⑴ 求通項公式的方法
求通項公式的幾種方法
數列的通項公式是研究數列的重要依據，下面介紹幾種求數列通項公式的方法．
一、觀察法
已知一個數列的前幾項，觀察其特點，寫出通項公式．
例1
觀察下列數的特點，寫出每個數列的一個通項公式．
（1）
；
（2）
．
解：（1）
；
（2）
．
二、由
的前
項和
與
間的關系，求通項
已知數列
的通項公式，可以求出
的前
項和
；反過來，
若已知
的前
項和
，如何求
呢？
，
當
時，
；當
時，
，
故
此處應注意
並非對所有的
都成立，而只對當
且為正整數時成
立，因此由
求
時必須分
和
兩種情況進行討論．
例2
設數列
的前
項和
，求數列
的通項公式．
解：當
時，
；
當
時，
．
此式對
也適用．
．
點評：利用數列的前
項和
求數列的通項公式
時，要注意
是否也滿足
得出的表達式，若不滿足，數列的通項公式就要用分段形式寫出．
三、利用公式求通項公式
已知一個數列是特殊的數列，只要求出首項和公差代入公式即可求出通項．
例3
等差數列的前
項和記為
，已知
，求通項
．
解：
，①
，
②
②－①，得
．代入①，得
．
．
四、利用遞推關系，求通項公式
根據題目中所給的遞推關系，可構造等差數列或採取疊加，疊乘的方法，消去中間項求通項公式．
例4根據下列條件，求數列的通項公式
．
（1）
數列
中，
；
（2）
數列
中，
；
（3）
數列
中，
．
解：（1）因為
，所以
．
又
，所以
成等差數列，公差為
．
所以
．
（2）因為
，所以
，
，
，
，
．
將上面
個式子疊加，得
，
所以
．
（3）由
，變形為
，
，
．
將上面的式子疊乘，得
．
．
五、兩式相減，消項求通項
例5
數列
滿足
，求
．
解：由題意
，
又
，
兩式相減，得
．
．
又
時，也適合上式，
．
總之，求數列通項公式的方法有很多，同學們要在實踐中注意總結，尋找解題規律．
⑵ 求通項公式的方法有哪些
有以下四種基本方法：
直接法：由已知數列的項直接寫出，或通過對已知數列的項進行代數運算寫出。
觀察分析法：根據數列構成的規律，觀察數列的各項與它所對應的項數之間的內在聯系，經過適當變形，進而寫出第n項a n 的表達式即通項公式。
待定系數法.
遞推歸納法：根據已知數列的初始條件及遞推公式，歸納出通項公式。
⑶ 求數列通項公式有哪些方法
求數列通項公式常用以下幾種方法：
一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列，直接用其通項公式。
例：在數列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數列的通項公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數列{an}為a1=1，d=2的等差數列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷，是較簡單的基礎小題。
二、已知數列的前n項和，用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例：已知數列{an}的前n項和Sn=n2-9n，第k項滿足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (B)
此類題在解時要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與Sn的關系時，通常用轉化的方法，先求出Sn與n的關系，再由上面的(二)方法求通項公式。
例：已知數列{an}的前n項和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數列{an}的通項公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-為首項，-1為公差的等差數列，∴-= -，Sn= -，
再用(二)的方法：當n2時，an=Sn-Sn-1=-，當n=1時不適合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累積的方法求通項公式
對於題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。
例：設數列{an}是首項為1的正項數列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數列{an}的通項公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首項為1的正項數列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個式子，將其相乘得：∴ -=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
⑷ 求數列an的通項公式有哪些方法
①等差數列和等比數列有通項公式。
②累加法：用於遞推公式為an+1=an+f（n），且f(n)可以求和。
③累乘法：用於遞推公式為an+1/an=f（n） 且f(n)可求積。
④構造法：將非等差數列、等比數列，轉換成相關的等差等比數列。
⑤錯位相減法：用於形如數列由等差×等比構成：如an=n·2^n。
按一定次序排列的一列數稱為數列，而將數列{an} 的第n項用一個具體式子（含有參數n）表示出來，稱作該數列的通項公式。這正如函數的解析式一樣，通過代入具體的n值便可求知相應an項的值。而數列通項公式的求法，通常是由其遞推公式經過若干變換得到。
(4)求通項公式常用方法擴展閱讀
等差數列的其他推論：
① 和=（首項+末項）×項數÷2；
②項數=（末項-首項）÷公差+1；
③首項=2x和÷項數-末項或末項-公差×（項數-1）；
④末項=2x和÷項數-首項；
⑤末項=首項+（項數-1）×公差；
⑥2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和。
⑸ 求數列通項公式的方法,越多越好謝謝
一、 直接法
如果已知數列為等差（或等比）數列，可直接根據等差（或等比）數列的通項公式，求得 ，d（或q），從而直接寫出通項公式。
例1. 等差數列 是遞減數列，且 =48， =12，則數列的通項公式是（ ）
(A) (B) (C) (D)
解析：設等差數列的公差位d，由已知 ，
解得 ，又 是遞減數列， ∴ ， ，
∴ ，故選(D)。
例2. 已知等比數列 的首項 ，公比 ，設數列 的通項為 ，求數列 的通項公式。
解析：由題意， ，又 是等比數列，公比為
∴ ，故數列 是等比數列， ，
∴
二、 歸納法
如果給出了數列的前幾項或能求出數列的前幾項，我們可以根據前幾項的規律，歸納猜想出數列的通項公式，然後再用數學歸納法證明之。
例3.（2002年北京春季高考）已知點的序列 ，其中 ， ， 是線段 的中點， 是線段 的中點，…， 是線段 的中點，…
（1） 寫出 與 之間的關系式（ ）。
（2） 設 ，計算 ，由此推測 的通項公式，並加以證明。
（3） 略
解析：（1）∵ 是線段 的中點， ∴
（2） ，
= ，
= ，
猜想 ，下面用數學歸納法證明
當n=1時， 顯然成立；
假設n=k時命題成立，即
則n=k+1時， =
=
∴ 當n=k+1時命題也成立，
∴ 命題對任意 都成立。
三、 累加（乘）法
對於形如 型或形如 型的數列，我們可以根據遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關系式，然後將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式。
例4. 若在數列 中， ， ，求通項 。
解析：由 得 ，所以
， ，…， ，
將以上各式相加得： ，又
所以 =
例5. 在數列 中， ， （ ），求通項 。
解析：由已知 ， ， ，…， ，又 ，
所以 = … = … =
四、 構造法
有些數列本身並不是等差或等比數列，但可以經過適當的變形，構造出一個新的數列為等差或等比數列，從而利用這個數列求其通項公式。
例6. 在數列 中， ， ， ，求 。
解析：在 兩邊減去 ，得
∴ 是以 為首項，以 為公比的等比數列，
∴ ，由累加法得
=
= … = =
=
例7. （2003年全國高考題）設 為常數，且 （ ），
證明：對任意n≥1，
證明：設，
用 代入可得
∴ 是公比為 ，首項為 的等比數列，
∴ （ ），
即：
五、 公式法
公式法即利用公式 求數列通項公式的一種方法。
例8. 在數列 中， +2 +3 +…+ = ，求 。
解析：令 = +2 +3 +…+ = ，
則 = +2 +3 +…+ = ，
則 － = = － ，
∴ = － =
例9. 設數列 的前n項和 = ，求 。
解析：由 = ，得 = ，
∴ = － = － +（ ）
∴ = + ，兩邊同乘以 ，得 = +2，
∴ 是首項為1公差為2的等差數列，
∴ =2+ = ， ∴ =
六、 代換法
例10. 已知數列 滿足 ， ，求 。
解析：設 ，∵ ，
∴ ， ，…，
總之，求數列的通項公式，就是將已知數列轉化成等差（或等比）數列，從而利用等差（或等比）數列的通項公式求其通項。
⑹ 求通項公式的所有方法
求通項公式的幾種方法
數列的通項公式是研究數列的重要依據，下面介紹幾種求數列通項公式的方法．
一、觀察法
已知一個數列的前幾項，觀察其特點，寫出通項公式．
例1 觀察下列數的特點，寫出每個數列的一個通項公式．
（1） ； （2） ．
解：（1） ； （2） ．
二、由 的前 項和 與 間的關系，求通項
已知數列 的通項公式，可以求出 的前 項和 ；反過來，
若已知 的前 項和 ，如何求 呢？
，
當 時， ；當 時， ，
故
此處應注意 並非對所有的 都成立，而只對當 且為正整數時成
立，因此由 求 時必須分 和 兩種情況進行討論．
例2 設數列 的前 項和 ，求數列 的通項公式．
解：當 時， ；
當 時， ．
此式對 也適用．
．
點評：利用數列的前 項和 求數列的通項公式 時，要注意 是否也滿足
得出的表達式，若不滿足，數列的通項公式就要用分段形式寫出．
三、利用公式求通項公式
已知一個數列是特殊的數列，只要求出首項和公差代入公式即可求出通項．
例3 等差數列的前 項和記為 ，已知 ，求通項 ．
解： ，①
， ②
②－①，得 ．代入①，得 ．
．
四、利用遞推關系，求通項公式
根據題目中所給的遞推關系，可構造等差數列或採取疊加，疊乘的方法，消去中間項求通項公式．
例4根據下列條件，求數列的通項公式 ．
（1） 數列 中， ；
（2） 數列 中， ；
（3） 數列 中， ．
解：（1）因為 ，所以 ．
又 ，所以 成等差數列，公差為 ．
所以 ．
（2）因為 ，所以 ， ， ， ，
．
將上面 個式子疊加，得 ，
所以 ．
（3）由 ，變形為 ，
， ．
將上面的式子疊乘，得 ．
．
五、兩式相減，消項求通項
例5 數列 滿足 ，求 ．
解：由題意 ，
又 ，
兩式相減，得 ．
．
又 時，也適合上式， ．
總之，求數列通項公式的方法有很多，同學們要在實踐中注意總結，尋找解題規律．
⑺ 高考中求數列的通項公式共有幾種方法。
高考中求數列的通項公式主要有以下七種方法，具體情況說明如下：
1.
公式法，當題意中知道，某數列的前n項和sn，則可以根據公式求得an=sn-s(n-1).
2.
待定系數法：若題目特徵符合遞推關系式a1＝A,an＋1＝Ban＋C(A,B,C均為常數，B≠1,C≠0)時，可用待定系數法構造等比數列求其通項公式。
3.
逐項相加法：若題目特徵符合遞推關系式a1＝A(A為常數)，an+1=an+f(n)時，可用逐差相加法求數列的通項公式。
4.
逐項連乘法：若題目特徵符合遞推關系式a1=A（A為常數）,an+1=f(n)•an時，可用逐比連乘法求數列的通項公式。
5.
倒數法：若題目特徵符合遞推關系式a1=A,Ban+Can+1+Dan·an+1=0，(A,B,C,D均為常數)時，可用倒數法求數列的通項公式。
6.
其他觀察法或歸納法等。
⑻ 求數列的通項公式有哪幾種方法
【累加法】
求數量1、1/2、1/4、1/7 ……的通項公式
解：先看數列1,2,4,7……
研究它的規律發現：
a1=1
a2=a1+1
a3=a2+2
---------
an=a(n-1)+(n-1)
上述式子相加得：
a1+a2+a3+----+a(n-1)+an=a1+a2+a3+----+a(n-1)+1+1+2+3+---+(n-1)
an=1+1+2+3+---+(n-1)
=1+n(n-1)/2
=(n²-n+2)/2
所以1、1/2、1/4、1/7 的通項公式是an=2/(n²-n+2).
數列{an},a1=1,an=3^(n-1)+an-1,n>=2,求an通項公式
解：an=3^(n-1)+a(n-1)
an-a(n-1)=3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
a(n-2)-a(n-3)=3^(n-3)
......
a2-a1=3
累加得：an-a1=3^(n-1)+3^(n-2)+...+3=(3^n -3)/2
an=3^n/2-1/2
【利用Sn與an的關系解題】
設sn為數列an的前n項和 且SN=2分之3的AN-1求AN的通項公式
解：Sn=3/2(an-1),所以S(n-1)=3/2(a(n-1)-1),
a[n]=S[n]-S[n-1]=3/2(a[n]-a[n-1])，得a[n]=3a[n-1]
∴a[n]是等比數列，公比是3，又a1=S1=3/2(a1-1)，解得a1=3
∴a[n]=3*3^(n-1)=3^n.
設數列{An}的前項和為Sn,A1=10.An+1=9Sn+10.求數列{An}的通項公式
解：An+1=9Sn+10
An=9S(n-1)+10
An=Sn-S(n-1)=(1/9)[A(n+1)-An]
A(n+1)/An=10
所以為等比數列 A1=10,q=10
An=10*10^(n-1)=10^n
設各項都為正數的數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=1/2(an+1/an) ，求an的通項公式
解法一：
Sn=1/2(an+1/an)
S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an)
Sn+S(n-1)=1/an
Sn-S(n-1)=an
上面兩式相乘得：
Sn^2-S(n-1)^2=1
S1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1
{Sn^2}是首項為S1^2=1,公差為1的等差數列
Sn^2=n
Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)
解法二：
兩邊同乘2an 2anSn=an²+1
2（Sn-Sn-1）Sn=（Sn-Sn-1）²+1
（Sn-Sn-1）【2Sn-（Sn-Sn-1）】=1
Sn²-Sn-1²=1
a1=Sn=1
Sn²=n
an=Sn-Sn-1=√n-√（n-1)
【構造等差數列】
數列a（1）=1,a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n 則{an}的通項公式是？
解：a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n
兩邊同乘以3^n得：
3^n a(n)= 3^(n-1) a(n-1)+1,
這說明數列{3^n a(n)}是等差數列，公差為1，
首項為3a1=3,
所以3^n a(n)=3+(n-1)*1
3^n a(n)=n+2
a(n)=(n+2)/ 3^n.
設數列｛a(n)}的前n項和Sn=2a(n)-2^n. 求數列a(n)的通項公式。
解：當n=1時，有a1=S1=2a1-2，解得：a1=2；
當n>1時，Sn=2an-2^n=2an-2*2^(n-1)，S(n-1)=2a(n-1)-2^(n-1)
所以an=Sn-S(n-1)=[2an-2*2^(n-1)]-[2a(n-1)-2^(n-1)]=2an-2a(n-1)-2^(n-1).
整理得：an-2a(n-1)=2^(n-1).
兩邊同時除以2^n，得：an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1/2.
因為a1/2^1=1，所以數列{an/2^n}是以1為首項，1/2為公差的等差數列.
所以an/2^n=a1/2^1+(n-1)*d=1+(n-1)/2=(n+1)/2，
所以an=(n+1)*2^(n-1).
因為a1=2=(1+1)*2^(1-1)，符合上式.
所以數列{an}的通項公式為an=(n+1)*2^(n-1).
數列{an}滿足a1=3 a(n+1)=3an+3^n+1求通項公式
解：a(n+1)=3an+3^(n+1),兩邊同除以3^(n+1)可得：
a(n+1)/ 3^(n+1)= 3an/ 3^(n+1)+1,
a(n+1)/ 3^(n+1)= an/ 3^n+1,
設an/ 3^n=bn,則b(n+1)=bn+1,
這說明數列{bn}是公差為1的等差數列，首項為b1=a1/3=1.
bn=b1+(n-1)•1=1+(n-1)•1=n.
即an/ 3^n=n,
∴an=n•3^n.
【待定系數法構造等比數列】
數列{An}a1=1 , 3an-a(n-1)=n 求An 的通項公式
解： 3an=a(n-1)+n,
an=1/3[a(n-1)+n]……①
設an+xn+y=1/3[a(n-1)+ x(n-1)+y ]……②,其中x，y是待定的常數。
①②兩式比較可知：x=-1/2，y=1/4,
所以an-1/2n+1/4=1/3[a(n-1)-1/2(n-1)+1/4 ],
這說明數列{ an-1/2n+1/4}是等比數列，公比為1/3,首項為a1-1/2+1/4=3/4.
根據等比數列的通項公式得：
an-1/2n+1/4=3/4•(1/3)^(n-1),
an=3/4•(1/3)^(n-1)+1/2n-1/4.
已知數列{an}的首項a1=3/5 , a(n+1)=3an/2an +1,n=1,2,3... 求{an}的通項公式
解：a(n+1)=3an/(2an +1),
取倒數得：
1/ a(n+1)= (2an +1) /(3an),
即1/ a(n+1)=2/3+1/(3an),
1/ a(n+1)-1=1/3(1/an-1),
所以數列{1/an-1}是公比為1/3的等比數列，首項為1/a1-1=2/3.
所以1/an-1=2/3•(1/3)^(n-1),
1/an=1+2/3^n,
an=1/(1+2/3^n)
an=3^n/(3^n+2).
【特徵根法】
A(n+2)=pA(n+1)+qAn， p,q為常數
（1）通常設： A(n+2)-mA(n+1)=k[A(n+1)-mAn],
則 m+k=p, mk=-q
（2）特徵根法：
特徵方程是y²=py+q（※）
注意：① m n為（※）兩根。
② m n可以交換位置，但其結果或出現兩種截然不同的數列形式，但同樣都可以計算An，而且還會有意想不到的驚喜，嘿嘿
③ m n交換位置後可以分別構造出兩組An和A(n+1)的遞推公式，這個時侯你會發現，這是一個關於An和A(n+1)的二元一次方程組，那麼不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出來了。
例：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An，
特徵方程為：y²= 5y-6
那麼，m=3,n=2,或者m=2，n=3
於是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An] (1)
A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An] (2)
所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)
A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)
消元消去A（n+1），就是An,
An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.
⑼ 求遞推數列通項公式的常用方法
形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不為0的分式遞推式都可用不動點法求。
當f(x)=x時，x的取值稱為不動點，不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。
典型例子：
a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
簡單地說就是在遞推中令an=x
代入
a(n+1)也等於x
然後構造數列.
（但要注意，不動點法不是萬能的，有的遞推式沒有不動點，但可以用其他的構造法求出通項；有的就不能求出）
令x=(ax+b)/(cx+d)
即
cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的兩個根為x1，x2，
若x1=x2
則有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中p可以用待定系數法求解，然後再利用等差數列通項公式求解。
若x1≠x2
則有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系數法求解，然後再利用等比數列通項公式求解。
【注】形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不為0的分式遞推式都可用不動點法求。
讓a(n+1)=an=x，
代入化為關於x的二次方程
(1)若兩根x1不等於x2，有{(an-x1)/(an-x2)}為等比數列，公比由兩項商求出
(2)若兩根x1等於x2，有{1/(an-x1)}為等差數列，公差由兩項差求出
若無解，就只有再找其他方法了。
並且不動點一般只用於分式型上下都是一次的情況，如果有二次可能就不行了。
例1：在數列{an}中，a(n+1)=(2an+8)/an，a1=2，求通項
【解】a(n+1)=(2an+8)/an，
a(n+1)=2+8/an令an=x,a(n+1)=x
x=2+8/x
x^2-2x-8=0
x1=-2,x2=4
{(an-4)/(an+2)}為等比數列
令(an-4)/(an+2)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)]
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2)
an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1
例2：a1=1,a2=1,a(n+2)=
5a（n+1）-6an，
【解】特徵方程為：y²=
5y-6
那麼，m=3,n=2,或者m=2，n=3
於是，a（n+2）-3a（n+1）=2[a（n+1）-3an]
(1)
a（n+2）-2a（n+1）=3[a（n+1）-2an]
(2)
所以，a（n+1）-3a（n）=
-
2
^
n
(3)
a（n+1）-2a（n）=
-
3
^
(n-1)
(4)
消元消去a（n+1），就是an,an=-
3
^
(n-1)
+2
^
n.
⑽ 求數列通項公式的幾種常見方法
一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列，直接用其通項公式。
例：在數列{an}中，若a1=1，an
1=an
2(n1)，求該數列的通項公式an。
解：由an
1=an
2(n1)及已知可推出數列{an}為a1=1，d=2的等差數列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷，是較簡單的基礎小題。
二、已知數列的前n項和，用公式
s1
(n=1)
sn-sn-1
(n2)
例：已知數列{an}的前n項和sn=n2-9n，第k項滿足5
(a)
9
(b)
8
(c)
7
(d)
6
解：∵an=sn-sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8
∴k=8
選
(b)
此類題在解時要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與sn的關系時，通常用轉化的方法，先求出sn與n的關系，再由上面的(二)方法求通項公式。
例：已知數列{an}的前n項和sn滿足an=snsn-1(n2)，且a1=-，求數列{an}的通項公式。
解：∵an=snsn-1(n2)，而an=sn-sn-1，snsn-1=sn-sn-1，兩邊同除以snsn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}
是以-為首項，-1為公差的等差數列，∴-=
-，sn=
-，
再用(二)的方法：當n2時，an=sn-sn-1=-，當n=1時不適合此式，所以，
-
(n=1)
-
(n2)
四、用累加、累積的方法求通項公式
對於題中給出an與an
1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。
例：設數列{an}是首項為1的正項數列，且滿足(n
1)an
12-nan2
an
1an=0，求數列{an}的通項公式
解：∵(n
1)an
12-nan2
an
1an=0，可分解為[(n
1)an
1-nan](an
1
an)=0
又∵{an}是首項為1的正項數列，∴an
1
an
≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個式子，將其相乘得：∴
-=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈n*)
五、用構造數列方法求通項公式
題目中若給出的是遞推關系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時，可以考慮通過變形，構造出含有
an(或sn)的式子，使其成為等比或等差數列，從而求出an(或sn)與n的關系，這是近一、二年來的高考熱點，因此既是重點也是難點。
例：已知數列{an}中，a1＝2，an
1=(--1)(an
2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通項公式
(2)略
解：由an
1=(--1)(an
2)得到an
1--＝
(--1)(an--)
∴{an--}是首項為a1--，公比為--1的等比數列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)
，於是an=(--1)n-1(2--)
-
又例：在數列{an}中，a1=2，an
1=4an-3n
1(n∈n*)，證明數列{an-n}是等比數列。
證明：本題即證an
1-(n
1)=q(an-n)
(q為非0常數)
由an
1=4an-3n
1，可變形為an
1-(n
1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以數列{an-n}是首項為1，公比為4的等比數列。
若將此問改為求an的通項公式，則仍可以通過求出{an-n}的通項公式，再轉化到an的通項公式上來。
又例：設數列{an}的首項a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項為1-a1，公比為--的等比數列，得an=1-(1-a1)(--)n-1