总结证明函数单调性的方法步骤

Ⅰ 证明函数单调性的一般步骤

证明函数的单调性，也就是判断x1<x2时，f(x1)<f(x2)或f（x1）≥f(x2).

一般方法有：

1. 直接观察法或分析法，比如y=x²，很明显单调递增。

2. 作差法。计算x1<x2时，f(x1)与f(x2）的大小关系，即用f(x1)-f(x2）与0比较。

3. 作商法。当可以判断f(x1)与f(x2）同号时，求二者的商与1比较。

   等等。

Ⅱ 单调性的证明方法有哪些,定义法证明单调性的一般步骤

首先，提到函数的单调性时一定要说明单调区间。
判断函数的单调性一般有两种方法：
1.定义法；
2.导数法（高二或高三学，暂时不讲）；
定义法见图~
补充：若已知条件中有定义域为x>0且f(1)>0，这时应考虑假设x2/x1=x3，此时x3>1，可利用条件f(1)>0。

Ⅲ 利用定义判断或证明函数单调性的步骤。

利用定义判断函数单调性的方法，步骤如下：

1、在区间D上，任取x₁，x₂，令x₁<x₂；

2、作差求：f(x₁)-f(x₂);

3、对f(x₁)-f(x₂)的结果进行变形处理；

4、确定f(x₁)-f(x₂)符号的正负；

5、下结论，根据“同增异减”原则，指出函数在区间上的单调性。

(3)总结证明函数单调性的方法步骤扩展阅读：

其他判断方法有：

1、等价定义法

设函数f(x)的定义域为D，在定义域内任取x₁，x₂,且x₁不等于x₂，若[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)>0,则函数单调递增；若有 <0，则函数单调递减，以上是函数单调性的第二定义。

2、求导法

导数与函数单调性密切相关。它是研究函数的另一种方法，为其开辟了许多新途径。特别是对于具体函数，利用导数求解函数单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握，利用导数求解函数单调性，要求熟练掌握基本求导公式。

如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加；反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

参考资料来源：网络-单调性

Ⅳ 单调性的证明步骤是什么

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。因此，在某一区间内，一直上升的函数图象对应的函数在该区间单调递增；一直下降的函数图象对应的函数在该区间单调递减；

注意：对于分段函数，要特别注意。例如，上图左可以说是一个增函数；上图右就不能说是在定义域上的一个增函数（在定义域上不具有单调性）。

(4)总结证明函数单调性的方法步骤扩展阅读

利用函数单调性可以解决很多与函数相关的问题。通过对函数的单调性的研究，有助于加深对函数知识的把握和深化，将一些实际问题转化为利用函数的单调性来处理。因此对函数单调性的讨论小仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。

1、利用函数单调性求最值

求函数的最大(小)值有多种方法，但基本的方法是通过函数的单调性来判定，特别是对于小可导的连续点，开区间或无穷区间内最大(小)值的分析，一般都用单调性来判定。

2、利用函数单调性证明不等式

首先，根据小等式的特点，构造一个单调函数；其次，判别此函数在某区间[a,b]上为单调函数；最后，由单调函数的定义得到我们要证明的小等式。

Ⅳ 证明函数单调性与增减性的步骤

利用定义证明函数单调性的步骤：
①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2
②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形
③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号
④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数）
即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”

Ⅵ 如何判断一个函数的的单调性

1、定义法

定义法：按照证明函数单调性的五个步骤（1取值，2作差，3变形，4判号，5定论）进行判断。

定义如下：函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少） 。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

2、当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性; 当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性；

3、当函数f(x)恒为正（或恒为负）时，f(x)与1/f(x)有相反的单调性；

4、若f(x)非负，则f(x)与f(x)的算术平方根具有相同的单调性；

5、若f(x)与g(x)的单调性相同，则f(x)+g(x)的单调性与f(x)、g(x)的单调性相同；

6、若f(x)与g(x)的单调性相反，则f(x)-g(x)的单调性与f(x)的单调性相同。

”方程，从而利用函数单调性解方程x=a，使问题化繁为简，而构造单调函数是解决问题的关键。

Ⅶ 怎么证明函数的单调性

主要有（1）根据函数单调性定义来证明；（2）求函数的导函数来证明。
求函数单调性的基本方法
解：先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下，所谓知己知彼百战不殆。 1. 把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般（初学最好用定义）用定义（谨防循环论证），如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 2. 熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。 3. 高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。 还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。

Ⅷ 函数单调性的判断方法有哪些

函数单调性的判断方法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。
1、导数法
首先对函数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增函数，小于零是减函数。
2、定义法

设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数.
3、性质法
若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：
⑴ f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性；
⑵ f(x)与c•f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性；
⑶当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；
⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；
4、复合函数同增异减法
对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。
拓展资料：
1、奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；
2、互为反函数的两个函数有相同的单调性；
3、如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数.

Ⅸ 如何证明函数的单调性

用导数的正负来说明函数在一区间内的单调增或减，或通过函数单调性定义进行证明。设定义域内任意x1
x2满足x1<x2，通过不等式证明（可能要用到放缩的方法），推出f(x1)<f(x2)，则函数为增函数，反之，为减函数。

Ⅹ 判断函数的单调性的方法

判断函数单调性的方法
1.作差法（定义法）.根据增函数、减函数的定义,利用作差法证明函数的单调性.其步骤有：⑴取值,⑵作差,⑶变形,⑷判号,⑸定性.其中,变形一步是难点,常用技巧有：整式型---因式分解、配方法,还有六项公式法.分式型---通分合并,化为商式.二次根式型---分子有理化.
具体：先在区间上取两个值,一般都是X1、X2 ,设X1＞X2（或者X1＜X2）
然后把X1、X2代进去f(x)解析式做差 ,也就是算 f(X1)-f(X2)
关键一步就是化简,一般化成乘或除的形式 ,这样好判号
比如 你设的是X1＞X2这个条件 ,最后化简下来满足 f(X1)-f(X2)＞0的话,它在区间上就是增函数 ,反之则为减函数.
2.图像法.利用函数图像的连续上升或下降的特点判别函数的单调性.
3.导数法.利用导函数的符号判别函数的单调性.f'(x)>0为单调递增,f'(x)