常用的幾種插值方法

㈠ 幾種GIS空間插值方法

GIS空間插值方法如下：

1、IDW

IDW是一種常用而簡便的空間插值方法，它以插值點與樣本點間的距離為權重進行加權平均，離插值點越近的樣本點賦予的權重越大。 設平面上分布一系列離散點，已知其坐標和值為Xi，Yi, Zi （i =1，2，…，n）通過距離加權值求z點值。

IDW通過對鄰近區域的每個采樣點值平均運算獲得內插單元。這一方法要求離散點均勻分布，並且密度程度足以滿足在分析中反映局部表面變化。

2、克里金插值

克里金法（Kriging）是依據協方差函數對隨機過程/隨機場進行空間建模和預測（插值）的回歸演算法。

在特定的隨機過程，例如固有平穩過程中，克里金法能夠給出最優線性無偏估計（Best Linear Unbiased Prediction,BLUP），因此在地統計學中也被稱為空間最優無偏估計器（spatial BLUP）。

對克里金法的研究可以追溯至二十世紀60年代，其演算法原型被稱為普通克里金（Ordinary Kriging, OK），常見的改進演算法包括泛克里金（Universal Kriging, UK）、協同克里金（Co-Kriging, CK）和析取克里金（Disjunctive Kriging, DK）；克里金法能夠與其它模型組成混合演算法。

3、Natural Neighbour法

原理是構建voronoi多邊形，也就是泰森多邊形。首先將所有的空間點構建成voronoi多邊形，然後將待求點也構建一個voronoi多邊形，這樣就與圓多邊形有很多相交的地方，根據每一塊的面積按比例設置權重，這樣就能夠求得待求點的值了。個人感覺這種空間插值方法沒有實際的意義來支持。

4、樣條函數插值spline

在數學學科數值分析中，樣條是一種特殊的函數，由多項式分段定義。樣條的英語單詞spline來源於可變形的樣條工具，那是一種在造船和工程制圖時用來畫出光滑形狀的工具。在中國大陸，早期曾經被稱做「齒函數」。後來因為工程學術語中「放樣」一詞而得名。

在插值問題中，樣條插值通常比多項式插值好用。用低階的樣條插值能產生和高階的多項式插值類似的效果，並且可以避免被稱為龍格現象的數值不穩定的出現。並且低階的樣條插值還具有「保凸」的重要性質。

5、Topo to Raster

這種方法是用於各種矢量數據的，特別是可以處理等高線數據。

6、Trend

根據已知x序列的值和y序列的值，構造線性回歸直線方程，然後根據構造好的直線方程，計算x值序列對應的y值序列。TREND函數和FORECAST函數計算的結果一樣，但是計算過程完全不同。

㈡ 什麼是插值法

插值法是函數逼近的重要方法之一, 它是求近似函數的一種方法，有著廣泛的應用。

插值法有很多種,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛頓(Newton)插值為代表的多項式插值最有特點,常用的插值還有Hermite插值,分段插值和樣條插值等。這里只給出Lagrange插值、Newton插值 、分段線性插值和樣條插值的構造過程及程序。

1．Lagrange插值

Lagrange插值是將待求的n次多項式插值函數Pn(x)改寫成另一種表示方式，再利用插值條件確定其中的待定插值基函數，從而求出插值多項式。Lagrange插值是多項式插值，它成功地用構造插值基函數的方法解決了求多項式插值函數出現的病態問題。

㈢ 什麼是插值演算法

插值法又稱「內插法」，是利用函數f (x)在某區間中插入若干點的函數值，作出適當的特定函數，在這些點上取已知值，在區間的其他點上用這特定函數的值作為函數f (x)的近似值，這種方法稱為插值法。如果這特定函數是多項式，就稱它為插值多項式。
1、Lagrange插值：
Lagrange插值是n次多項式插值，其成功地用構造插值基函數的 方法解決了求n次多項式插值函數問題；
★基本思想將待求的n次多項式插值函數pn(x）改寫成另一種表示方式，再利 用插值條件⑴確定其中的待定函數，從而求出插值多項式。

2、Newton插值：
Newton插值也是n次多項式插值，它提出另一種構造插值多項式的方法，與Lagrange插值相比，具有承襲性和易於變動節點的特點；
★基本思想將待求的n次插值多項式Pn（x）改寫為具有承襲性的形式，然後利用插值條件⑴確定Pn（x）的待定系數，以求出所要的插值函數。

3、Hermite插值：
Hermite插值是利用未知函數f(x）在插值節點上的函數值及導數值來構造插值多項式的，其提法為：給定n+1個互異的節點x0,x1，……,xn上的函數值和導數值
求一個2n+1次多項式H2n+1(x）滿足插值條件
H2n+1(xk)=yk
H'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2，……，n ⒀
如上求出的H2n+1(x）稱為2n+1次Hermite插值函數，它與被插函數
一般有更好的密合度；
★基本思想
利用Lagrange插值函數的構造方法，先設定函數形式，再利
用插值條件⒀求出插值函數.

4、分段插值：
插值多項式余項公式說明插值節點越多，誤差越小，函數逐近越好，但後來人們發現，事實並非如此，例如：取被插函數，在[-5，5]上的n+1個等距節點：計算出f(xk）後得到Lagrange插值多項式Ln(x），考慮[-5,5]上的一點x=5-5/n，分別取n=2,6,10,14,18計算f(x),Ln(x）及對應的誤差Rn(x），得下表
從表中可知，隨節點個數n的增加，誤差lRn(x)l不但沒減小，反而不斷的增大.這個例子最早是由Runge研究，後來人們把這種節點加密但誤差增大的現象稱為Runge現象.出現Runge現象的原因主要是當節點n較大時，對應
的是高次插值多項式，此差得積累"淹沒"了增加節點減少的精度.Runge現象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本節的分段插值就是克服Runge現象引入的一種插值方法.
分段多項式插值的定義為
定義2: a=x0<x1<…<xn=b: 取[a,b]上n+1個節點 並給定在這些節點 上的函數值f(xR)=yR R=0,1，…，n
如果函數Φ（x）滿足條件
i) Φ（x）在[a,b]上連續
ii) Φ（xr)=yR,R =0,1，…，n
iii) Φ（x)zai 每個小區間[xR,xR+1]是m次多項式，
R=0,1，…，n-1則稱Φ（x）為f(x）在[a,b]上的分段m次插值多項式
實用中，常用次數不超過5的底次分段插值多項式，本節只介紹分段線性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值還額外要求分段插值函數Φ（x)
在節點上與被插值函數f(x）有相同的導數值，即
★基本思想將被插值函數f〔x〕的插值節點 由小到大 排序，然後每對相鄰的兩個節點為端點的區間上用m 次多項式去近似f〔x〕.
例題
例1 已知f（x）=ln（x）的函數表為：
試用線性插值和拋物線插值分別計算f（3.27）的近似值並估計相應的誤差。
解：線性插值需要兩個節點，內插比外插好因為3.27 （3.2，3.3），故選x0=3.2，x1=3.3，由n=1的lagrange插值公式，有
所以有，為保證內插對拋物線插值，選取三個節點為x0=3.2,x1=3.3,x2=3.4，由n=2的lagrange插值公式有
故有
所以線性插值計算ln3.27的誤差估計為
故拋物線插值計算ln3.27的誤差估計為：
顯然拋物線插值比線性插值精確；

5、樣條插值：
樣條插值是一種改進的分段插值。
定義 若函數在區間〖a，b〗上給定節點a=x0<x1<；…<xn=b及其函數值yj，若函數S（x）滿足
⒈ S（xj）=yj，j=0,1,2，…，n；
插值法主要用於道路橋梁，機械設計，電子信息工程等 很多工科領域的優化方法。

㈣ 三種插值方法的比較

三種插值方法的比較

最近點陵頃插值

在一維空間中，最近點插值就相當於四捨五入取整。在二維圖像中，像素點的坐標都是整數，該方法就是選取離目標點最近的頌汪亮點。計算方式如下：
假設原圖為A[aw,ah]，寬度為aw，高度為ah。目標圖為B[bw,bh]，寬度為bw，高度為bh。已知A[aw,ah]的寬度，高度及其中每個點的顏色值，B[bw,bh]中每個點像素值的計算方式如下：

已知Q11，Q21，Q12，Q22，計算P點的野寬值時，需要先由Q11和Q21插值得到R1，由Q12和Q22插值得到R2，再由R1和R2插值得到P。

蘭索斯插值(lanczos)

一維的線性插值，是在目標點的左邊和右邊各取一個點做插值，這兩個點的權重是由線性函數計算得到。而一維的蘭索斯插值是在目標點的左邊和右邊各取四個點做插值，這八個點的權重是由高階函數計算得到。