A. 數列求和的方法
裂項法
裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.
裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.
通項分解（裂項）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例]
求數列an=1/n(n+1)
的前n項和.
解：設
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂項）
則
Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）
＝
1-1/(n+1)
＝
n/(n+1)
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意：
餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
一、基本概念
1、
數列的定義及表示方法：按一定次序排列成的一列數叫數列
2、
數列的項an與項數n
3、
按照數列的項數來分,分為有窮數列與無窮數列
4、
按照項的增減規律分為：遞增數列,遞減數列,擺動數列和常數列
5、
數列的通項公式an
6、
數列的前n項和公式Sn
7、
等差數列、公差d、等差數列的結構：an=a1+(n-1)d
8、
等比數列、公比q、等比數列的結構：an=a1·q^(n-1)
二、基本公式：
9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=
Sn-Sn-1
10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d
an=ak+(n-k)d
(其中a1為首項、ak為已知的第k項)
當d≠0時，an是關於n的一次式；當d=0時，an是一個常數。
11、等差數列的前n項和公式：Sn=a1·n+1/2·n·(n+1)·d
當d≠0時，Sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關於n的正比例式。
12、等比數列的通項公式：
an=
a1·q^(n-1)
an=
ak·q^(n-k)
(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)
13、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n
a1
(是關於n的正比例式)；
當q≠1時，Sn=a1·(q^n-1)/(q-1)
三、有關等差、等比數列的結論
14、等差數列的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍為等差數列。
15、等差數列中，若m+n=p+q，則
am+an=ap+aq
16、等比數列中，若m+n=p+q，則
am·an=ap·aq
17、等比數列的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍為等比數列。
18、兩個等差數列與的和差的數列{an+bn}仍為等差數列。
19、兩個等比數列與的積、商、倒數組成的數列
{an·bn}、{an/bn}
、{1/(an·bn)}
仍為等比數列。
20、等差數列的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。
21、等比數列的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。
22、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；
四個數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三個數成等比的設法：a/q,a,aq；
四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3
四、數列求和的常用方法：
公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。(關鍵是找數列的通項結構)
24、分組法求數列的和：如an=2n+3n
25、錯位相減法求和：如an=n·2^n
26、裂項法求和：如an=1/n(n+1)
27、倒序相加法求和：如an=
n
28、求數列的最大、最小項的方法：
①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
②
(an>0)
如an=
③
an=f(n)
研究函數f(n)的增減性
如an=
an^2+bn+c(a≠0)
29、在等差數列
中,有關Sn
的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當
a1>0,d<0時，滿足的項數m使得Sm取最大值.
(2)當
a1<0,d>0時，滿足的項數m使得Sm取最小值.
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
參考資料：http://ke..com/view/1101236.htm
B. 求高中數學數列求和方法
倒序相加法（等差數列前n項和公式推導方法）
錯位相減法（等比數列前n項和公式推導方法）
分組求和法
拆項求和法
疊加求和法
數列求和關鍵是分析其通項公式的特點
9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=
10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d
an=ak+(n-k)d
(其中a1為首項、ak為已知的第k項)
當d≠0時，an是關於n的一次式；當d=0時，an是一個常數。
11、等差數列的前n項和公式：Sn=
Sn=
Sn=
當d≠0時，Sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關於n的正比例式。
12、等比數列的通項公式：
an=
a1
qn-1
an=
ak
qn-k
(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)
13、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n
a1
(是關於n的正比例式)；
當q≠1時，Sn=
Sn=
三、有關等差、等比數列的結論
14、等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍為等差數列。
15、等差數列{an}中，若m+n=p+q，則
16、等比數列{an}中，若m+n=p+q，則
17、等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍為等比數列。
18、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。
19、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列
{an
bn}、
、
仍為等比數列。
20、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。
21、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。
22、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三個數成等比的設法：a/q,a,aq；
四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3
(為什麼？)
24、{an}為等差數列，則
(c>0)是等比數列。
25、{bn}（bn>0）是等比數列，則{logcbn}
(c>0且c
1)
是等差數列。
26.
在等差數列
中：
（1）若項數為
，則
（2）若數為
則，
，
27.
在等比數列
中：
（1）
若項數為
，則
（2）若數為
則，
四、數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數列的通項結構。
28、分組法求數列的和：如an=2n+3n
29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂項法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求數列{an}的最大、最小項的方法：
①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
②
(an>0)
如an=
③
an=f(n)
研究函數f(n)的增減性
如an=
33、在等差數列
中,有關Sn
的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當
>0,d<0時，滿足
的項數m使得
取最大值.
(2)當
<0,d>0時，滿足
的項數m使得
取最小值。
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
C. 數列求和的方法有哪些
一般數列的求和方法
(1)直接求和法，如等差數列和等比數列均可直接求和．
(2)部分求和法將一個數列分成兩個可直接求和的數列，而後可求出數列的前n項的和．
(3)並項求和法將數列某些項先合並，合並後可形成直接求和的數列．
(4)裂項求和法將數列各項分裂成兩項，然後求和．
(5)錯位相減求和法．用Sn乘以q，若數列{an}為等差數列，{bn}為等比數列，則求數列{anbn}的前n項的和均可以採用此方法．
(6)擬等差，寫成一堆式子再相加。（疊加)
（7）累乘法
D. 數列求和有哪五種方法
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差數列求和公式：
2、 等比數列求和公式：
自然數方冪和公式：
3、 4、
5、
[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)
∴該數列是首項為1,公比為x2的等比數列而且有n+3項
當x2＝1 即x＝±1時 和為n+3
評註：
(1)利用等比數列求和公式．當公比是用字母表示時,應對其是否為1進行討論,如本題若為「等比」的形式而並未指明其為等比數列,還應對x是否為0進行討論．
(2)要弄清數列共有多少項,末項不一定是第n項．
對應高考考題：設數列1,（1+2）,…,（1+2+ ）,……的前頂和為 ,則 的值.
二、錯位相減法求和
錯位相減法求和在高考中佔有相當重要的位置,近幾年來的高考題其中的數列方面都出了這方面的內容.需要我們的學生認真掌握好這種方法.這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法,這種方法主要用於求數列{an�� bn}的前n項和,其中{ an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列.求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比 ；然後再將得到的新和式和原和式相減,轉化為同倍數的等比數列求和,這種方法就是錯位相減法.
[例] 求和：（ ）………………………①
由題可知,{ }的通項是等差數列{2n－1}的通項與等比數列{ }的通項之積
設 ……………………….② （設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
∴
注意、1 要考慮 當公比x為值1時為特殊情況
2 錯位相減時要注意末項
此類題的特點是所求數列是由一個等差數列與一個等比數列對應項相乘.
對應高考考題：設正項等比數列 的首項 ,前n項和為 ,且 .（Ⅰ）求 的通項； （Ⅱ）求 的前n項和 .
三、反序相加法求和
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法,就是將一個數列倒過來排列（反序）,再把它與原數列相加,就可以得到n個 .
[例] 求證：
證明：設 …………………………..①
把①式右邊倒轉過來得
（反序）
又由 可得
…………..……..②
①+②得 （反序相加）
∴
四、分組法求和
有一類數列,既不是等差數列,也不是等比數列,若將這類數列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數列,然後分別求和,再將其合並即可.
若數列 的通項公式為 ,其中 中一個是等差數列,另一個是等比數列,求和時一般用分組結合法.
[例]：求數列 的前n項和；
分析：數列的通項公式為 ,而數列 分別是等差數列、等比數列,求和時一般用分組結合法；
[解] ：因為 ,所以
（分組）
前一個括弧內是一個等比數列的和,後一個括弧內是一個等差數列的和,因此
五、裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解,然後重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[例] 求數列 的前n項和.
設 （裂項）
則 （裂項求和）
＝
＝
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後,其中中間的大部分項都互相抵消了.只剩下有限的幾項.
注意：餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的.
2餘下的項前後的正負性是相反的.
[練習] 在數列{an}中,,又 ,求數列{bn}的前n項的和.
E. 高中數列問題常用解題方法
數列的求和
求數列的前n項和Sn，重點應掌握以下幾種方法：
1.倒序相加法：如果一個數列{an}，與首末兩項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法.
2.錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列對應項乘積組成，此時求和可採用錯位相減法.
3.分組轉化法：把數列的每一項分成兩項，或把數列的項「集」在一塊重新組合，或把整個數列分成兩部分，使其轉化為等差或等比數列，這一求和方法稱為分組轉化法.
4.裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，於是前n項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消法.
5.公式法求和：所給數列的通項是關於n的多項式，此時求和可採用公式法求和，常用的公式有：
6.無窮遞縮等比數列求和公式：
考點練習
1.數列{an}的前n項和Sn=n2+1，則an= _____________.
2.已知{an}的前n項和Sn=n2-4n+1，則|a1|+|a2|+…|a10|=( )
(A)67 (B)65
(C)61 (D)56
3.一個項數是偶數的等比數列，它的偶數項的和是奇數項和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數列的項數為( )
(A) 12 (B) 10
(C) 8 (D) 6
4.計算機是將信息轉換成二進制進行處理的，二進制即「逢2進1」，如(1101)2表示二進制數，將它轉換成十進制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那麼將二進制數(111…11)2位轉換成十進制形式是( )
(A) 217-2 (B) 216-2 (C) 216-1 (D)215-1
5.數列 的前n項之和為Sn，則Sn的值得等於( )
(A) (B)
(C) (D)
6、設 利用課本中等差數列前n項和公式的推導方法，求
f(–5)+f(–4)……+f(0)+……+f(5)+f(6)的值為__________．
典型題選講
1.求下列各數列前n項的和Sn：
(1) 1×4，2×5，3×6，…n(n+3);
(2)
(3)
【解題回顧】對類似數列(3)的求和問題，我們可以推廣到一般情況：設{an}是公差為d的等差數列，則有
特別地，以下等式都是①式的具體應用：
上述方法也稱為「升次裂項法」.
2.求數列a，2a2，3a3，…，nan，…(a為常數)的前n項的和.
【解題回顧】若一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積組成，則求此數列的前n項和多採用錯位相減法．
3.已知數列{an}中的a1=1/2，前n項和為Sn．若Sn=n2an，求Sn與an的表達式.
【解題回顧】
當本題解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n，下面要想到迭代法求Sn，(即選乘)，同樣如得出Sn+1-Sn=f(n)，可用迭差.
4．若數列{an}中，an=-2[n-(-1) n]，
求S10和S99 .
【解題回顧】若構成數列的項中含有(-1)n，則在求和Sn時，一般要考慮n是奇數還是偶數.
5．等比數列的首項為a，公比為q，Sn為前n項的和，求S1+S2+……+Sn．
6.在數列{an}中，an＞0， 2√Sn = an +1(n∈N)
①求Sn和an的表達式；
②求證：
【解題回顧】利用 ，再用裂項法求和.利用
此法求和時，要細心觀察相消的規律，保留哪些項等.必要時可適當地多寫一些項，防止漏項或增項.
誤解分析
1.求數列通項時，漏掉n=1時的驗證是致命錯誤.
2．求數列前n項和時，一定要數清項數，選好方法，否則易錯．
F. 高中數列求和有哪些方法
1、倒序相加法
倒序相加法如果一個數列{an}滿足與首末兩項等「距離」的兩項的和相等(或等於同一常數)，那麼求這個數列的前n項和，可用倒序相加法。
2、分組求和法
分組求和法一個數列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數列的通項公式組成，求和時可用分組求和法，分別求和而後相加。
3、錯位相減法
錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那麼這個數列的前n項和可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的。
4、裂項相消法
裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和。
5、乘公比錯項相減（等差×等比）
這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列{an×bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列。
解析：數列{cn}是由數列{an}與{bn}對應項的積構成的，此類型的才適應錯位相減，（課本中的的等比數列前n項和公式就是用這種方法推導出來的），但要注意應按以上三種情況進行分類討論，最後再綜合成三種情況
6、公式法
對等差數列、等比數列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應用范圍，確定公式適用於這個數列之後，再計算。
7、迭加法
主要應用於數列{an}滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數列或等比數列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經過整理，可求出an，從而求出Sn。
G. 誰幫我總結下高中數學中常用的數列求和裂
大約共有五種方法：
一。公式法
當你確定一個數列是等差或等比數列時，直接用等差或等比數列的前n項和公式去求
二。分組求和
當一個數列是由等差或等比數列相加而得時，用分組轉化法分別求和再相加
三。錯位相減
當一個數列是由一個等差和一個等比相乘而得時，用錯位相減法
四。裂項相消法
當一個數列是分式的形式時，一般用裂項相消
五。並項求和法
當一個數列的項是正負相間時，可以兩項並一項
H. 高中數列求和的幾種方法
1.
公式法：
等差數列求和公式:
sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數列求和公式：
sn=na1(q=1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
2.錯位相減法
適用題型：適用於通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式
{
an
}、{
bn
}分別是等差數列和等比數列.
sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：
an=a1+(n-1)d
bn=a1·q^(n-1)
cn=anbn
tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qtn=
a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
tn-qtn=
a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an)
sn
=a1+
a2+
a3+......
+an
sn
=an+
a(n-1)+a(n-3)......
+a1
上下相加
得到2sn
即
sn=
（a1+an)n/2
4.分組法
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合並即可.
例如：an=2^n+n-1
5.裂項法
適用於分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然後累加時抵消中間的許多項。
常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例]
求數列an=1/n(n+1)
的前n項和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂項）
則sn
=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）＝
1-1/(n+1)＝
n/(n+1)
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意：
餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
6.數學歸納法
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值時命題成立；
（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
例：求證：1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
n(n+1)(n+2)(n+3)
=
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
證明：
當n=1時，有：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
=
2×3×4×5×(1/5
+1)
=
2×3×4×5×6/5
假設命題在n=k時成立，於是：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
則當n=k+1時有：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
1×2×3×4
+
2×3×4*5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5
+1)
=
[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證
7.通項化歸
先將通項公式進行化簡，再進行求和。
如：求數列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。
8.並項求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
（並項）
求出奇數項和偶數項的和，再相減。