❶ 求數列的通項公式有哪幾種方法
【累加法】
求數量1、1/2、1/4、1/7 ……的通項公式
解：先看數列1,2,4,7……
研究它的規律發現：
a1=1
a2=a1+1
a3=a2+2
---------
an=a(n-1)+(n-1)
上述式子相加得：
a1+a2+a3+----+a(n-1)+an=a1+a2+a3+----+a(n-1)+1+1+2+3+---+(n-1)
an=1+1+2+3+---+(n-1)
=1+n(n-1)/2
=(n²-n+2)/2
所以1、1/2、1/4、1/7 的通項公式是an=2/(n²-n+2).
數列{an},a1=1,an=3^(n-1)+an-1,n>=2,求an通項公式
解：an=3^(n-1)+a(n-1)
an-a(n-1)=3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
a(n-2)-a(n-3)=3^(n-3)
......
a2-a1=3
累加得：an-a1=3^(n-1)+3^(n-2)+...+3=(3^n -3)/2
an=3^n/2-1/2
【利用Sn與an的關系解題】
設sn為數列an的前n項和 且SN=2分之3的AN-1求AN的通項公式
解：Sn=3/2(an-1),所以S(n-1)=3/2(a(n-1)-1),
a[n]=S[n]-S[n-1]=3/2(a[n]-a[n-1])，得a[n]=3a[n-1]
∴a[n]是等比數列，公比是3，又a1=S1=3/2(a1-1)，解得a1=3
∴a[n]=3*3^(n-1)=3^n.
設數列{An}的前項和為Sn,A1=10.An+1=9Sn+10.求數列{An}的通項公式
解：An+1=9Sn+10
An=9S(n-1)+10
An=Sn-S(n-1)=(1/9)[A(n+1)-An]
A(n+1)/An=10
所以為等比數列 A1=10,q=10
An=10*10^(n-1)=10^n
設各項都為正數的數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=1/2(an+1/an) ，求an的通項公式
解法一：
Sn=1/2(an+1/an)
S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an)
Sn+S(n-1)=1/an
Sn-S(n-1)=an
上面兩式相乘得：
Sn^2-S(n-1)^2=1
S1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1
{Sn^2}是首項為S1^2=1,公差為1的等差數列
Sn^2=n
Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)
解法二：
兩邊同乘2an 2anSn=an²+1
2（Sn-Sn-1）Sn=（Sn-Sn-1）²+1
（Sn-Sn-1）【2Sn-（Sn-Sn-1）】=1
Sn²-Sn-1²=1
a1=Sn=1
Sn²=n
an=Sn-Sn-1=√n-√（n-1)
【構造等差數列】
數列a（1）=1,a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n 則{an}的通項公式是？
解：a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n
兩邊同乘以3^n得：
3^n a(n)= 3^(n-1) a(n-1)+1,
這說明數列{3^n a(n)}是等差數列，公差為1，
首項為3a1=3,
所以3^n a(n)=3+(n-1)*1
3^n a(n)=n+2
a(n)=(n+2)/ 3^n.
設數列｛a(n)}的前n項和Sn=2a(n)-2^n. 求數列a(n)的通項公式。
解：當n=1時，有a1=S1=2a1-2，解得：a1=2；
當n>1時，Sn=2an-2^n=2an-2*2^(n-1)，S(n-1)=2a(n-1)-2^(n-1)
所以an=Sn-S(n-1)=[2an-2*2^(n-1)]-[2a(n-1)-2^(n-1)]=2an-2a(n-1)-2^(n-1).
整理得：an-2a(n-1)=2^(n-1).
兩邊同時除以2^n，得：an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1/2.
因為a1/2^1=1，所以數列{an/2^n}是以1為首項，1/2為公差的等差數列.
所以an/2^n=a1/2^1+(n-1)*d=1+(n-1)/2=(n+1)/2，
所以an=(n+1)*2^(n-1).
因為a1=2=(1+1)*2^(1-1)，符合上式.
所以數列{an}的通項公式為an=(n+1)*2^(n-1).
數列{an}滿足a1=3 a(n+1)=3an+3^n+1求通項公式
解：a(n+1)=3an+3^(n+1),兩邊同除以3^(n+1)可得：
a(n+1)/ 3^(n+1)= 3an/ 3^(n+1)+1,
a(n+1)/ 3^(n+1)= an/ 3^n+1,
設an/ 3^n=bn,則b(n+1)=bn+1,
這說明數列{bn}是公差為1的等差數列，首項為b1=a1/3=1.
bn=b1+(n-1)•1=1+(n-1)•1=n.
即an/ 3^n=n,
∴an=n•3^n.
【待定系數法構造等比數列】
數列{An}a1=1 , 3an-a(n-1)=n 求An 的通項公式
解： 3an=a(n-1)+n,
an=1/3[a(n-1)+n]……①
設an+xn+y=1/3[a(n-1)+ x(n-1)+y ]……②,其中x，y是待定的常數。
①②兩式比較可知：x=-1/2，y=1/4,
所以an-1/2n+1/4=1/3[a(n-1)-1/2(n-1)+1/4 ],
這說明數列{ an-1/2n+1/4}是等比數列，公比為1/3,首項為a1-1/2+1/4=3/4.
根據等比數列的通項公式得：
an-1/2n+1/4=3/4•(1/3)^(n-1),
an=3/4•(1/3)^(n-1)+1/2n-1/4.
已知數列{an}的首項a1=3/5 , a(n+1)=3an/2an +1,n=1,2,3... 求{an}的通項公式
解：a(n+1)=3an/(2an +1),
取倒數得：
1/ a(n+1)= (2an +1) /(3an),
即1/ a(n+1)=2/3+1/(3an),
1/ a(n+1)-1=1/3(1/an-1),
所以數列{1/an-1}是公比為1/3的等比數列，首項為1/a1-1=2/3.
所以1/an-1=2/3•(1/3)^(n-1),
1/an=1+2/3^n,
an=1/(1+2/3^n)
an=3^n/(3^n+2).
【特徵根法】
A(n+2)=pA(n+1)+qAn， p,q為常數
（1）通常設： A(n+2)-mA(n+1)=k[A(n+1)-mAn],
則 m+k=p, mk=-q
（2）特徵根法：
特徵方程是y²=py+q（※）
注意：① m n為（※）兩根。
② m n可以交換位置，但其結果或出現兩種截然不同的數列形式，但同樣都可以計算An，而且還會有意想不到的驚喜，嘿嘿
③ m n交換位置後可以分別構造出兩組An和A(n+1)的遞推公式，這個時侯你會發現，這是一個關於An和A(n+1)的二元一次方程組，那麼不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出來了。
例：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An，
特徵方程為：y²= 5y-6
那麼，m=3,n=2,或者m=2，n=3
於是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An] (1)
A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An] (2)
所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)
A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)
消元消去A（n+1），就是An,
An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.
❷ 求數列｛an｝的通項公式的方法，有多少種
解：
求數列｛an｝的通項公式的方法，如下：
一,公式法
S1 (n=1), an= S -S (n≥2). n n-1 -
二,迭加法
若 an+1=an+f(n), 則: an=a1+ k=2 (ak-ak-1)=a1+ k=2 f(k-1)=a1+ k=1 f(k). ∑∑ ∑ n n n-1 -
三,疊乘法
若 an+1=f(n)an, 則: a2 a3 an an=a1 a a … a =a1f(1)f(2)…f(n-1)(n≥2). … n-11 2
四,化歸法
通過恰當的恆等變形,
如配方,因式分解,取對數, 通過恰當的恆等變形 如配方,因式分解,取對數,取倒 數等, 轉化為等比數列或等差數列. 數等
轉化為等比數列或等差數列 (1)若 an+1=pan+q, 則: an+1-λ=p(an-λ). 若 pan 1 r 1 q (2)若
an+1= r+qa , 則: a = p a + p . 若 n+1 n n an+1 an q(n) (3)若an+1=pan+q(n),
則: n+1 = pn + n+1 . 若 p p (4)若 (4)若 an+1=panq, 則: lgan+1=qlgan+lgp.
五,歸納法
先計算數列的前若干項,
通過觀察規律, 猜想通項公式, 先計算數列的前若干項 通過觀察規律 猜想通項公式 進而用數學歸納法證之. 進而用數學歸納法證之 滿足: 例
已知數列 {an} 滿足 a1=1, an+1 =2an+3×2n-1, 求 {an} 的通項 × 公式. 公式 a =(3n-1)×2n-2 -
× n
❸ 數列求通項的七種方法
一、累差法遞推式為：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)思路：:令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)……an-an-1=f(n-1)將這個式子累加起來可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)當然我們還要驗證當n=1時,a1是否滿足上式例1、已知數列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an 令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=2a3-a2=22a4-a3=23……an-an-1=2n-1將這個式子累加起來可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)當n=1時,a1適合上式故an=2n-1
二、累商法遞推式為：an+1=f(n)an（f(n)要可求積）思路：令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)將這個式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)∵f(n)可求積∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)當然我們還要驗證當n=1時，a1是否適合上式例2、在數列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an 令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)將這個式子相乘後可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)即an=2n當n=1時，an也適合上式∴an=2n
三,構造法1、遞推關系式為an+1=pan+q (p,q為常數)思路：設遞推式可化為an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可將遞推式化為an+1+x=p(an+x)構造數列{bn},bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}為等比數列.故可求出bn=f(n)再將bn=an+q/(p-1)代入即可得an例3、(06重慶)數列{an}中,對於n>1(n?N)有an=2an-1+3,求an設遞推式可化為an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3故可將遞推式化為an+3=2(an-1+3)構造數列{bn},bn=an+3bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}為等比數列且公比為3bn=bn-1·3,bn=an+3bn=4×3n-1an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-12、遞推式為an+1=pan+qn(p,q為常數)思路：在an+1=pan+qn兩邊同時除以qn+1得an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q構造數列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q故可利用上類型的解法得到bn=f(n)再將代入上式即可得an例4、數列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an 在an+1=(1/3)an+(1/2)n兩邊同時除以(1/2)n+1得2n+1an+1=(2/3)×2nan+1構造數列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利用上類型解法解得bn=3-2×(2/3)n2nan=3-2×(2/3)nan=3×(1/2)n-2×(1/3)n3、遞推式為：an+2=pan+1+qan（p,q為常數）思路：設an+2=pan+1+qan變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=p,xy= -q解得x,y，於是｛bn｝就是公比為y的等比數列（其中bn=an+1-xan）這樣就轉化為前面講過的類型了．例5、已知數列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求an設an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取x=1,y= -1/3構造數列｛bn｝，bn=an+1-an故數列｛bn｝是公比為-1/3的等比數列即bn=b1(-1/3)n-1b1=a2-a1=2-1=1bn=(-1/3)n-1an+1-an=(-1/3)n-1故我們可以利用上一類型的解法求得an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](n?N*)
四、利用sn和n、an的關系求an1、利用sn和n的關系求an思路：當n=1時，an=sn當n≥2 時, an=sn-sn-1例6、已知數列前項和s=n2+1,求{an}的通項公式.當n=1時，an=sn＝2當n≥2 時, an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1而n=1時，a1=2不適合上式∴當n=1時，an=2當n≥2 時, an=2n-12、利用sn和an的關系求an思路：利用an=sn-sn-1可以得到遞推關系式，這樣我們就可以利用前面講過的方法求解例7、在數列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)an=2an-1∴｛an｝是以2為公比的等比數列∴an=a1·2n-1= -3×2n-1五、用不完全歸納法猜想,用數學歸納法證明.思路:由已知條件先求出數列前幾項，由此歸納猜想出an，再用數學歸納法證明例8、(2002全國高考)已知數列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an由已知可a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6由此猜想an=n+1，下用數學歸納法證明：當n=1時，左邊＝2，右邊＝2，左邊＝右邊即當n=1時命題成立假設當n=k時，命題成立，即ak=k+1則 ak+1=a2k-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k2+2k+1-k2-2k+1=k+2=(k+1)+1∴當n=k+1時，命題也成立．綜合(1),(2),對於任意正整數有an=n+1成立即an=n+1
2