❶ 有限差分法的差分方法的发展和应用
前面阐述了两个自变量,线性方程的差分法。实际问题常会遇到多个自变量,非线性的方程或方程组;它们还可能是混合型的偏微分方程(如机翼的跨声速绕流),其解包含着各种问断(如激波间断、接触间断等)。非线性问题的差分法求解是十分困难的。随着电子计算机的发展,在解决各种非线性问题中,差分法得到了很快的发展,并且出现了许多新的思想和方法,如守恒差分格式,时间相关法,分步法等。 把定常的微分问题用一个相应的非定常问题来代替,然后用差分法解后者的初值问题,要求当时,它的稳定解为原来问题的解,这类方法叫作时间相关法。实践上,当计算时间足够大时,就能得到满足给定精度的近似解。例如拉普拉斯方程第一边值问题:
可以用热传导方程的初边值问题:来代替。若用显式格式计算(27),可避免解大型代数方程组。特别是当微分方程的类型在定解区域内发生变化时,可只用一种类型来算,而使问题大大化简。这种方法在定常问题中广泛使用。缺点是达到定常解的计算时间较长,有待改进。 把复杂的问题的每一时间步分解成几个中间步,例如把多维问题按坐标分解为几个一维问题,然后用差分法解这些比较简单的各中间步,最后得到原始问题的近似解,这类方法叫作分步法。交替方向法、预估-修正法,时间分裂法、因式分解法等都属此类。以二维抛物型方程定解问题:为例,用显式格式求解,时间步长受稳定性条件:
的限制,用隐式格式,则归结为大型线性代数方程组,解起来比较麻烦。1955年皮斯曼-拉什福德提出交替方向隐式格式:
(i=1,2,…,N-1,j=1,2,…,M-1;n=0,1,2,…)
为中心差分算符,第一步x方向取隐式,y方向取显式,第二步则相反。两步合成无条件稳定的格式。由于每一步可用追赶法求解,大大简化了解法。交替方向法出现后,进一步发展了各种形式的分步格式,并可推广到任何维数的方程或方程组的情形,困难在于边界条件的处理。
有限差分方法已成为解各类数学物理问题的主要数值方法,也是计算力学中的主要数值方法之一。有些解偏微分问题的方法(如特征线法、直线法)实质上也是差分方法的一种形式。在固体力学中,有限元方法出现以前,主要采取差分方法;在流体力学中,差分方法仍然是主要的数值方法。当然,对于某些具有复杂的几何形状及复杂的流动现象的实际问题,差分方法还有待进一步发展。