Ⅰ 軌跡方程的幾種常用求法
求動點的軌跡方程要根據題設條件靈活地選擇方法.常用的方法有兩大類，一類是直接求法，包括利用圓錐曲線的定義等；另一類是間接求法，主要包括相關點法和參數法.
一、 直接法
一般情況下，動點在運動時，總是滿足一定的條件的（即動中有靜，變中有不變），可設動點的坐標為(x,y)，然後選擇適當的公式（如兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，兩點連線的斜率公式，兩直線（向量）的夾角公式，定比分點坐標公式，三角形面積公式等），或一些包含等量關系的定理、定義等，將題設條件轉化成x,y之間的關系式（等式），從而得到動點的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為直接法.
例1 已知定點a（-1，0），b（2，0），動點m滿足2∠mab=∠mba,求點m的軌跡方程.
解析 直接設點m為（x,y），先將2∠mab=∠mba轉化成直線ma，mb的斜率的關系式，便可得點m的軌跡方程.
圖1
如圖1，設∠mab=α,則∠mba=2α,顯然0≤α＜90°.
(1) 當2α≠90°時，
若m點在x軸上方，
則有tanα=kma=yx+1,tan(π-2α)=kmb=yx-2.
若點m在x軸下方，則有tan(π-α)=kma=yx+1,tan2α=kmb=yx-2.
於是總有-yx-2=2y1+x1-y2(1+x)2,注意到|ma|＞|mb|，可得x2-y23=1(x≥1).
若點m在x軸上，則點m為線段ab上的點，所以有y=0（-1＜x＜2）.
（2） 當2α=90°時，△mab為等腰直角三角形，點m為（2，±3）.
綜上，點m的軌跡方程為x2-y23=1(x≥1)或y=0(-1＜x＜2＝.
二、 定義法
若動點在運動時滿足的條件符合某種已知曲線的定義，則可以設出其軌跡的標准方程，然後利用待定系數法求出其軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為定義法，利用定義法求軌跡方程要熟知常見曲線的定義、特徵.
例2 設動點p到點a（-1，0）和b（1，0）的距離分別為d1，d2（d1d2≠0），∠apb=2θ.若存在常數λ(0＜λ＜1)，使得d1d2sin2θ=λ恆成立.
證明：動點p的軌跡c為雙曲線，並求出c的方程.
圖2
解析 如圖2，在△pab中，|ab|=2.
由餘弦定理，可得22=d21+d22-2d1d2cos2θ，即4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ，
又d1d2sin2θ=λ（常數），0＜λ＜1，
則有|d1-d2|
=4-4d1d2sin2θ=21-λ（常數）＜2=|ab|，
所以點p的軌跡c是以a,b為焦點，實軸長2a=21-λ的雙曲線，
從而a=1-λ，c=1,故b2=c2-a2=λ，
則c的方程為x21-λ-y2λ=1.
三、 代入法
若所求軌跡上的動點p(x,y)與另一個已知軌跡（曲線）c:f(x,y)=0上的動點q（x1,y1）存在著某種聯系，則可以把點q的坐標用點p的坐標表示出來，然後代入曲線c的方程f(x,y)=0中並化簡，即得動點p軌跡方程.這種求軌跡方程的方法叫做代入法（又稱相關點法）.
例3 已知定點a（4，0）和曲線c：x2+y2=4上的動點b，點p分ab之比為2∶1，求動點p的軌跡方程.
解析 要求動點p(x,y)的軌跡方程，即要建立關於p的坐標x,y的等量關系，而直接建立x,y的等量關系十分困難，但可以先尋找動點b(x0,y0)的坐標x0,y0之間的關系，再利用已知的p與b之間的關系（即x,y與x0,y0之間關系）得到關於x,y的方程.
設動點p為(x,y)，b為（x0,y0）.
因為ap=2pb,所以x=4+2x01+2,y=2y01+2,所以x0=3x-42,y0=3y2.
又因為點b在曲線c上，所以3x-422+94y2=4,即x-432+y2=169.
所以點p的軌跡方程為x-432+y2=169.
點評 代入法的主要步驟：
（1） 設所求軌跡上的任意一點為p(x,y)，相對應的已知曲線上的點為q(x1,y1);
（2） 建立關系式x1=g(x,y),y1=h(x,y)；
（3） 將這兩上式子代入已知曲線方程中並化簡，即得所求軌跡的方程.
四、 參數法
根據題設條件，用一個參數分別表示出動點(x,y)的坐標x和y，或列出兩個含同一個參數的動點(x，y)的坐標x和y之間的關系式，這樣就間接地把x和y聯系起來了，然後聯立這兩個等式並消去參數，即可得到動點的軌跡方程.這種求軌跡的方法稱為參數法.
例4 已知動點m 在曲線c：13x2+13y2-15x-36y=0上，點n在射線om上，且|om|·|on|=12，求動點n的軌跡方程.
解析 點n在射線om上，而在同一條以坐標原點為端點的射線上的任意兩點（x1,y1）,(x2,y2)的坐標的關系為x1x2=y1y2=k,k為常數且k＞0,故可採用參數法求點n的軌跡方程.
設n為（x,y）,則m為（kx,ky）,k＞0.
因為|om|·|on|=12，所以k2(x2+y2)·x2+y2=12，
所以k(x2+y2)=12.
又點m在曲線c上，所以13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0.
由以上兩式消去k,得5x+12y-52=0,
所以點n的軌跡方程為5x+12y-52=0.
點評 用參數法求軌跡方程的步驟為：先引進參數，用此參數分別表示動點的橫、縱坐標x,y；再消去參數，得到關於x,y的方程，即為所求的軌跡方程.注意參數的取值范圍對動點的坐標x和y的取值范圍的影響.
另外，求動點的軌跡方程時，還應注意下面幾點：
（1） 坐標系要建立得適當.這樣可以使運算過程簡單，所得到的方程也比較簡單.
（2） 根據動點所要滿足的條件列出方程是最重要的一環.要做好這一步，應先認真分析題設條件，綜合利用平面幾何知識，列出幾何關系（等式），再利用解析幾何中的一些基本概念、公式、定理等將幾何關系（等式）坐標化.
（3） 化簡所求得的軌跡方程時，如果所做的變形不是該方程的同解變形，那麼必須注意在該變形過程中是增加了方程的解，還是減少了方程的解，並在所得的方程中刪去或補上相應的點，這時一般不要求寫出證明過程.