導數常用方法

1. 導數的表示方法有哪些

如果函數y=f（x）在開區間內每一點都可導，就稱函數f（x）在區間內可導。這時函數y=f（x）對於區間內的每一個確定的x值，都對應著一個確定的導數值，這就構成一個新的函數，稱這個函數為原來函數y=f（x）的導函數，記作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，簡稱導數。

函數y=f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義：表示函數曲線在點P0（x0,f（x0））處的切線的斜率（導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率）。

(1)導數常用方法擴展閱讀：

導數為零的點不一定是極值點。當函數為常值函數，沒有增減性，即沒有極值點。但導數為零。（導數為零的點稱之為駐點，如果駐點兩側的導數的符號相反，則該點為極值點，否則為一般的駐點。

可導函數的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函數的導函數在某個區間上單調遞增，那麼這個區間上函數是向下凹的，反之則是向上凸的。如果二階導函數存在，也可以用它的正負性判斷，如果在某個區間上恆大於零，則這個區間上函數是向下凹的，反之這個區間上函數是向上凸的。

2. 各種函數的導數怎麼求

利用導數可以解決某些不定式極限（就是指0/0、無窮大/無窮大等等類型的式子），這種方法叫作「洛比達法則」。

然後，我們可以利用導數，把一個函數近似的轉化成另一個多項式函數，即把函數轉化成a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……+an(x-a)^n，這種多項式叫作「泰勒多項式」，可以用於近似計算、誤差估計，也可以用於求函數的極限。

另外，利用函數的導數、二階導數，可以求得函數的形態，例如函數的單調性、凸性、極值、拐點等。

(2)導數常用方法擴展閱讀

常用導數公式：

1、y=c(c為常數) y'=0

2、y=x^n y'=nx^(n-1)

3、y=a^x y'=a^xlna，y=e^x y'=e^x

4、y=logax y'=logae/x，y=lnx y'=1/x

5、y=sinx y'=cosx

6、y=cosx y'=-sinx

7、y=tanx y'=1/cos^2x

8、y=cotx y'=-1/sin^2x

9、y=arcsinx y'=1/√1-x^2

10、y=arccosx y'=-1/√1-x^2

3. 導數的基本公式及學習方法

基本函數的導數：
所謂基本函數，也就是通常所說的初等函數，例如常數函數y=c，一次函數y=kx+b，二次函數y=ax^2+bx+c,冪函數y=x^a,指數函數y=a^x,對數函數y=loga x，自然對數函數y=lnx，三角函數，反三角函數等，這些函數的導數是需要記住的。具體公式如下：
2
y=c y'=0 y=x^n y'=nx^(n-1) y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x
y=sinx y'=cosx y=cosx y'=-sinx y=tanx y'=1/cos^2x
y=cotx y'=-1/sin^2x y=arcsinx y'=1/√1-x^2 y=arccosx y'=-1/√1-x^2
y=arctanx y'=1/1+x^2 y=arccotx y'=-1/1+x^2
END
方法/步驟2：導數的運演算法則：
1
導數的運演算法則，就是指導數的加、減、乘、除的四則運演算法則，這也是需要掌握的重要內容，公式如下：
①（u±v)=u'v±vu' ②uv=u'v+uv' ③u/v=(u'v-uv')/v^2
這里邊的u.v一般是代表的兩個不同的函數，不會同時為常數。這三個運演算法則中，特別要記住的是兩個函數商的導數求法，分子中出現的是減號，這個地方容易出錯。對於上面提到的二次函數，符合函數和差的運演算法則，所以y'=(ax^2)'+(bx)'+c'=2ax+b+0=2ax+b.
END
方法/步驟3：初等函數四則運算的求導
1
初等函數的四則運算，就是上述提到基本函數，其求導，通常要用到上述求導的運演算法則，它可以單獨使用其中的一個運演算法則，也可以是多個運演算法則同時使用，下面舉幾個例子。
2
（1）y=sinx+5x-cosx,這個是函數的和差運算，求導法則僅使用①，所以：
y'=(sinx)'+(5x)'-(cosx)'=cosx+5-(-sinx)=cosx+sinx+5.
3
(2)y=(5sinx)*(3cosx),這個是函數的乘積運算，求導法則僅使用②，所以：
y'=(5sinx)'(3cosx)+(5sinx)(3cosx)'
=(5cosx)(3cosx)+(5sinx)(-3sinx)
=15(cos^2x-sin^2x)
=15cos2x.
4
(3)y=sinx/cosx,這個是函數的商的運算，求導法則僅使用③，所以：
y'=[（sinx)'cosx-(sinx)(cosx)']/(cosx)^2
=[cosxcosx-(sinx)(-sinx)]/(cosx)^2
=1/(cosx)^2
=sec^2x,實際上y=sinx/cosx=tanx，其導數是通過這個法則求出來的。
5
（4）y=（sinx-5x+x^2cosx)/x,這個函數的求導，上述三個運演算法則都要使用到，所以：
y'=[(sinx-5x+x^2cosx)'x-(sinx-5x+x^2cosx)x']/x^2
={[(sinx)'-(5x)'+(x^2cosx)']x-(sinx-5x+x^2cosx)}/x^2
={[cosx-5+(x^2)'cosx+(x^2)(cosx)']x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2
={[cosx-5+2xcosx-x^2sinx]x-sinx+5x-x^2cosx}/x^2
=(xcosx-5x+2x^2cosx-x^3sinx-sinx+5x-x^2cosx)/x^2
=(xcosx+x^2cosx-x^3sinx-sinx)/x^2.
END
方法/步驟4：• 復合函數的求導法則
1
復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u)，u=g(x)即y=f（g（x））的導數間的關系為
y' =f'（g（x））*g'（x）即y對x的導數等於y對u的導數與u對x的導數的乘積.舉例如下：
2
（1）y=(2x+1)^5,
y'=5(2x+1)^4*(2x+1)'=5(2x+1)^4*2=10(2x+1)^4.
3
(2) y=sin(x^2+2x).
y'=cos(x^2+2x)*(x^2+2x)'=cos(x^2+2x)*(2x+2)=2(x+1)cos(x^2+2x).
4
(3)y=(3x)^x,因為它既不是指數函數，也不是冪函數，所以求導之前要變型，得到：
lny=xln3x,兩邊求導得到：
y'/y=ln3x+x(ln3x)'
y'/y=ln3x+x*3/3x=ln3x+1
所以y'=(3x)^x(1+ln3x).
END
方法/步驟5：積分函數的求導
對有積分上下限函數的求導有以下公式:
[∫(a,c)f(x)dx]'=0，a，c為常數。解釋：對於積分上下限為常數的積分函數，其導數=0.
[∫(g(x),c)f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x),a為常數，g(x)為積分上限函數，解釋：積分上限為函數的求導公式=被積函數以積分上限為自變數的函數值乘以積分上限的導數。
[∫(g(x),p(x))f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)-f(p(x))*p'(x),a為常數，g(x)為積分上限函數，p(x)為積分下限函數。解釋：積分上下限為函數的求導公式=被積函數以積分上限為自變數的函數值乘以積分上限的導數-被積函數以積分下限為自變數的函數值乘以積分下限的導數。
(1)[∫(x^2,1)(2x+5)dx]'
=(2x^2+5)*(x^2)'
=(2x^2+5)*2x
=4x^3+10x
(2)[∫(2x^2-1.x)sinxdx]'
=sin(2x^2-1)*(2x^2-1)'-sinx*(x)'
=4xsin(2x^2-1)-sinx.

4. 導數常見的運用請舉例!

應用
1．函數的單調性
(1)利用導數的符號判斷函數的增減性 利用導數的符號判斷函數的增減性,這是導數幾何意義在研究曲線變化規律時的一個應用,它充分體現了數形結合的思想． 一般地,在某個區間(a,b)內,如果f'(x)>0,那麼函數y=f(x)在這個區間內單調遞增；如果f'(x)0是f(x)在此區間上為增函數的充分條件,而不是必要條件,如f(x)=x3在R內是增函數,但x=0時f'(x)=0.也就是說,如果已知f(x)為增函數,解題時就必須寫f'(x)≥0. (2)求函數單調區間的步驟（1.定義最基礎求法2.復合函數單調性) ①確定f(x)的定義域 ②求導數 ③由（或）解出相應的x的范圍．當f'(x)>0時,f(x)在相應區間上是增函數；當f'(x)0且a不等於1,x>0) ；熟記y=lnx,y'=1/x 5．正弦函數y=(sinx ）y'=cosx 6．餘弦函數y=（cosx） y'=-sinx 7．正切函數y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．餘切函數y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反正弦函數y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反餘弦函數y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反正切函數y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反餘切函數y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 為了便於記憶,有人整理出了以下口訣： 常為零,冪降次,對倒數（e為底時直接倒數,a為底時乘以lna）,指不變（特別的,自然對數的指數函數完全不變,一般的指數函數須乘以lna）；正變余,余變正,切割方（切函數是相應割函數（切函數的倒數）的平方）,割乘切,反分式 在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整個變數,而g'(x)中把x看作變數』 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3． 原函數與反函數導數關系（由三角函數導數推反三角函數的）：y=f(x)的反函數是x=g(y）,則有y'=1/x' 證：1.顯而易見,y=c是一條平行於x軸的直線,所以處處的切線都是平行於x的,故斜率為0.用導數的定義做也是一樣的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0. 2．這個的推導暫且不證,因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況,只能證其為整數Q.主要應用導數定義與N次方差公式.在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果後能用復合函數的求導給予證明. 3．y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0,是不能導出導函數的,必須設一個輔助的函數β=a^Δx-1通過換元進行計算.由設的輔助函數可以知道：Δx=loga(1+β). 所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 顯然,當Δx→0時,β也是趨向於0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna. 把這個結果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx後得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna. 可以知道,當a=e時有y=e^x y'=e^x. 4．y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因為當Δx→0時,Δx/x趨向於0而x/Δx趨向於∞,所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 limΔx→0Δy/Δx=logae/x. 也可以進一步用換底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道,當a=e時有y=lnx y'=1/x. 這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了.因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1). 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6．類似地,可以導出y=cosx y'=-sinx. 7．y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8．y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9．y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10．y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11．y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12．y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在對雙曲函數shx,chx,thx等以及反雙曲函數arshx,archx,arthx等和其他較復雜的復合函數求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與 4．y=u土v,y'=u'土v' 5．y=uv,y=u'v+uv' 均能較快捷地求得結果. 對於y=x^n y'=nx^(n-1) ,y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求導方法. y=x^n 由指數函數定義可知,y>0 等式兩邊取自然對數 ln y=n*ln x 等式兩邊對x求導,注意y是y對x的復合函數 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 冪函數同理可證 導數說白了它其實就是曲線一點斜率,函數值的變化率 上面說的分母趨於零,這是當然的了,但不要忘了分子也是可能趨於零的,所以兩者的比就有可能是某一個數,如果分子趨於某一個數,而不是零的話,那麼比值會很大,可以認為是無窮大,也就是我們所說的導數不存在. x/x,若這里讓X趨於零的話,分母是趨於零了,但它們的比值是1,所以極限為1. 建議先去搞懂什麼是極限.極限是一個可望不可及的概念,可以很接近它,但永遠到不了那個岸. 並且要認識到導數是一個比值.

5. 導數的四種表示方法

主要有以下幾種方式：
1.y'=f'(x)
2.dy=f'(x)dx
3.dy+f'(x)dx=0，
4定義法

6. 導數的學習方法

http://..com/question/88132161.html 這是ppt）導數知識的整體把握和高考要求 中學數學引入導數的內容使教學內 容增添了更多的變數數學，拓展了學習和研究的領域。增加這部分內容，可以加強對考生的辯證思維的教育，使考生能以導數為工具研究函數的變化率，為解決函數 極值問題提供更有效的途徑、更簡便的手段，加強對函數及其性質的深刻理解和直觀認識；同時，使學生掌握一種科學的語言和工具，學習一種理性的思維模式。有關導數的內容在2000年開始的新課程試卷命題時，其考試要求都是很基本的，以後逐漸加深。 考查的基本原則是重點考查導數的概念和計算，在導數的考查過程中力求結合應用問題的考查，不過多地涉及理論探討和嚴格的邏輯證明。文科試卷中題目涉及的知 識比較基本，多項式函數的導數，題目的總體難度也不大。這部分的要求一般有三個層次，第一層次是主要考查導數的概念、求導的公式和求導的法則；第二層次是 導數的簡單應用，包括求函數的極值，求函數的單調區間，證明函數的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統內容中有關不等式和 函數的單調性等有機地結合在一起，設計綜合試題。通過將新課程內容和傳統內容相結合，可以加強能力考查的力度，加強試題的綜合性，同時可以使試題具有比較 廣泛的實際意義。它體現了導數作為工具分析和解決一些函數性質問題的方法，這類問題用傳統教材的方法是無法解決的。同時，新課程增加的新內容的考查形式和 要求已經發生變化，導數已經由前兩年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的必不可少的工具。這種試題編排的調整和試題創新設計不僅優化試卷 結構，同時體現了新課程試卷的要求和特點。 積分：中學數學引入積分的內容，拓展了學習和研究的領域。增加這部分內容，可以加強對考生的辯證思維的教育（求導和積分的互逆性），使考生能以積分為工具研究、解決變力做功和復雜圖形的面積求解等問題。對於積分知識，要求較低，一是公式運算，再就是轉化：利用數形結合的思想轉化為面積求解。通過以 上內容可以看出，導數和積分是高考必考內容，而用導數研究函數的單調性和求極值、最值，是重點考察內容。可以說利用函數的導數來研究函數的性質是新教材注 入中學數學的一個亮點。文、理科數學試卷中分別有一個解答題，考查導數的概念和計算及應用導數研究函數單調性、極值的基本方法，考查考生綜合運用數學知識 解決問題的能力。 （2）對本部分知識學習的幾點看法：一、本章重點培養如下思想和能力：（一）變換與轉化思想：在研究和解決一些數學問題時常採用某種手段進行命題變換，以達解決問題的目的。常見有以下三個方面 ①把復雜問題通過變換轉化為較簡單的問題。②把較難問題通過變換轉化為較易的問題。③把沒解決問題通過變換轉化為已解決的問題。（二）數形結合思想：數形結合思想是應用客觀事物中數與形的對應關系，把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來：①尋求解題的切入點 ②簡化解題過程 ③ 轉換命題 ④驗證結論的正確與完整。數形結合的思想就是利用圖形進行思維簡縮，對選擇、填空題的求解住住能大大簡化思維過程，爭取解題時間。（三）解決實際問題的能力解決實際問題的能力是人們認識世界，改造世界的能力。較之前三種能力，它是更高層次和內涵更為寬泛的能力。 二、注重良好習慣的培養。 （1）速度。考試的時間緊，是爭分奪秒，復習一定要有速度意識，加強速度訓練，用時多即使對了也是「潛在丟分」，要避免「小題大做」。 （2）計算。數學高考歷來重視運算能力，雖近年試題計算量略有降低，但並未削弱對計算能力的要求。運算要熟練、准確，運算要簡捷、迅速，運算要與推理相結合，要合理。三、堅持「面向中等生，重視中低檔題」的基本方針。 重視基礎，立足雙基，著眼於能力的提高。隨著高校招生並軌政策的實施，分數線下降，「踩線生」的界定也隨之變化，在一般學校中，中等程度的學生都應該劃歸此列，中等生的提高意味著上線率的提高，對此應引起充分注意。同 時要注意突出學生的整體優勢，對總分高、而數學較差的學生應採取相應措施。

7. 求導數的方法

1、公式法 例如∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C ∫dx/x=lnx+C ∫cosxdx=sinx 等不定積分公式都應牢記，對於基本函數可直接求出原函數。 2、換元法 對於∫f[g(x)]dx可令t=g(x),得到x=w(t),計算∫f[g(x)]dx等價於計算∫f(t)w'(t)dt。 例如計算∫e^(-2x)dx時令t=-2x,則x=-1/2t,dx=-1/2dt,代入後得：-1/2∫e^tdt=-1/2e^t=-1/2e^(-2x)。對其求導驗算一下可知是正確的。 3、分步法 對於∫u'(x)v(x)dx的計算有公式： ∫u'vdx=uv-∫uv'dx(u,v為u(x),v(x)的簡寫) 例如計算∫xlnxdx，易知x=(x^2/2)'則： ∫xlnxdx=x^2lnx/2-1/2∫xdx =x^2lnx/2-x^2/4=1/4(2x^2lnx-x^2) 通過對1/4(2x^2lnx-x^2)求導即可得到xlnx。 4、綜合法 綜合法要求對換元與分步靈活運用，如計算∫e^(-x)xdx，這個就留著自己作為練習吧。 關於對基本函數求原函數可通過導數表直接得出，可以參考我的詞條。參考資料： http://ke..com/view/643648.htm

8. 求導數的原函數是有幾種常見方法

1、公式法

例如∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C ∫dx/x=lnx+C ∫cosxdx=sinx 等不定積分公式都應牢記，對於基本函數可直接求出原函數。

2、換元法

對於∫f[g(x)]dx可令t=g(x),得到x=w(t),計算∫f[g(x)]dx等價於計算∫f(t)w'(t)dt。 例如計算∫e^(-2x)dx時令t=-2x,則x=-1/2t,dx=-1/2dt,代入後得：-1/2∫e^tdt=-1/2e^t=-1/2e^(-2x)。

3、分步法

對於∫u'(x)v(x)dx的計算有公式： ∫u'vdx=uv-∫uv'dx(u,v為u(x),v(x)的簡寫) 例如計算∫xlnxdx，易知x=(x^2/2)'則： ∫xlnxdx=x^2lnx/2-1/2∫xdx =x^2lnx/2-x^2/4=1/4(2x^2lnx-x^2) 通過對1/4(2x^2lnx-x^2)求導即可得到xlnx。

4、綜合法

綜合法要求對換元與分步靈活運用，如計算∫e^(-x)xdx。

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原函數存在定理

若函數f(x)在某區間上連續，則f(x)在該區間內必存在原函數，這是一個充分而不必要條件，也稱為「原函數存在定理」。

函數族F(x)+C(C為任一個常數）中的任一個函數一定是f(x)的原函數，故若函數f(x)有原函數，那麼其原函數為無窮多個。

例如：x3是3x2的一個原函數，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函數。因此，一個函數如果有一個原函數，就有許許多多原函數，原函數概念是為解決求導和微分的逆運算而提出來的。

9. 導數題常用方法

一般求導不是很難,用法則,並清楚復合函數的求導,一般就可以了!當然必須記住常用函數的求導公式的.

10. 求導的方法有哪些

求導的方法有
1、定義法
⽤導數的定義來求導數。
2、復合函數法
利⽤復合函數來求導。
3、隱函數法
利⽤隱函數來求導。
4、對數法
對數法適⽤於冪指函數和所給函數可看做是冪的連乘積求導數，可簡化運算。