❶ 求函數定義域的方法有哪些
求函數定義域的情形和方法總結：
已知函數解析式時：只需要使得函數表達式中的所有式子有意義。
（1）常見要是滿足有意義的情況簡總：
①表達式中出現分式時：分母一定滿足不為0；
②表達式中出現根號時：開奇次方時，根號下可以為任意實數；開偶次方時，根號下滿足大於或等於0（非負數）；
③表達式中出現指數時：當指數為0時，底數一定不能為0；
④根號與分式結合，根號開偶次方在分母上時：根號下大於0；
⑤表達式中出現指數函數形式時：底數和指數都含有x，必須滿足指數底數大於0且不等於1.（0<底數<1;底數>1）；
⑥表達式中出現對數函數形式時：自變數只出現在真數上時，只需滿足真數上所有式子大於0，且式子本身有意義即可；自變數同時出現在底數和真數上時，要同時滿足真數大於0，底數要大0且不等於1。[ f（x）=logx（x²-1) ]
註：（1）出現任何情形都是要注意，讓所有的式子同時有意義，及最後求的是所有式子解集的交集。
（2）求定義域時，盡量不要對函數解析式進行變形，以免發生變化。(形如：f（x）=x²/x)
2..抽象函數（沒有解析式的函數）解題的方法精髓是「換元法」，根據換元的思想，我們進行將括弧為整體的換元思路解題，所以關鍵在於求括弧整體的取值范圍。總結為：
（1）給出了定義域就是給出了所給式子中x的取值范圍；
（2）在同在同一個題中x不是同一個x；
（3）只要對應關系f不變，括弧的取值范圍不變；
（4）求抽象函數的定義域個關鍵在於求f(x)的取值范圍，及括弧的取值范圍。
3.復合函數定義域
復合函數形如：y=f（g（x）），理解復合函數就是可以看作由幾個我們熟悉的函數組成的函數，或是可以看作幾個函數組成一個新的函數形式。
❷ 求函數解析式的幾種方法
求函數的解析式的方法
求函數的解析式是函數的常見問題,也是高考的常規題型之一,方法眾多, 求函數的解析式是函數的常見問題 , 也是高考的常規題型之一 , 方法眾多 , 下面 對一些常用的方法一一辨析. 對一些常用的方法一一辨析. 換元法： g(x)） f(x)的解析式 一般的可用換元法，具體為： 的解析式， 一．換元法：已知 f（g(x)）,求 f(x)的解析式，一般的可用換元法，具體為： t=g(x),在求出 f(t)可得 的解析式。 的取值范圍。 令 t=g(x),在求出 f(t)可得 f（x）的解析式。換元後要確定新元 t 的取值范圍。 例題 1．已知 f(3x 1)=4x 3, 求 f(x)的解析式.
x 1 練習 1．若 f ( ) = ,求 f (x) . x 1− x
2.已知 f ( x 1) = x 2 x ，求 f ( x 1)
f(g(x))內的 g(x)當做整體 當做整體， 二．配湊法：把形如 f(g(x))內的 g(x)當做整體，在解析式的右端整理成只含 配湊法： g(x)的形式 的形式， g(x)用 代替。 有 g(x)的形式，再把 g(x)用 x 代替。 一般的利用完全平方公式 1 1 例題 2．已知 f ( x − ) = x 2 2 , 求 f (x) 的解析式. x x
練習 3．若 f ( x 1) = x 2 x ,求 f (x) .
待定系數法：已知函數模型（ 一次函數，二次函數，指數函數等 數等） 三．待定系數法：已知函數模型（如：一次函數，二次函數，指數函數等）求 解析式，首先設出函數解析式， 解析式，首先設出函數解析式，根據已知條件代入求系數 例 3. （1）已知一次函數 f ( x ) 滿足 f (0) = 5 ，圖像過點 ( −2,1) ，求 f ( x ) ；
（2）已知二次函數 g ( x ) 滿足 g (1) = 1 ， g ( −1) = 5 ，圖像過原點，求 g ( x ) ；
（3）已知二次函數 h( x) 與 x 軸的兩交點為 ( −2, 0) ， (3, 0) ，且 h(0) = −3 ，求 h( x) ；
（4）已知二次函數 F ( x ) ，其圖像的頂點是 ( −1, 2) ，且經過原點，求 F ( x ) .
練習 4．設二次函數 f (x) 滿足 f ( x − 2) = f (− x − 2) ,且圖象在 y 軸上截距為 1,在 x 軸上截得的線段長為 2 2 ,求 f (x) 的表達式.
5. 設 f (x) 是一次函數，且 f [ f ( x)] = 4 x 3 ，求 f (x)
四．解方程組法:求抽象函數的解析式，往往通過變換變數構造一個方程，組成 解方程組法:求抽象函數的解析式，往往通過變換變數構造一個方程， 方程組， 方程組，利用消元法求 f（x）的解析式 例題 4．設函數 f (x) 是定義(－∞,0)∪(0, ∞)在上的函數,且滿足關系式
1 3 f ( x) 2 f ( ) = 4 x ,求 f (x) 的解析式. x
練習 6．若 f ( x) f (
x −1 ) = 1 x ,求 f (x) . x
7.
設 f (x) 為偶函數， g (x) 為奇函數，又 f ( x) g ( x) =
1 , 試求 f ( x)和g ( x) 的 x −1
解析式
f(x)的解析式 的解析式， 五．利用給定的特性求解析式;一般為已知 x>0 時， f(x)的解析式，求 x<0 時， 利用給定的特性求解析式 一般為已知 f(x)的解析式 的解析式。 f(-x)的解析式 的解析式， =f(-x)或 f(x)=-f(f(x)的解析式。首先求出 f(-x)的解析式，根據 f（x）=f(-x)或 f(x)=-f(-x) 求得 f(x) 例題 5 設 f (x) 是偶函數,當 x＞0 時, f ( x) = e ⋅ x 2 e x ,求當 x＜0 時， f (x) 的表 達式.
練習 8． x∈R, f (x) 滿足 f ( x) = − f ( x 1) ,且當 x∈[－1,0]時, f ( x) = x 2 2 x 對 求當 x∈[9,10]時 f (x) 的表達式.
9． x∈R， f (x) 滿足 f ( x) = − f ( x 1) ， ． 對 且當 x∈[－1， 時， f ( x) = x 2 2 x ， 0]時 的表達式. 求當 x∈[9，10]時 f (x) 的表達式 時
歸納遞推法：利用已知的遞推公式，寫出若干幾項， 六．歸納遞推法：利用已知的遞推公式，寫出若干幾項，利用數列的思想從中 找出規律， f(x)的解析式 （通項公式） 的解析式。 （通項公式 找出規律，得到 f(x)的解析式。 通項公式） x −1 例題 6．設 f ( x) = ,記 f n ( x) = f { f [L f ( x)]},求 f 2004 ( x) . x 1
練習 10．若 f ( x y ) = f ( x) ⋅ f ( y ) ,且 f (1) = 2 ，
f (2) f (3) f (4) f (2005) L . f (1) f (2) f (3) f (2004)
求值
七．相關點法;一般的，設出兩個點，一點已知，一點未知，根據已知找到兩點 相關點法;一般的，設出兩個點，一點已知，一點未知， 之間的聯系， 把已知點用未知點表示， 最後代入已知點的解析式整理出即可。 （軌 之間的聯系， 把已知點用未知點表示， 最後代入已知點的解析式整理出即可。 軌 （ 跡法） 跡法） 例題 7：已知函數 y=f(x)的圖像與 y=x2 x 的圖像關於點（-2，3）對稱，求 f(x) 的解析式。
練習 11．已知函數 f ( x) = 2 x 1 ,當點 P(x,y)在 y= f (x) 的圖象上運動時,點 Q( −
y x , )在 y=g(x)的圖象上,求函數 g(x). 2 3
的抽象函數， 八．特殊值法;一般的，已知一個關於 x,y 的抽象函數，利用特殊值去掉一個未 特殊值法;一般的， 的解析式。 知數 y，得出關於 x 的解析式。 例題 8：函數 f(x)對一切實數 x,y 均有 f(x y)-f(y)=(x 2y 1)x 成立，且 f(1)=0.求 f(x)的解析式。
九．圖像法;觀察圖像的特點和特殊點，可用代入法，或根據函數圖像的性質進 圖像法;觀察圖像的特點和特殊點，可用代入法， 行解題。注意定義域的變化。 行解題。注意定義域的變化。 y 例題 9． 圖中的圖象所表示的函數的解析式為（ B ） 3 3 A． y = x − 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2 2 3 3 B． y = − x − 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2 2 3 O x 1 2 C． y = − x − 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2
D． y = 1 − x − 1
(0 ≤ x ≤ 2)
第 7 題圖
總結：求函數的解析式的方法較多，應根椐題意靈活選擇， 總結：求函數的解析式的方法較多，應根椐題意靈活選擇，但不論是哪種方法 都應注意自變數的取值范圍的變化，對於實際問題材，同樣需注意這一點， 都應注意自變數的取值范圍的變化，對於實際問題材，同樣需注意這一點，應 保證各種有關量均有意義。求出函數的解析式最後要寫上函數的定義域， 保證各種有關量均有意義。求出的函數的解析式最後要寫上函數的定義域，這 是容易遺漏和疏忽的地方。 是容易遺漏和疏忽的地方。