因式分解常用的幾種方法例題

1. 因式分解的方法及例題

1、用提公因式法把多項式進行因式分解

【知識精讀】

如果多項式的各項有公因式，根據乘法分配律的逆運算，可以把這個公因式提到括弧外面，將多項式寫成因式乘積的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據就是乘法分配律。多項式的公因式的確定方法是：

（1）當多項式有相同字母時，取相同字母的最低次冪。

（2）系數和各項系數的最大公約數，公因式可以是數、單項式，皮春告也可以是多項式。

下面我們通過例題進一步學慣用提公因式法因式分解 【分類解析】

1. 把下列各式因式分解

5、中考點撥：

2. 因式分解的方法及例題有哪些

1,提取李仔哪公因式法：4ab+2a=2a(2b+1)
2.公式法：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
3.分組分解法：哪碼4ab+2a+8ab+4a
=(4ab+2a)+(8ab+4a)
=2a(2b+1)+4a(2b+1)
=(2b+1)(2a+4a)
=6a(2b+1)
4.十戚肢字相乘法：3a^2+2a-1=(3a-1)(a+1)

3. 因式分解的方法有哪些每種方法舉出一個例子。

因式分解（factorization）

因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．而在競賽上，又有拆項和添項法，待定系數法，雙十字相乘法，輪換對稱法等．

⑴提公因式法
①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的～.

②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括弧外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出「－」號，使括弧內的第一項的系數是正的.

⑵運用公式法

①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)

⑶分組分解法

分組分解法：把一個多項式分組後，再進行分解因式的方法.

分組分解法必須有明確目的，即分組後，可以直接提公因式或運用公式.

⑷拆項、補項法

拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形.

⑸十字相乘法

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和.因旁蘆此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能夠分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 時，那麼

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a \-----/b ac＝k bd＝n

c /-----\d ad＋bc＝m

※ 多項式因式分解的一般步驟：

①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；

②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

③如果用上述方法不能分解，那歷啟純么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；

④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不肢咐能再分解為止.

(6)應用因式定理：如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個因式。

4. 分解因式的方法與技巧有哪些

1、提公因式法：公因式是指各項都含有公共的因式。提公因式法是指當一個多項式的各項都有公因式時，把這個公因式提出來，將多項式化成兩個或多個因式乘積的形式。

2、公式法：公式法主要是指平方差公式，完全平方公式，立方差公式，立方和公式。

3、十字相乘法：十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。

4、待定系數法：首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

5、換元法：有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。

6、求根公式法：令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)

7、分組分解法：能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。如：a·x+a·y+b·x+b·y=a·(x+y)+b·(x+y)=(a+b)·(x+y)，把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配。

5. 因式分解怎麼做一般分為哪幾種方法（有例題講解最好）

在初中數學內容中，「因式分解」是很關鍵的一章．本章內容對以後數學學習起到至關重要的作用．在教材中主要講解了四種方法，其中提取公因式法、公式法和十字遲者相乘法介紹的較細，這里不再研究．下面主要對分組分解法和其他常見的方法歸納如下．

一、分組分解因式的幾種常用方法．

1．按公因式分解

例1 分解因式7x2-3y+xy+21x．

分析：第1、4項含公因式7x，第2、3項含公因式y，分組後又有公因式(x-3)，

解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．

2．按系數分敗磨解

例2 分解因式x3+3x2+3x+9．

分析：第1、2項和3、4項的系數之比1：3，把它們按系數分組．

解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．

3．按次數分組

例3 分解因式 m2+2m·n-3m-3n+n2．

分析：第1、2、5項是二次項，第3、4項是一次項，按次數分組後能用公式和提取公因式．

解：原式=(m2+2m·n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+n-3)．

4．按乘法公式分組

分析：第1、3、4項結合正好是完全平方公式，分組後又與第二項用平方差公式．

5．展開後再分組

例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．

分析：將括弧展開後再重新分組．

解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．

6．拆項後再分組

例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3．

分析：把常數拆開後再分組用乘法公式．

解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)．

7．添項後再分組

例7 分解因式x4+4．

分析：上式項數較少，較難分解，可添項後再分組．

解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)

二、用換元法進行因式分解

用添加輔助元素的換元思想進行因式分解就是察旦斗原式繁雜直接分解有困難，通過換元化為簡單，從而分步完成．

例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．

分析：將令y=x2+3x，則原式轉化為(y-2)(y+4)-16再分解就簡單了．

解：令y=x2+3x，則

原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．

因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．

三、用求根法進行因式分解

例9 分解因式x2+7x+2．

分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求該多項式對應方程的根再分解．

四、用待定系數法分解因式．

例10 分解因式x2+6x-16．

分析：假設能分解，則應分解為兩個一次項式的積形式，即(x+b1)(x+b2)，將其展開得

x2+(b1+b2)x十b1·b2與x2+6x-16相比較得

b1+b2=6，b1·b2=-16，可得b1，b2即可分解．

解：設x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)

則x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2

∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．。希望能幫到你O(∩_∩)O哈哈~

6. 因式分解有幾種常見方法

提公因式法、分組分解法、待定系數法、十字分解法、雙十字相乘法、對稱多項式等等。

1、一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括弧外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

2、分組分解法指通過分組分解的方式來分解提公因式法和公式分解法無法直接分解的因式，分解方式一般分為「1+3」式和「2+2」式。

3、待定系數法是初中數學的一個重要方法。用待定系數法分解因式，就是先按已知條件把原式假設成若干個因式的連乘積，這些因式中的系數可先用字母表示，它們的值是待定的，由於這些因式的連乘積與原式恆等，然後根據恆等原理，建立待定系數的方程組，最後解方程組即可求出待定系數的值。

4、十字分解法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等於二次項系數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項系數。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。

5、雙十字相乘法是一種因式分解方法。對於型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多項式的因式分解，常採用的方法是待定系數法。這種方法運算過程較繁。對於這問題，若採用「雙十字相乘法」（主元法），就能很容易將此類型的多項式分解因式。

6、一個多元多項式，如果把其中任何兩個元互換，所得的結果都與原式相同，則稱此多項式是關於這些元的對稱多項式。x²+y²+z²，xy+yz+zx都是關於元x、y、z的對稱多項式。

7. 因式分解有哪幾種計算方法是怎樣的

1、提公因式法

幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。

如果多項式的第一項是負的，一般要提出「-」號，使括弧內的第一項的系數成為正數。提出「-」號時，多項式的各項都要變號。

2、公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²；

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。

(7)因式分解常用的幾種方法例題擴展閱讀

韋達首先發現了因式分解的工具性和重要性，在其《論方程的整理和修改》中，首先給出代數方程的多項式因式分解方法，並證得所有三次和三次以上的一元多項式在實數范圍內皆可因式分解。

1637年笛卡兒（R. Descartes，1596-1650）在其《幾何學》中，首次應用待定系數法將4次方程分解為兩個2次方程求解，並最早給出因式分解定理。

笛卡兒還改進了韋達的一些數學符號，首先用x,y,z表示未知數，用a,b,c表示已知數，這些數學習慣沿用至今。有些人可能討厭數學，就是因其有太多符號和公式。

沒有數學符號，乘法公式用語言敘述是多麼啰嗦。故數學的進步在於其引進了較好的符號體系，使用數學符號是近代數學發展最為明顯的標志之一。

8. 因式分解例題及過程是怎麼樣的

因式分解是中叢啟學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數宏裂學之中，在數學求根滲絕如作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應用，是解決許多數學問題的有力工具。

解析：

x²-y²=(x+y)(x-y)

x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)

解法：

1、提取公因式法：4ab+2a=2a(2b+1)

2、公式法：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

3、分組分解法：4ab+2a+8ab+4a

=(4ab+2a)+(8ab+4a)

=2a(2b+1)+4a(2b+1)

=(2b+1)(2a+4a)

=6a(2b+1)

4、十字相乘法：3a^2+2a-1=(3a-1)(a+1)

9. 因式分解12種方法圖解

因式分解方法如下：

一、提取公因式法

提取公因式法是最基本的因式分解方法，甚至可以說後面的因式分解方法都是在這個基礎上進行使用。一般來說，提取公因式法的使用針對比較直觀的因式進行提取，例如學生在多項式中直接看到有一個共同項，立刻就想到提取公因式。

例1:因式分解：3x^3+8x^2y+6x^2y^3=x^2(3x+8y+6y^3)

有些多項式進行提取公因式法之後，還要進一步進行因式分解，如果沒有分解到不能再分，不能算是正確答案。

三、完全平方差公式法

完全平方差公式法和完全平方和公式法如同孿生兄弟，二者極其相似，它的基本表達式子是x^2-2xy+y^2,它是（x-y）(x-y)的乘積，而在實際因式分解中，並不像公式那樣的明顯，例如x^2-6x+9,x^2-4xy+4y^2.下面看一個常見的例子：x^2+y^2-2xy-6x+6y+9

解析：通過觀察發現這個式子可以變成x^2-6x+9-2y(x-3)+y^2,可以構成一個完全平方差公式。