分解因式的常用方法

1. 因式分解常用的方法

1、公因式的選擇可以是單項式，也可以是［多項式］ ，
都遵循一個原則：取系數的［最小公倍數］，相同字母的［最小次冪］ 。
2、提公因式時，若有一項被全部提出，則括弧內該項為［1］ ，不能漏掉。
3、提公因式過程中仍然要注意符號問題，特別是一個多項式首項為負時，一般應先提取負號，注意括弧內各項都要［改變符號］ 。

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2. 分解因式全部方法

因式分解沒有普遍的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定系數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，余數定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。
注意三原則
1 分解要徹底
2 最後結果只有小括弧
3 最後結果中多項式首項系數為正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）
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基本方法

⑴提公因式法

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。
如果多項式的第一項是負的，一般要提出「-」號，使括弧內的第一項的系數成為正數。提出「-」號時，多項式的各項都要變號。
口訣：找准公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。
（3）分解因式技巧
1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左邊必須是多項式；
②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示；
③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數；
④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。
註：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從系數和因式兩個方面考慮。
3.提公因式法基本步驟：
（1）找出公因式；
（2）提公因式並確定另一個因式：
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數在確定字母；
②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；
③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。
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競賽用到的方法

⑶分組分解法

分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學習這個知識。
能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。
同樣，這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題：
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
說明：系數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕松解出。
2. x^3-x^2+x-1
解法：=(x^3-x^2)+(x-1)
=x^2(x-1)+ (x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法，提公因式法提出x2，然後相合輕松解決。
3. x2-x-y2-y
解法：=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。

⑷十字相乘法

這種方法有兩種情況。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
圖示如下：
×
c d
例如：因為
1 -3
×
7 2
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中

⑸拆項、添項法

這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．

⑹配方法

對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：x²+3x-40
=x²+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)²-(6.5)²
=(x+8)(x-5)．

⑺應用因式定理

對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x²+5x+6的一個因式。(事實上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)
注意：1、對於系數全部是整數的多項式，若X=q/p（p,q為互質整數時）該多項式值為零，則q為常數項約數，p最高次項系數約數；
2、對於多項式f(a)=0,b為最高次項系數，c為常數項，則有a為c/b約數

⑻換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。

注意:換元後勿忘還元.
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時，可以令y=x²+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y²+3y+2-12=y²+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x²+x+5)(x²+x-2)
=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．
也可以參看右圖。

⑼求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，
則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1．
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

⑽圖象法

令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖像與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠准確。
例如在分解x^3 +2x^2-5x-6時，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.
作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2
則x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

⑾主元法

先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

⑿特殊值法

將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則
x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 ．
注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值，
則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。

⒀待定系數法

首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
也可以參看右圖。

⒁雙十字相乘法

雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。
雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x、y為未知數，其餘都是常數
用一道例題來說明如何使用。
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。
解：圖如下，把所有的數字交叉相連即可
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
雙十字相乘法其步驟為：
①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一個字母（如y）的一次系數分數常數項。如十字相乘圖②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；
③再按另一個字母（如x）的一次系數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。
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多項式因式分解的一般步驟：
①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；
②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；
③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；
④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
也可以用一句話來概括：「先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。」
幾道例題
1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（補項）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求證：對於任何實數x,y，下式的值都不會為33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
（分解因式的過程也可以參看右圖。）
當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。
3.．△ABC的三邊a、b、c有如下關系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。
分析：此題實質上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解。
證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三條邊，
∴a＋2b＋c＞0．
∴a－c＝0，
即a＝c，△ABC為等腰三角形。
4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
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因式分解四個注意：
因式分解中的四個注意，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有「公」先提「公」，某項提出莫漏1，括弧裡面分到「底」。 現舉下例 可供參考
例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
這里的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項系數是正的。防止學生出現諸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的錯誤
例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
這里的「公」指「公因式」。如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；這里的「1」，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1。
分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提「干凈」，不留「尾巴」，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的錯誤。
考試時應注意：
在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了
由此看來，因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：「先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適」是一脈相承的。
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因式分解的應用
1、 應用於多項式除法。
2、 應用於高次方程的求根。
3、 應用於分式的運算。

3. 分解因式的所有方法

1、提公因式2、公司法（平方差A^2-B^2=(A+B)(A-B)完全平方a^2正負2ab+b^2=（a正負b）^2、立方和差）3、十字相乘4、分組分解5、雙十字相乘6、換元法7、整體除式8、待定系數法主要考1.2.3.多，其它的都是奧數學的分組分解也可能會考到，但難度不大。

4. 分解因式與常用的方法有哪些

〖知識點〗 因式分解定義，提取公因式、應用公式法、分組分解法、二次三項式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步驟。 〖大綱要求〗 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二項式的方法，能把簡單多項式分解因式。 〖考查重點與常見題型〗 考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現的頻率很高。重點考查的分式提取公因式、應用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習題類型以填空題為多，也有選擇題和解答題。 因式分解知識點 多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積．分解因式要進行到每一個因式都不能再分解為止．分解因式的常用方法有： (1)提公因式法 如多項式 其中m叫做這個多項式各項的公因式， m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式． (2)運用公式法，即用 寫出結果． (3)十字相乘法 對於二次項系數為l的二次三項式 尋找滿足ab=q，a b=p的a，b，如有，則 對於一般的二次三項式 尋找滿足 a1a2=a，c1c2=c,a1c2 a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，則 (4)分組分解法：把各項適當分組，先使分解因式能分組進行，再使分解因式在各組之間進行． 分組時要用到添括弧：括弧前面是「 」號，括到括弧里的各項都不變符號；括弧前面是「-」號，括到括弧里的各項都改變符號. (5)求根公式法：如果 有兩個根X1，X2，那麼

5. 分解因式一共有幾種方法

目前你只要把你所知道的那幾種掌握好了就夠用了

6. 分解因式最常用的方法是什麼

十字相乘法

7. 分解因式有哪幾種方法

拿到一道因式分解，在方法的選取上一般是：1.先看各項有沒有公因式，若有公因式，則先提取公因式；2.再看能否使用公式法；3.對於二次三項式的多項式，在不能使用公式法時要考慮十字相乘法；4.對於四項或四項以上的多項式，要考慮分組分解法；5.若以上方法均感到困難，可考慮用配方法、換元法、拆項法、添項法和待定系數法等多種分解因式的方法。