量纲分析实验研究方法步骤

㈠ 指导注水开发缝洞单元物理模拟的相似准则的建立

李爱芬 张 东

（中国石油大学（华东）石油工程学院，山东青岛 266555）

摘 要：建立合理的相似准则对注水开发缝洞单元的物理模拟研究具有重要的指导意义。本文分别通过 方程分析法与量纲分析法推导并得到了用于指导注水开发缝洞单元物理模拟的相似准则群，进一步验证了相 似准则群的正确性，通过对上述相似准则群进行筛选、组合，最终得到六个能够反映缝洞单元注水开发主要 特征的相似准则。研究发现，方程分析法得到的相似准则群可以用量纲分析法得到的相似准则群进行表示，最终得到六个相似准则的物理意义依次为采出程度，压力与重力之比，雷诺数，多条裂缝下的立方定律，缝 洞比，注水量与采油量之比。

关键字：相似准则；缝洞单元；注水开发；方程分析法；量纲分析法

Establishment of Similarity Criteria as Guide for Physical Simulation of Water Flooding in Fractured-vuggy Unit

Li Aifen，Zhang Dong

（School of Petroleum Engineering，China University of Petroleum（East China），Qing 266555 ，Shandong，China）

Abstract：It is of important directive significance to establish the proper similarity criteria for physical simulation of water flooding in fractured-vuggy unit.In this paper，the similarity criteria guiding physical simulation of water flooding in fractured-vuggy unit has been gotten by equation analysis method and dimension analysis method respectively.The validity of the similarity criteria has been proved.By selecting and combining above similarity criteria，six similarity criteria reflecting the major characteristics of water flooding in fractured-vuggy unit have been gotten.The results are as follows.Similarity criteria derived by equation analysis method could be expressed by criteria derived by dimension analysis method.The six similarity criteria are recovery percent of reserve，the ratio of pressure and gravity，Reynolds number，cubic law in the condition of multiple fractures，the ratio of fracture number and vug number，and the ratio of injection volume and oil proction.

Key words：similarity criteria；fractured-vuggy unit；water flooding；equation analysis method；dimension analysis method

引言

缝洞单元是缝洞型碳酸盐岩油藏的基本开发单位^［1～3］，注水开发在缝洞型碳酸盐岩油藏的开采过 程中取得了较好的效果^［4，5］，因此要合理高效地开发缝洞型碳酸盐岩油藏，就必须先摸清缝洞单元的注 水开发规律。

物理模拟是研究缝洞单元开采规律的重要方法^［6～8］。物理模拟要满足相似理论才能保证其自身的 科学性，可以认为，相似准则是开展物理模拟的依据。

目前，在进行注水开发缝洞单元物理模拟实验时，很多学者未考虑相似准则^［9～13］，用于指导注水 开发缝洞单元物理模拟的相似准则也不多见。本文将分别用方程分析法和量纲分析法^{［14～16］}推导注水开 发缝洞单元物理模拟的相似准则群，在验证相似准则群正确性的基础上，通过整理与分析，筛选出用于 指导注水开发缝洞单元物理模拟的相似准则。

1 方程分析法推导相似准则群

1.1 基本假设

方程分析法推导相似准则，首先要建立描述模拟对象的数学模型。在建立数学模型前，做基本假设 如下。

（1）油藏中存在油水两相流动，由于塔河缝洞型油藏的原油属于低饱和压力原油，忽略油藏中溶 解气的存在；

（2）缝洞型油藏中，大尺度裂缝是主要的流动通道，因此忽略毛细管力的影响^［17］；

（3）假设在注水开发过程中，注采平衡；

（4）暂不考虑溶洞、裂缝中的充填情况。

1.2 数学模型

数学模型包括连续性方程^［18］、运动方程、饱和度方程、辅助方程、定解条件和初始条件。

（1）连续性方程

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（2）运动方程

当（x，y，z）∈裂缝时，流体流动可以用达西定律形式进行描述，

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其中，达西定律中的绝对渗透率可以用修正的立方定律［19］进行计算。

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当(x，y , z) ∈ 溶洞时，流体流功可以用N -S 方程[ 20］A行描述，

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其中，▽² U_x,▽²u_y▽²U_z为拉普拉斯算子。

将式（7）中三个式子分别乘以dx、dy、dz，再相加，考虑油水两相得：

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(3) 饱和度方程

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(4) A助方程

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采出量:

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注人量:

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1.3 归一化处理

为了便于推导，采用归一化的饱和度和归一化的相对渗透率，重新写出上述有关方程。

（1）无因次项的归一化

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（2）方程的修正

将式（14）、（15）代入连续性方程得：

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将式(1 7 )、(1 8 )代人运动方程得:

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其中，k^*＝k_rowc或者k^*＝k_rwor。

饱和度方程：

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参数说明：ρ_o为油密度，g/cm³；ρ_w为油密度，g/cm³；u_o为油相速度，cm/s；u_w为水相速度，cm/s；u_ox为油相在x方向的速度，cm/s；u_wx为水相在x方向的速度，cm/s；u_oy为油相在y方向的速 度，cm/s；uwy为水相在y方向的速度，cm/s；u_oz为油相在z方向的速度，cm/s；u_wz为水相在z方向的 速度，cm/s；q_o为油相流入（流出）的质量流量，g/s；q_w为水相流入（流出）的质量流量，g/s；φ 为储集体总孔隙度；φ_v为溶洞孔隙度；φ_f为裂缝孔隙度；S_o为油相饱和度；S_w为水相饱和度；△S为可 动流体饱和度；S_wc为束缚水饱和度；S_or为残余油饱和度； 为归一化的油相饱和度； 为归一化的水 相饱和度；t为时间，s；K为绝对渗透率，μm²；k_ro为油相相对渗透率；k_rw为水相相对渗透率； 为 归一化的油相相对渗透率； 为归一化水相相对渗透率；k_rowc为束缚水饱和度下的油相相对渗透率，常 量；k_rwor为残余油饱和度下的水相相对渗透率，常量；μ_o为油相粘度，mPa·s；μ_w为水相粘度，mPa·s；p_o为油相压力，10^-1MPa；p_w为水相压力，10^-1MPa；g为重力加速度，m/s²；n为端面裂缝 数量；H为端面高度，m；b为裂缝张开度，μ_m；δ为立方定律修正系数；e为壁面粗糙度，μ_m；L′为 油藏长度，km；W为油藏宽度，km；H为油藏高度，km；n_f为裂缝密度，1/m；n_v为溶洞密度，1/m³；V_v为溶洞平均体积，m³ ；l_w为裂缝与流体的接触面积（裂缝长乘以裂缝宽），m²；D为井眼半 径 m；i为注水量，m³/d。

1.4 相似准则的建立

下面以式（19）的油相方程为例，介绍相似准则的推导方法。

将式（19）第一项除以第五项得： （假设速度uo沿L方向）；

将式（19）第一项除以第四项得： ；

将式（19）第四项除以第五项得： ；式（19）第一、二、三项因次相同，不再做 处理；

这样推导出3个准则，将其他方程按照这种方法进行处理，最终得到一系列相似准则。此外，无因 次参数本身就属于相似准则，比如： △S、φ_v、φ_f。

把推导出来的相似准则进行组合处理，比如：

由 得：

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最终通过方程分析法得到的相似准则群如下：

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描述缝洞单元中油水两相的流动需要以下33个物理量：

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这些变量包括3个基本量纲p、L、t，由相似理论π定理^［7］，应有33-3 ＝30个相似准则数，说明 在方程分析法推导过程中漏掉了4个相似准则数。可以通过量纲分析方法补充漏掉的相似准则。

2 量纲分析法推导相似准则

基本量纲包括压力ρ，长度L，时间t。选定包括三个基本量纲的变量ρ，u，L作为基本参数群。缝 洞单元内两相流动模拟涉及的物理量及其量纲如下表1所示。

对于时间t，选取ρ_o、u_o、L作为基本参数。

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令各基本量纲的指数为零，得齐次方程组，解得a＝0，b＝1，c＝-1，这样就找到了第一个相似 准则：

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用同样的方法，可以得到每个有因次变量对应的相似准则。

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存在以下因次相同的物理量组合的相似准则：

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其它无因次参数，本身就是相似准则：

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通过量纲分析法得到了30个相似准则，经过对比分析发现，用方程分析法推导得到的相似准则缺 少四个相似准则： 。这样就补齐了方程分析法推导得到的相似准则。

3 两套相似准则的相互验证

上面用两种方法推导了用于指导缝洞单元内两相流体流动模拟的相似准则。方程分析法得到的相似 准则有比较明确的物理意义，但这种方法推导的相似准则往往不够全面。量纲分析法得到的相似准则一 般不会被遗漏，但这种方法是通过将各物理量与基本参数进行组合，使其因次强制为0而得到相似准则 的，因此其得到的相似准则往往缺乏物理含义。用两种方法分别推导相似准则，取各种方法的长处，可 以得到全面而准确的相似准则。

3.1 验证方法

既然同样是指导缝洞单元内两相流体流动模拟的相似准则，那么两套准则应该完全一致。如果其中 一套相似准则群中的每个相似准则都能由另一套相似准则组合表示，则可以认为两套相似准则完全 一致。

下面采用量纲分析法推导的相似准则去验证方程分析法推导得到的相似准则。

表1 缝洞单元内两相流动模拟涉及的物理量及其量纲

续表

3.2 验证过程

首先列举两种方法得到相似准则群，为了区别两套相似准则，将量纲分析法得到相似准则加上标（如 ）。

方程分析法得到的相似准则群：

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量纲分析法得到的相似准则群：

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通过推导发现：

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这A套相似准A完全一致，世明上述A种方法得到的相似准A是正确的。

4 物理模拟相似准则的确定

缝洞型碳酸盐岩油藏储层结构复杂，非均质性严重，其物理模拟实验与矿场实际无法做到完全相 似。在研究过程中，应该抓住事物的主要特征。根据几何相似、动力相似、运动相似的要求，对上述相 似准则群进行筛选、整理、分析，最终得到六个能够反映缝洞单元注水开发主要特征的相似准则，见 表2。

表2 物理模拟的主要相似准则

续表

5 结论

本文推导并得到了用于指导注水开发缝洞单元物理模拟的相似准则，得到结论如下：

（1）通过方程分析法得到的相似准则群可以用通过量纲分析法得到的相似准则群来表示，验证了 上述两个相似准则群的正确性。

（2）最终得到了六个能够反映注水开发A洞单元主要特征的相似准A:

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参考文献

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㈡ 量纲分析有什么实际意义（用途）。感觉它好像也不是无所不能的

它是物理意义运算上的基础

㈢ 建模的五种基本方法

量纲分析法

量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确地分析各变量之间的关系，简化实验和便于成果整理。

在国际单位制中，有七个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、H、J和N，称为基本量纲。

量纲分析法常常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无量纲化，无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度将有量纲量化为无量纲量，从而达到减少参数、简化模型的效果。

差分法

差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有以下几种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

差分法的解题步骤为：建立微分方程；构造差分格式；求解差分方程；精度分析和检验。

变分法

变分法是处理函数的函数的数学领域，即泛函问题，和处理数的函数的普通微积分相对。这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造，最终寻求的是极值函数。现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，即变分问题。变分问题的求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。受基础知识的制约，数学建模竞赛大专组的建模方法使用变分法较少。

图论法

数学建模中的图论方法是一种独特的方法，图论建模是指对一些抽象事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程。图论是研究由线连成的点集的理论。一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。因此，图论是研究自然科学、工程技术、经济问题、管理及其他社会问题的一个重要现代数学工具，更是成为了数学建模的一个必备工具。

㈣ 磁流体力学的5研究方法

研究方法等离子体的密度范围很宽。对于极其稀簿的等离子体，粒子同的碰撞和集体效应可以忽略，可采用单粒子轨道理论研究等离子体在磁场中的运动。对于稠密等离子体，粒子间的碰撞起主要作用，研究这种等离子体在磁场中的运动有两种方法，一是统计力学方法，即所谓等离子体动力论，它从微观出发，把气体当作正、负粒子和中性粒子的混含物，并考虑粒子之同的相互碰撞影响，用统计方法研究等离子体在磁场中的宏观运动；—是连续介质力学方法即磁流体力学，把等离子体当作连续介质（见连续介质假设）来研究它在磁场中的运动。等离子体动力论对等离子体作最基本的描述，分析深刻，而磁流体力学则是它的一种宏观近似，所以用等离子体动力论能判断磁流体力学处理实际问题的有效性。此外，等离子体动力论还可用来计算磁流体力学中的一切输运系数（如扩散、粘性、热传导和电阻系数等）并讨论它们的物理机制。但这种方法的数学分析很困难，故在处理实际问瓶时，应用磁流体力学比较方便，而输运系数则由实验测定或用等离子体动力学分析计算。对无碰撞的等离子体，有时也可应用流体动力学方法，例如流体粒子的无规运动速度比宏观速度小得多，即压力和温度可以忽略时，可用冷等离子体模型和方程处理等离子在电磁场中的运动。固态等离子体和冷等离子体的模型很近似。尽管可以应用上述较简单的磁流体力学理论解决实际问题，但在稀薄气体的某些场合下，只有动力论的描述才是恰当的。例如平衡等离子体中的电子等离子体振荡所受的阻尼（即朗道阻尼）问题，是不可能用磁流体力学模型描述的，必须用动力论方法才能解决。
磁流体力学是在非导电流体力学的基础上研究导电流体中流场和磁场的相互作用的。进行这种研究必须对经典流体力学加以修正，以便得到磁流体力学基本方程组，包括考虑介质运动的电动力学方程组和考虑电磁场作用的流体力学方程组。电动力学方程组包含电导率、电容率、磁导率；流体力学方程组包含粘性系数、热导率、气体比热等物理参量。它们有时是常数，有时是其他量的函数。磁流体力学基本方程组具有非线性且包含方程个数又多，所以求解困难。但在实际问题中往往不需要求最一般形式的方程组的解，而只需求某一特殊问题的方程组的解。一般应用量纲分析和相似律求得表征一个物理问题的相似准数，并简化方程，即可得到有实用价值的解。
磁流体力学基本方程组具有非线性且包含方程个数又多，造成求解困难。但在实际问题中往往不需要求最一般形式的方程组的解，而只需求某一特殊问题的方程组的解。因此，在利用磁流体力学基本方程组来解决种种实际问题时，可在实验或观测的基础上，建立表征研究对象主要实质的物理模型来简化基本方程组。一般应用量纲分析和相似律求得表征一个物理问题的相似准数，并简化方程，从而得到有实用价值的解。磁流体力学相似准数有雷诺数、磁雷诺数、哈特曼数（见哈特曼流动）、马赫赫、磁马赫数、磁力数、相互作用数等。求解简化后的方程组不外是分桁法和数值法。利用计算机技术和计算流体力学方法可以求解较复杂的问题。
磁流体力学的理论很难象普通流体力学理论那样得到充分的验证。由于在常温下可供选择的介质很少，同时需要很强的磁场才能观察到磁流体力学现象，故不易进行模似。早期是用水银进行实验，但水银在磁场中运动时只呈现出不可压缩流体现象，而等离子体处于高温状态，现象复杂，带来许多有待研究的诊断问题（见等离子体诊断）。模拟天体大尺度的磁流体力学问厘更不易在实验室中实现。所以磁流体力学的理论有的可以得到定量验证，有的只能得到定性或间接的验证。当前有关磁流体力学的实验是在各种等离子体发生器和受控热核反应装置中进行的。