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求軌跡方程的常用方法視頻及例題

發布時間:2023-02-22 08:21:31

Ⅰ 軌跡方程的幾種常用求法

求動點的軌跡方程要根據題設條件靈活地選擇方法.常用的方法有兩大類,一類是直接求法,包括利用圓錐曲線的定義等;另一類是間接求法,主要包括相關點法和參數法.
一、 直接法
一般情況下,動點在運動時,總是滿足一定的條件的(即動中有靜,變中有不變),可設動點的坐標為(x,y),然後選擇適當的公式(如兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,兩點連線的斜率公式,兩直線(向量)的夾角公式,定比分點坐標公式,三角形面積公式等),或一些包含等量關系的定理、定義等,將題設條件轉化成x,y之間的關系式(等式),從而得到動點的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為直接法.
例1 已知定點a(-1,0),b(2,0),動點m滿足2∠mab=∠mba,求點m的軌跡方程.
解析 直接設點m為(x,y),先將2∠mab=∠mba轉化成直線ma,mb的斜率的關系式,便可得點m的軌跡方程.
圖1
如圖1,設∠mab=α,則∠mba=2α,顯然0≤α<90°.
(1) 當2α≠90°時,
若m點在x軸上方,
則有tanα=kma=yx+1,tan(π-2α)=kmb=yx-2.
若點m在x軸下方,則有tan(π-α)=kma=yx+1,tan2α=kmb=yx-2.
於是總有-yx-2=2y1+x1-y2(1+x)2,注意到|ma|>|mb|,可得x2-y23=1(x≥1).
若點m在x軸上,則點m為線段ab上的點,所以有y=0(-1<x<2).
(2) 當2α=90°時,△mab為等腰直角三角形,點m為(2,±3).
綜上,點m的軌跡方程為x2-y23=1(x≥1)或y=0(-1<x<2=.
二、 定義法
若動點在運動時滿足的條件符合某種已知曲線的定義,則可以設出其軌跡的標准方程,然後利用待定系數法求出其軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為定義法,利用定義法求軌跡方程要熟知常見曲線的定義、特徵.
例2 設動點p到點a(-1,0)和b(1,0)的距離分別為d1,d2(d1d2≠0),∠apb=2θ.若存在常數λ(0<λ<1),使得d1d2sin2θ=λ恆成立.
證明:動點p的軌跡c為雙曲線,並求出c的方程.
圖2
解析 如圖2,在△pab中,|ab|=2.
由餘弦定理,可得22=d21+d22-2d1d2cos2θ,即4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ,
又d1d2sin2θ=λ(常數),0<λ<1,
則有|d1-d2|
=4-4d1d2sin2θ=21-λ(常數)<2=|ab|,
所以點p的軌跡c是以a,b為焦點,實軸長2a=21-λ的雙曲線,
從而a=1-λ,c=1,故b2=c2-a2=λ,
則c的方程為x21-λ-y2λ=1.
三、 代入法
若所求軌跡上的動點p(x,y)與另一個已知軌跡(曲線)c:f(x,y)=0上的動點q(x1,y1)存在著某種聯系,則可以把點q的坐標用點p的坐標表示出來,然後代入曲線c的方程f(x,y)=0中並化簡,即得動點p軌跡方程.這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關點法).
例3 已知定點a(4,0)和曲線c:x2+y2=4上的動點b,點p分ab之比為2∶1,求動點p的軌跡方程.
解析 要求動點p(x,y)的軌跡方程,即要建立關於p的坐標x,y的等量關系,而直接建立x,y的等量關系十分困難,但可以先尋找動點b(x0,y0)的坐標x0,y0之間的關系,再利用已知的p與b之間的關系(即x,y與x0,y0之間關系)得到關於x,y的方程.
設動點p為(x,y),b為(x0,y0).
因為ap=2pb,所以x=4+2x01+2,y=2y01+2,所以x0=3x-42,y0=3y2.
又因為點b在曲線c上,所以3x-422+94y2=4,即x-432+y2=169.
所以點p的軌跡方程為x-432+y2=169.
點評 代入法的主要步驟:
(1) 設所求軌跡上的任意一點為p(x,y),相對應的已知曲線上的點為q(x1,y1);
(2) 建立關系式x1=g(x,y),y1=h(x,y);
(3) 將這兩上式子代入已知曲線方程中並化簡,即得所求軌跡的方程.
四、 參數法
根據題設條件,用一個參數分別表示出動點(x,y)的坐標x和y,或列出兩個含同一個參數的動點(x,y)的坐標x和y之間的關系式,這樣就間接地把x和y聯系起來了,然後聯立這兩個等式並消去參數,即可得到動點的軌跡方程.這種求軌跡的方法稱為參數法.
例4 已知動點m 在曲線c:13x2+13y2-15x-36y=0上,點n在射線om上,且|om|·|on|=12,求動點n的軌跡方程.
解析 點n在射線om上,而在同一條以坐標原點為端點的射線上的任意兩點(x1,y1),(x2,y2)的坐標的關系為x1x2=y1y2=k,k為常數且k>0,故可採用參數法求點n的軌跡方程.
設n為(x,y),則m為(kx,ky),k>0.
因為|om|·|on|=12,所以k2(x2+y2)·x2+y2=12,
所以k(x2+y2)=12.
又點m在曲線c上,所以13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0.
由以上兩式消去k,得5x+12y-52=0,
所以點n的軌跡方程為5x+12y-52=0.
點評 用參數法求軌跡方程的步驟為:先引進參數,用此參數分別表示動點的橫、縱坐標x,y;再消去參數,得到關於x,y的方程,即為所求的軌跡方程.注意參數的取值范圍對動點的坐標x和y的取值范圍的影響.
另外,求動點的軌跡方程時,還應注意下面幾點:
(1) 坐標系要建立得適當.這樣可以使運算過程簡單,所得到的方程也比較簡單.
(2) 根據動點所要滿足的條件列出方程是最重要的一環.要做好這一步,應先認真分析題設條件,綜合利用平面幾何知識,列出幾何關系(等式),再利用解析幾何中的一些基本概念、公式、定理等將幾何關系(等式)坐標化.
(3) 化簡所求得的軌跡方程時,如果所做的變形不是該方程的同解變形,那麼必須注意在該變形過程中是增加了方程的解,還是減少了方程的解,並在所得的方程中刪去或補上相應的點,這時一般不要求寫出證明過程.

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