絕對值不等式解題常用方法

Ⅰ 帶有絕對值的不等式解法

帶有絕對值的不等式有以下解法：

(一)零點分段法，轉化成多個不等式(組)：零點分段法是最基本的方法，也是必須掌握的，相比其它方法更容易理解，分類討論，過程清晰不容易出錯。

例如：解不等式 |2x-1|-|x-3|>5，第一步，求出所有式子的零點；由2x-1=0與x-3=0得到零點：x=0.5與x=3。第二步，將求得的所有零點在數軸上標出來，將數軸分段；找到零點後分成x<0.5 ，0.5≤x≤3 ，x>3這三個區間。

第三步，在每個區間內去掉絕對值符號，轉化成三個不等式組：①x<0.5時，1-2x-(3-x)>5，解得x<-7；②0.5≤x≤3時，2x-1-(3-x)>5，無解；③x>3時，2x-1-(x-3)>5，解得x>3。綜上答案是x>3或x<-7。

(三)絕對值幾何意義，絕對值最值：參照(到直線上所有點距離和最小的點，絕對值和的最小值)|x-1|+|x-2|<5，根據絕對值的幾何意義，可知|x-1|表示x到1的距離，|x-2|表示x到2的距離。根據數軸易知-1<x<4。

(四)兩邊平方：|x+1|<|x-2|，如果兩邊都是非負的，可以兩邊直接平方脫去絕對值，但是x次數可能會變成2次。現階段了解即可。兩邊平方得到|x+1|²<|x-2|²，x²+2x+1<x²-4x+4。解得x<1/2。

Ⅱ 解絕對值不等式的常用方法

一。不等式兩邊都為非負數時一般採用兩邊同時平方的方法。例如｜x－1｜＜｜2x｜
二。藉助於數軸分類。令每一個絕對值式子為0，解出未知數的值，把這幾個值表示在數軸上，例如｜x－2｜－｜2x＋3｜﹤｜x＋1｜
令x－2=0解之得x=2
令2x＋3=0解之得x=－3／2
令x＋1=0解之得x=－1
數軸被分成4部分，①當x≤﹣3／2時，不等式為
②當－3／2＜x＜－1時，不等式為
③當－1≤x≤2不等式為
④當x＞2時，不等式為

Ⅲ 含有絕對值的不等式解法

解含絕對值的不等式只有兩種模型，它的解法都是由以下兩個得來：
（1）|X|>1那麼X>1或者<-1; |X|>3那麼X>3或者X<-3;
即）|X|>a那麼X>a或者X<-a;(兩根之外型)
(2)）|X|<1那麼-1<X<1；|X|<3那麼-3<X<3
即)）|X|<a那麼-a<X<a；(兩根之內型)
遇到這類不等式只需用對型把絕對值去掉即可：
如：|1-3X|＞4 我把絕對值中的所有式子看成整體，不等式是兩根之外型，則：1-3X>4或者1-3X<-4，從而又解一次不等式得解集為：X>5/3或者X<-1
又如：|1-3X|<2我把絕對值中的所有式子看成整體，不等式是兩根之內型
則：-2<1-3X<2從而又解一次不等式得解集為：-1/3<x<1

記憶：大於取兩根之外,小於取兩根之間

解絕對不等式的基本思路:去掉絕對值符號轉化為一般不等式,轉化方法有(1)零點分段法(2)絕對值定義法(3)平方法
解含有絕對值的不等式
比如解不等式|X+2|-|X-3|<4
首先應分為4類討論，分別為當X+2>0且X+3>0時，然後解開絕對值符號，可解出第一個結果5<4，不符合題意，捨去；然後當X+2>0且X+3<0時，解開絕對值可得X<5/2，保留這個結果；下面的過程一樣......然後把沒有被捨去的范圍放在一起取交集，得到的就是答案了。

Ⅳ 解絕對值不等式時，有幾種常見的方法

一、 絕對值定義法

對於一些簡單的，一側為常數的含不等式絕對值，直接用絕對值定義即可，

1、如|x| < a在數軸上表示出來。利用數軸可將解集表示為−a< x < a

2、|x| ≥ a同理可在數軸上表示出來，因此可得到解集為x≥ a或x≤ a

3、|ax +b| ≥ c型，利用絕對值性質化為不等式組−c ≤ ax + b ≤ c，再解不等式組。

二、平方法

對於不等式兩邊都是絕對值時，可將不等式兩邊同時平方。

解不等式 |x+ 3| > |x− 1|將等式兩邊同時平方為(x + 3)2 > (x − 1)2得到x2 + 6x + 9 > x2 − 2x + 1之後解不等式即可，解得x > −1

三、零點分段法

對於不等式中含有有兩個及以上絕對值，且含有常數項時，一般使用零點分段法。例 解不等式|x + 1| + |x − 3| > 5

在數軸上可以看出，數軸可以分成x < −1,−1 ≤ x < 3, x ≥ 3三個區間，由此進行分類討論。

當x < −1時，因為x + 1 < 0, x − 3 < 0所以不等式化為 −x− 1 −x + 3 > 5解得x < −322．當−1 ≤x < 3時， 因為x + 1 > 0,x− 3 < 0所以不等式化為x + 1 − x + 3 > 5無解。

當 x ≥ 3時 因為x + 1 > 0 ,x − 3 > 0所以不等式化為x + 1 + x− 3 > 5解得x >72綜上所述，不等式的解為x < −32或x >72。

(4)絕對值不等式解題常用方法擴展閱讀

1、實數的絕對值的概念

(1)|a|的幾何意義

|a|表示數軸上實數a對應的點與原點之間的距離.

(2)兩個重要性質

①(ⅰ)|ab|=|a||b|

②|a|<|b|⇔a2<b2

(3)|x-a|的幾何意義:數軸上實數x對應的點與實數a對應的點之間的距離,或數軸上表示x-a的點到原點的距離.

(4)|x+a|的幾何意義:數軸上實數x對應的點與實數-a對應的點之間的距離,或數軸上表示x+a的點到原點的距離。

2、絕對值不等式定理

(1)定理：對任意實數a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≥0時,等號成立.

(2)定理的另一種形式：對任意實數a和b,有|a-b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≤0時,等號成立.

絕對值不等式定理的完整形式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的條件是ab≤0,且|a|≥|b|;

(2)|a+b|=|a|+|b|成立的條件是ab≥0;

(3)|a-b|=|a|-|b|成立的條件是ab≥0,且|a|≥|b|;

(4)|a-b|=|a|+|b|成立的條件是ab≤0.