的零点t，假定f二阶可导，那么在t附近的点u有
0=f(t)=f(u)+f'(u)(t-u)+f''(x)(t-u)^2
略去二阶小量得
f(u)+f'(u)(t-u)=0
于是
t=u-f(u)/f'(u)

但是实际上因为f不一定是线性的，不可以忽略略去二阶小量的影响，所以上述过程就要迭代地进行
f(x_{n+1})=x_n-f(x_n)/f'(x_n)
并且这个迭代具有(局部)二次收敛性。

就写这些，教材上一般都会有的，你自己去看看。

Ⅳ 用牛顿法求下列方程,要求精度为10∧-5

这个没有解析解，只能用数值方法解。
令f(x)=X^5+X^4+X^3+X^2+X-1,则f(0)=-10,可见在(0,1)中有一解，取中点0.5，f(0.5)=-0.03,如果满足精度要求的话取x=0.5即可，否则继续二分。在（0.5,1）中有一解，取中点0.75，f(0.75)>0,继续去(0.5,0.75)的。

Ⅳ 用牛顿迭代法解方程X^5-2X^4+X-3=0,，结果保留两位小数

先根据函数f(x)判断根所在的区间
f(x)=x^5-2x^4+x-3
f'(x)=5x^4-8x^3+1
设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)
f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标
x1=x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值，如果|f(x1)-0|小于指定的精度，那么继续过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标
x2=x1-f(x1)/f'(x1)称x2为r的二次近似值，重复以上过程。得r的近似值序列{Xn},其中Xn
1=Xn-f(Xn)/f'(Xn),称为r的n
1次近似值。

Ⅵ 求解一道matlab题，选了数值分析，结果悲惨的发现自己不会用matlab

clear,clc
%% 求ln(x+sinx)=0的根。初值x0分别取0.1, 1,1.5, 2, 4进行计算
eq1 = @(x) log(x+sin(x));
x10 = [.1,1.5,2,4];
[x1,val1,flag1] = arrayfun(@(i)newton(eq1,x10(i)),1:length(x10));%未加速
[x1s,val1s,flag1s] = arrayfun(@(i)newton(eq1,x10(i),1),1:length(x10));%加速

%% 求sinx=0的根。初值x0分别取1，1.4，1.6, 1.8，3进行计算
eq2 = @(x) sin(x);
x20 = [1,1.4,1.6,1.8,3];
[x2,val2,flag2] = arrayfun(@(i)newton(eq2,x20(i)),1:length(x20));%未加速
[x2s,val2s,flag2s] = arrayfun(@(i)newton(eq2,x20(i),1),1:length(x20));%加速

以上程序要用到的newton函数如下，已经帮你集成了Steffensen加速法，具体用法函数里边写得很清楚，自己复制粘贴到m文件保存，m文件命名为newton.m,放在同一路径下方可使用
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [x,val,exitflag] = newton(eq,x0,steff,tol,mindx,maxiter)
%牛顿法解方程
%[x,val,exitflag] = newton(eq,x0,steff,tol,mindx,maxiter)
%x为方程的解;
%val为上述x带入eq的值;
%exitflag为1,求解成功；exitflag为0，达到最大迭代次数未收敛；
%exitflag为-1，步长达到最小未收敛;
%eq:函数句柄;
%x0:初值,默认为0到1随机;
%steff为加速参数，非负则加速。默认不加速;
%tol:容差,默认1e-10;
%mindx:最小迭代步长,默认1e-8;
%maxiter:最大迭代数目，默认1e4;
%例如 x = newton(@(x)log(x+sin(x)),1) 得到 x = 0.5110;
%14-Nov-2011 11:39:48,by JJBNJZ

if ~isa(eq,'function_handle')
error('我擦，要我说几遍你才知道要用函数句柄啊')
end

if nargin < 6
maxiter = 1e4;
if nargin < 5
mindx= 1e-8;
if nargin < 4
tol= 1e-10;
if nargin < 3
steff = -1;
if nargin < 2
warning('初值都没给,那从0到1之间随便选了啊')
x0 = rand;
end
end
end
end
end

x = x0;
val = eq(x0);
exitflag = 1;
eval(['df =@(x)' char(diff(eq(sym('x')))),';']);

if abs(val) <= tol
disp('你给的初值就是解，还算个毛啊，再见')
return
end

if steff <= 0
for iter = 1 : maxiter
val = eq(x);
dval = df(x);
xnew = x - val/dval;
val = eq(xnew);
if abs(val) < tol
x = xnew;
return
end
if abs(x-xnew) < mindx
exitflag = -1;
disp(['迭代步长已经小于设定的最小步长(默认1e-8),',...
'而表达式的值没有小于给定容差(默认1e-10)'])
x = xnew;
return
end
x = xnew;
end
else
st=@(x)x - eq(x)/df(x);
for iter = 1 : maxiter
xnew = x - (st(x)-x)^2 / (st(st(x)) -2*st(x) + x);
val = eq(xnew);
if abs(val) < tol
x = xnew;
return
end
if abs(x-xnew) < mindx
exitflag = -1;
disp(['迭代步长已经小于设定的最小步长(默认1e-8),',...
'而表达式的值没有小于给定容差(默认1e-10)'])
x = xnew;
return
end
x = xnew;
end
end
disp('因达到最大迭代次数而终止，求解失败；解决方法，要么增大容差(精度下降)，要么增大迭代次数(变慢)')
exitflag = 0;
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
问题分析什么的就自己写吧，无非是些：“解方程，初值是关键”，“自从我用了Steffensen的加速方法后，嘿，还别说，还真对得起咱这张脸，从前不收脸的也收脸了，收脸的速度的也快了”，“牛顿法求解方程得到的解和初值间的距离居然和初值的导数值有关，导数值越小的初值解出来离初值越远，怎么回事呢？自己看书吧”，“不管怎么说，steffensen还是收敛的比较好的，相比没有他，我们离初值更近了╮(╯_╰)╭”

Ⅶ 牛顿迭代法解高次方程详细过程谁能举一个简单易懂的例子啊

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

Ⅷ 牛顿法解方程如何选初值，看一下这道题

hbj

Ⅸ 牛顿法求方程的根，牛顿法求x的3次方-2x-5=0在[0，3]的根

先粗略画一下f(x)=x的3次方-2x-5的图像，其与x轴的交点在x=2附近.

然后用牛顿法逼近，请看下面，点击放大：

Ⅹ 如何用牛顿迭代法求解方程

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。