重积分的计算方法极点在区域外部

‘壹’ 极坐标下的二重积分 如何确定范围

确定θ的范围的方法：看这个区域所在的象限范围，解两曲线的交点坐标(x，y)后，角度θ=arctan(y/x)，就可得到θ的范围。极坐标θ的变化都是从原点位置开始扫起的。注意角度必须是弧度制。

一般分3种情况：

1、原点（极点）在积分区域的内部，角度范围从0到2π；

2、原点（极点）在积分区域的边界，角度范围从区域的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止；

3、原点（极点）在积分区域之外，角度范围从区域的靠极轴的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止。

(1)重积分的计算方法极点在区域外部扩展阅读：

利用极坐标计算二重积分中，除了确定θ的范围外，还要确定r的范围。

r的范围确定方法：可以画一个从原点指向出来的箭头，先穿越的曲线就是下限，后穿越的曲线就是上线。即得到了r的范围。

有许多二重积分仅仅依靠直角坐标下化为累次积分的方法难以达到简化和求解的目的。当积分区域为圆域，环域，扇域等时采用极坐标会更方便。

在直角坐标系xOy中，取原点为极坐标的极点，取正x轴为极轴，则点P的直角坐标系（x，y）与极坐标轴（r，θ）之间有关系式：x=rcosθ，y=rsinθ。

‘贰’ 该二重积分公式中圈出的部分如何计算

1由极点向外做一条射线,此射线交于两个点,这两个点所在的函数就是r的范围~
2还有一种情况就是,极点在区域内,那么交点就只有一个,所以就是那个点的函数到极点（也就是0的意思,下线为0）的距离~

‘叁’ 二重积分 极坐标 角度的范围怎么定在线等！

极坐标，θ的变化都是从原点位置开始扫起的

圆心(1，1)，半径√2

圆心到原点所在的直线是y=x，于是该圆在原点的切线为y=-x

画图观看这切线与圆的变化，便知道θ由-π/4变化到3π/4

所以θ∈[-π/4，3π/4]

这个圆不是关于原点对称的，所以不能用1/4圆来算

‘肆’ 一道二重积分计算题 能用极坐标求吗 麻烦能给出详细点的步骤吗 谢谢

1由极点向外做一条射线，此射线交于两个点，这两个点所在的函数就是r的范围~2还有一种情况就是，极点在区域内，那么交点就只有一个，所以就是那个点的函数到极点(也就是0的意思，下线为0)的距离~ 希望对你有帮助。 记得采纳我哦~谢谢，哈哈

‘伍’ 二重积分：极点在积分区域边界，r的下限却可以不为0

解：以直角坐标系的原点为极点，建立极坐标系。
设x=rcosθ，y=rsinθ。由题设条件，0≤r≤1/[(cosθ)^2+4(sinθ)^2]^(1/2)，0≤θ≤2π。
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(0,1/[(cosθ)^2+4(sinθ)^2]^(1/2))rdr。利用被积函数的对称性，∴原式=2∫(0,π/2)dθ/[(cosθ)^2+4(sinθ)^2]=2∫(0,π/2)d(tanθ)/[1+(2tanθ)^2]=arctan(2tanθ)|(θ=0,π/2)=π/2。供参考。

‘陆’ 极坐标求二重积分r范围怎么确定

由极点向外做一条射线，此射线交于两个点，这两个点所在的函数就是r的范围。

解：

∵d区域是以(0,1)为圆心、半径为1的圆，且经过原点(0,0)

∴以原点为极点建立极坐标，可以方便处理。

设x=rcosθ，y=rsinθ，代入题设条件，有0≤θ≤π，0≤r^2≤2rsinθ。

∴d={(r，θ)丨0≤r≤2sinθ，0≤θ≤π}。

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

以上内容参考：网络-二重积分

‘柒’ 二重积分的计算区域为圆环时怎么算

对于积分区域为圆或者圆环，我们都可以用极坐标求解，二者的区别在于积分上下限的不同，如果积分区域是圆的话，r的下限为0，如果积分区域为圆环的话，r的下限就是小的圆。
比如，积分区域是1<=x^2+y^2<=4，那么，r的范围就是1到2。
(7)重积分的计算方法极点在区域外部扩展阅读：
二重积分的计算方法：
1、二重积分的性质
（1）被积函数的常数因子可以提到二重积分的外面。
（2）函数和（或差）的二重积分等于各个函数二重积分的和（或差）。
（3）如果在D上，f(x,y)=A，A是常数，则σ为D的面积。
（4）如果闭区域D被有线条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分区域上的二重积分的和，例如D被分为两个闭区域D1和D2。
（5）如果在D上，则有不等式
。
（6）设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积。
（7）二重积分中值定理：设函数f(x,y)在区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点，使得下式成立：
2、在直角坐标系下计算二重积分
对于区域D，其实只要围着它积分就好了，很容易，不用死记X型和Y型。
3、对称性：（挺重要的一个概念）
设函数f(x,y)是平面区域D上的二元函数，又
（1）如果区域D关于x轴对称，且对任意 ，称f(x,y)在D上关于y偶函数（或奇函数），此时整个区域积分等于 （奇函数时为0），其中D1是D在上半平面部分。
（2）如果区域D关于y轴对称，且对任意 ，称f(x,y)在D上关于x偶函数（或奇函数），此时整个区域积分等于 （奇函数时为0），其中D2是D在右半平面部分。
（3）如果区域D关于原点对称，且对任意 ，称f(x,y)在D上同时关于x和y为偶函数（奇函数）。此时整个区域积分等于 （奇函数时为0），其中D3是D在上半平面部分。
4、极坐标系下计算二重积分
（1）极坐标和直角坐标之间的关系：x=rcos
θ；y=rsin
θ。
（2）二重积分当变量从直角坐标变到极坐标时，计算公式：
（3）极点位置的三个情况：
①当极点在积分区域D的外部，如果D={ }、如果函数 在区域[α，β]上连续，则积分
②当极点在积分区域D的内部，如果D={ }、如果函数φ(θ)在区域[0，2π]上连续，则积分
③当极点在积分区域D的边界上，如果D={ }、如果函数φ(θ)在区域[α，β]上连续，则积分。
（理解：里面积分的，其实就是把某个角度的线段积分起来（所以是从最靠近极点的函数积到原离极点的函数），外面的就是把角度积起来）
5、二重积分的换元法：
设函数f(x,y)在xOy平面上的有界闭区域D上连续，变换T： ，将uOv上的平面上的闭区域D'变为xOy平面上的闭区域D，且满足。
（1）在D'上具有一阶连续偏导数
（2）在D'上雅克比行列式：
（3）变换T：D'→D是一一对应的。