數列的求和常用方法

Ⅰ 求數列求和的方法，越多越好！

公式法
、
錯位相減法
、
倒序相加法
、分組法、
裂項法
、
數學歸納法
、通項化歸、並項求和。。
1、公式法：
等差數列求和公式
:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數列求和公式
：
Sn=na1(q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
其他
1+2+3+.......+n=n（n+1）/2
1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2
2、錯位相減法
適用題型：適用於
通項公式
為等差的
一次函數
乘以等比的數列形式
和等差等比數列相乘
{
an
}、{
bn
}分別是等差數列和等比數列.
Sn=
a1b1
+a2b2+a3b3+...+anbn
3、倒序相加法
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an)
Sn
=a1+
a2+
a3+......
+an
Sn
=an+
a(n-1)+a(n-2)......
+a1
上下相加
得到2Sn
即
Sn=
（a1+an)n/2
4、裂項法
適用於分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然後累加時抵消中間的許多項。
常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
，1/（n-1）-1/n>1/n2>1/n-1/n+1（n≥2）
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n）
5、數學歸納法
一般地，證明一個與
正整數
n有關的命題，有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值時命題成立；
（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為
自然數
）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

Ⅱ 數列求和常用方法

常見的有這七種求和方法。

Ⅲ 數列求和的方法有哪幾種

數列求和
一般方法：等差等比數列求和公式
常用技巧有倒序相加，錯位相減，裂項相消和分組求和（奇偶項法是分組求和的變通）

Ⅳ 常用的數列求和公式

前n項和公式為：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

在等差數列中，若Sn為該數列的前n項和，S2n為該數列的前2n項和，S3n為該數列的前3n項和，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也為等差數列。

(4)數列的求和常用方法擴展閱讀：

高考對數列求和問題的考查主要有兩種形式：一種是直接利用等差、等比數列的前n項和公式考查等差、等比數列的前n項和的問題；另一種是利用錯位相減法、倒序相加法、裂項法、分組求和法考查非等差、等比數列的求和問題。

如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……（2n-1)。

Ⅳ 數列求和的方法

裂項法
裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.
裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.
通項分解（裂項）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例]
求數列an=1/n(n+1)
的前n項和.
解：設
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂項）
則
Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）
＝
1-1/(n+1)
＝
n/(n+1)
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意：
餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
一、基本概念
1、
數列的定義及表示方法：按一定次序排列成的一列數叫數列
2、
數列的項an與項數n
3、
按照數列的項數來分,分為有窮數列與無窮數列
4、
按照項的增減規律分為：遞增數列,遞減數列,擺動數列和常數列
5、
數列的通項公式an
6、
數列的前n項和公式Sn
7、
等差數列、公差d、等差數列的結構：an=a1+(n-1)d
8、
等比數列、公比q、等比數列的結構：an=a1·q^(n-1)
二、基本公式：
9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=
Sn-Sn-1
10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d
an=ak+(n-k)d
(其中a1為首項、ak為已知的第k項)
當d≠0時，an是關於n的一次式；當d=0時，an是一個常數。
11、等差數列的前n項和公式：Sn=a1·n+1/2·n·(n+1)·d
當d≠0時，Sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關於n的正比例式。
12、等比數列的通項公式：
an=
a1·q^(n-1)
an=
ak·q^(n-k)
(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)
13、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n
a1
(是關於n的正比例式)；
當q≠1時，Sn=a1·(q^n-1)/(q-1)
三、有關等差、等比數列的結論
14、等差數列的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍為等差數列。
15、等差數列中，若m+n=p+q，則
am+an=ap+aq
16、等比數列中，若m+n=p+q，則
am·an=ap·aq
17、等比數列的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍為等比數列。
18、兩個等差數列與的和差的數列{an+bn}仍為等差數列。
19、兩個等比數列與的積、商、倒數組成的數列
{an·bn}、{an/bn}
、{1/(an·bn)}
仍為等比數列。
20、等差數列的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。
21、等比數列的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。
22、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；
四個數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三個數成等比的設法：a/q,a,aq；
四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3
四、數列求和的常用方法：
公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。(關鍵是找數列的通項結構)
24、分組法求數列的和：如an=2n+3n
25、錯位相減法求和：如an=n·2^n
26、裂項法求和：如an=1/n(n+1)
27、倒序相加法求和：如an=
n
28、求數列的最大、最小項的方法：
①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
②
(an>0)
如an=
③
an=f(n)
研究函數f(n)的增減性
如an=
an^2+bn+c(a≠0)
29、在等差數列
中,有關Sn
的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當
a1>0,d<0時，滿足的項數m使得Sm取最大值.
(2)當
a1<0,d>0時，滿足的項數m使得Sm取最小值.
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
參考資料：http://ke..com/view/1101236.htm

Ⅵ 數列求和有哪五種方法

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差數列求和公式：
2、 等比數列求和公式：
自然數方冪和公式：
3、 4、
5、
[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)
∴該數列是首項為1,公比為x2的等比數列而且有n+3項
當x2＝1 即x＝±1時 和為n+3
評註：
(1)利用等比數列求和公式．當公比是用字母表示時,應對其是否為1進行討論,如本題若為「等比」的形式而並未指明其為等比數列,還應對x是否為0進行討論．
(2)要弄清數列共有多少項,末項不一定是第n項．
對應高考考題：設數列1,（1+2）,…,（1+2+ ）,……的前頂和為 ,則 的值.
二、錯位相減法求和
錯位相減法求和在高考中佔有相當重要的位置,近幾年來的高考題其中的數列方面都出了這方面的內容.需要我們的學生認真掌握好這種方法.這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法,這種方法主要用於求數列{an�� bn}的前n項和,其中{ an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列.求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比 ；然後再將得到的新和式和原和式相減,轉化為同倍數的等比數列求和,這種方法就是錯位相減法.
[例] 求和：（ ）………………………①
由題可知,{ }的通項是等差數列{2n－1}的通項與等比數列{ }的通項之積
設 ……………………….② （設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
∴
注意、1 要考慮 當公比x為值1時為特殊情況
2 錯位相減時要注意末項
此類題的特點是所求數列是由一個等差數列與一個等比數列對應項相乘.
對應高考考題：設正項等比數列 的首項 ,前n項和為 ,且 .（Ⅰ）求 的通項； （Ⅱ）求 的前n項和 .
三、反序相加法求和
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法,就是將一個數列倒過來排列（反序）,再把它與原數列相加,就可以得到n個 .
[例] 求證：
證明：設 …………………………..①
把①式右邊倒轉過來得
（反序）
又由 可得
…………..……..②
①+②得 （反序相加）
∴
四、分組法求和
有一類數列,既不是等差數列,也不是等比數列,若將這類數列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數列,然後分別求和,再將其合並即可.
若數列 的通項公式為 ,其中 中一個是等差數列,另一個是等比數列,求和時一般用分組結合法.
[例]：求數列 的前n項和；
分析：數列的通項公式為 ,而數列 分別是等差數列、等比數列,求和時一般用分組結合法；
[解] ：因為 ,所以
（分組）
前一個括弧內是一個等比數列的和,後一個括弧內是一個等差數列的和,因此
五、裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解,然後重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[例] 求數列 的前n項和.
設 （裂項）
則 （裂項求和）
＝
＝
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後,其中中間的大部分項都互相抵消了.只剩下有限的幾項.
注意：餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的.
2餘下的項前後的正負性是相反的.
[練習] 在數列{an}中,,又 ,求數列{bn}的前n項的和.

Ⅶ 數列的求和方法

1. 公式法：等差數列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數列求和公式：
Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
其他
1+2^2+3^2+4^2+........+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2^3+3^3+4^3+........+n^3=[n(n+1)/2]^2
2.錯位相減法
適用題型：適用於通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式 和等差等比數列相乘 { an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：
an=a1+(n-1)d
bn=b1·q^(n-1)
Cn=anbn
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______①
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
=a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
Tn=上述式子/(1-q)
此外.①式可變形為
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn為{bn}的前n項和.
此形式更理解也好記
3.倒序相加法
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
Sn =an+ a(n-1)+a(n-2)...... +a1
上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2
4.分組法
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合並即可.
例如：an=2^n+n-1
5.裂項法
適用於分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然後累加時抵消中間的許多項。
常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ，1/（n-1）-1/n<1/n2<1/n-1/n+1（n≥2）
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n）
[例] 求數列an=1/n(n+1) 的前n項和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂項）
則
Sn
=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意： 餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
6.數學歸納法
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值時命題成立；
（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
例：
求證：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
證明：
當n=1時，有：
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假設命題在n=k時成立，於是：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
則當n=k+1時有：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證
7.通項化歸
先將通項公式進行化簡，再進行求和。
如：求數列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。
8.並項求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
方法一：（並項）
求出奇數項和偶數項的和，再相減。
方法二：
（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

Ⅷ 數列求和方法總結

1.公式法：必須記住幾個常見數列前n項和公式——

等差數列：

Sn＝n(a1+an)/2＝na1+n(n-1)d/2

等比數列：

Sn＝na1……q＝1；

Sn＝a1(1-qⁿ)/(1-q)...q≠1；

2.分組求和：如求

裂項

4.錯位相減法：其特點是cn＝anbn，其中an代表等差，bn代表等比，如求和Sn＝1+3x+5x²+7x³+……+(2n-1)x的n-1次方，注意討論x是否為1.

總之，對於數列的求和，要先搞清楚數列的特點與規律，能轉化為等比數列、等差數列最好，即便不是等差數列、等比數列，只要把規律找到，求和也不成問題.

Ⅸ 數列求和的常用方法有哪些

數列求和是高中數學中很有魅力的一部分，其方法技巧多種多樣，有基本的公式法。有裂項相消法，分組相加法，倒數相加法等技巧性很強的方法．往往很復雜的一個數列求和問題通過有效的分解就能成為一個簡單明了的基本數列問題．
朋友,請及時採納正確答案,下次還可能幫到您哦,您採納正確答案,您也可以得到財富值,謝謝。