換元降次常用方法

㈠ 巧解分式方程。

1 給定條件下高次代數式的求值問題，是代數式求值問題中比較常見的類型。由於這類題的字母次數較高，一旦方法不得當，不但解題過程麻煩，甚至有時求不出數來，對於這類題降次是比較常用的一種解決方法。現舉例歸納如下：一、直接變形，代入降次通過對已知條件和代數式的適當變形，便可達到降次的效果，從而使問題得到解決。例1：已知x2+4x-1=0,求2x4-36x2+1的值。解：∵x2+4x-1=0，∴x2=1-4x, ∴2x4-36x2+1=2(x2) 2 -36x2+1=2(1-4x) 2-36x2+1=2-16x+32x2 -36x2+1=-4x2-16x+3=-4(x2+4x)+3=-4+3=-1二、以退為進，巧妙降次以退為進，這是一個反常規的思維。為了降次，而先升高其中字母的次數，再通過適當的變形實現降次求值的目的。現把這一方法在實際中的應用舉例說明：（一）、已知條件是整式的值例2：已知x2+x-1=0,求x4+2x3+3x2+2x+1之值。解：∵x2+x-1=0，∴x2=1-x ;x3=x·x2=x(1-x)=x-x2=x-(1-x)=2x-1;x4=x·x3=x(2x-1)=2x2-x=2(1-x)-x=2-3x .∴原式=(2-3x)+2(2x-1)+3(1-x)+2x+1=4 .（二）、已知條件是分式的值例3：已知 +x =3,求x4+3x3-16x2+3x-17的值。∵ +x =3，∴x2-3x+1=0, ∴x2=3x -1;x3=x·x2=x(3x-1)= 3x2-x= 3(3x-1)-x=8x-3 ;x4=x·x3=x(8x-3)=8x2-3x=8(3x-1)-3x=21x-8 ;∴原式=(21x-8)+3(8x-3)-16(3x-1)+3x-17=-18 .（三）、已知條件含根號例4：已知x= ,求(4x3-2004x-2001)2001的值。∵x= ∴2x=1+ , =2x-1 ∴4x2-4x-2000=0 ,4x2=4x+2000 ,2000x =4x3-4x2, 4x=4x2-2000 ,∴原式=(4x3-2000x-4x-2001)2001=[4x3-(4x3-4x2)-( 4x2-2000)-2001]2001=-1 三、藉助方程根降次一元二次方程的知識是初中階段最重要、最有用的知識之一，它在降次求值中的作用也不可忽視，現舉二例如下：（一）、藉助根的定義降次例5：已知α、β 是方程x2-x-1=0的兩根，求α4+3β的值。∵α是方程x2-x-1=0的根 ,∴α2-α-1=0 , α2=α+1 .於是 α4=（α+1）2=α2+2α+1=α+1+2α+1=3α+2 ，∴α4+3β=3α+2+3β=3（α+β）+2又α、β 是方程x2-x-1=0的兩根，∴α+β=1 ，∴α4+3β=5 。（二）、構造一元二次方程降次例6、已知m2=m+1 ,n2=n+1 ,m≠n,求m4+n4之值。∵m2=m+1 ,n2=n+1 ,m≠n ，∴m、n可看成一元二次方程x2-x-1=0的兩根 ，∴ 有m+n=1 ,mn=-1 ,∴m4+n4=(m2+n2)2-2m2n2=[(m+n)2-2mn]2-2m2n2=[12-2×(-1)]2-2(-1)2=194 .總之，降次法在我們的求值問題中是一個常用且有效的方法，尤其是對高次代數式的求值問題更為有效，用好了對我們解決問題將會起到事半功倍的效果。2 某些較復雜的分數應用題，一般思路就是先要轉化分率，然後才能解答。若採用倒數轉化法來解答，既能巧妙地統一單位「1」，又可減少分率轉化的繁瑣計算，往往能出奇制勝，使思路清晰，解法簡捷。現舉幾例如下：
例1 某電器廠男工占總人數的2/3，後來又招進20名女工，這時男工占總人數的6/11。這個廠原來有男、女工各多少名?
分析與解答：用一般方法的解題思路是，因為這個廠總人數前後有所變化，題中兩個分率所涉及的單位「1」不統一，而男工人數前後沒有變化，所以把男工人數看作單位「1」，再把前後兩次的女工人數轉化成占男工的分率，然後再求解。如果採用倒數法，立即可統一單位「1」，即原來工廠總人數占男工人數的5/3，後來工廠總人數占男工人數的11/6。則：
男工人數：20÷(11/6-5/3)=20÷1/6=120(名)
女工人數：120×5/3-120=80(名)
例2 電視機廠生產一批電視機，原計劃30天完成，實際每天比原計劃多生產1/4，實際多少天完成?
分析與解答：這道題中的「30天」是原計劃的工作時間，「1/4」所對應的單位「1」是原計劃的工作效率，已知數量和已知分率不相對應，這就需要將某個條件進行轉化。設這批電視機的台數為「1」，我們可以將「原計劃30天完成」轉化為「原計劃每天完成這批電視機的1/30(即30的倒數，也就是工作效率)」。由題目條件可求出實際每天可以完成這批電視機的「1/30×(1+1/4)」，根據「工作量÷工作效率=工作時間」，可求出實際工作的天數：
1÷[1/30×(1+1/4)]=24(天)。
例3 某人騎自行車往返甲、乙兩地，返回時逆風，返回時的速度是去時的5/6，因此返回所花的時間比去時多24分鍾。去時花了多少分鍾?
分析與解答：這題的已知條件是往、返速度間的分率和往、返相差的時間，已知數量與已知分率不相對應。設甲、乙兩地間的路程為「1」，當去時所花的時間為「1」時，去時的速度也應為「1」；返回時的速度是去時的5/6，返回所花的時間應是去時的「1÷5/6」(即5/6的倒數)。於是24分鍾就相當於去時的「1÷5/6-1」，這樣可求得去時花了：
24÷(1÷5/6-1)=120(分鍾)。
例4 甲、乙兩人從東村步行到西村，甲每小時行3.5千米，乙每小時行3.75千米，已知甲早出發1/4小時而又比乙晚到1/12小時。兩村相距多少千米?
分析與解答：將「甲每小時行3.5千米」轉化為「甲每行1千米路要1/3.5小時」(即3.5的倒數)，將「乙每小時行3.75千米」轉化為「乙每行1千米路要1/3.75小時」(即3.75的倒數)，由此要知每行1千米甲比乙多花「1/3.5-
1/3.75」小時。已知行完全程甲比乙共多花「1/4+1/12」小時，根據包含除法的意義，可以求出兩村之間的路程：
(1/4+1/12)÷(1/3.5-1/3.75)=17.5(千米)。
倒數轉化法是一種特殊的思考方法，也是一種重要的數學解題策略。在教學中若能引導學生靈活地掌握並加以運用，不僅能將一些較復雜的數學問題較容易地解答出來，達到變繁為簡、化難為易的目的，而且還能激活學生的思維空間，拓展學生解答較復雜分數應用題的能力。
3局部通分法分析 用去分母化整式方程的常規辦法來解，將會帶來繁瑣的運算，如能適當局部通分，並輔以除法求解，將會得到較為理想的效果．解 局部通分得去分母，得x2－7x＋10=x2－9x＋18．故2x=8．∴x=4．經檢驗知x=4是原方程的解． 4 解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變數去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標准型問題標准化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。 例題：2008年江西省行測真題 數學思想剖析：方程法和換元法數學思想依據是函數與方程思想。函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。函數思想以函數知識做基石，用運動變化的觀點分析和研究數學對象間的數量關系，使函數知識的應用得到極大的擴展，豐富並優化了數學解題活動，給數學解題帶來一股很強的創新能力。方程思想是從問題的數量關系出發，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程、不等式或它們的混合組，通過解方程（組）、不等式（組）或其混合組使問題獲解。函數思想與方程思想的聯系十分密切，而且函數與方程思想在數學解題中可以互化互換，豐富了數學解題的思想寶庫。常用的方法有方程組法和換元法。

㈡ 換元法的分解因式

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。 注意:換元後勿忘還元。
【例】在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時，可以令y=x²+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)=(x²+x+5)(x²+x-2)=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．
例2，(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可寫為
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以
特點：兩方程中都含有相同的代數式，如題中的x+5,y-4之類，換元後可簡化方程。
解高次方程
有時在解方程時，可以選擇方程中的相同的部分換成另一個未知數，達到降次的目的，然後進行新方程求新未知數，最後再轉換回來求原未知數，這種方法叫做換元法。 注意:換元後勿忘還元。
【例】解方程（x²-2x）²-3（x²-2x）-4=0
解：設x²-2x=y，則原方程變為y²-3y-4=0
(y-4)(y+1)=0
y-4=0或y+1=0
y1=4 y2=-1
當y=4時，x²-2x=4 解得x1=1+√5 x2=1-√5
當y=-1時，x²-2x=-1解得x1=x2=1
所以，原方程的根為x1=1+√5 x2=1-√5 x3=1

㈢ 降次公式是什麼呀

降次公式是cos2α=2cos²α-1=1-2sin²αcos²α=(1/2)(1+cos2α)sin²α=(1/2)(1-cos2α)。

在數學運算中，把含未知數的項的指數降低的手法叫做降次。

通過降次，可以把次數較高的方程（組）轉化為低次方程（組），使得解方程（組）更為簡便，這就叫做降次公式。

降次積分法

降次積分法是求高次函數積分的一種技巧。先用換元積分法、三角換元法、分部積分法、部分分式法等方法求出降次公式，將原函數（如In）用低次的函數形式（如In-2）表示。然後將n代成想求的數，逐步降次，直至降至0或1次為止，藉助積分表得出結果。

㈣ 一元二次方程換元法

、解數學題時,把某個式子看成一個整體,用一個變數去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法.
換元的實質是轉化,關鍵是構造元和設元,理論依據是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標准型問題標准化、復雜問題簡單化,變得容易處理.
2、我們常用的是整體換元法,是在已知或者未知中,某個代數式幾次出現,而用一個字母來代替它從而簡化問題,當然有時候要通過變形才能發現.把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程,從而達到降次的目的.
【典例解析】
例1.用適當方法解下列方程:
(1)2x2﹣5x﹣3=0
(2)16(x+5)2﹣9=0
(3)(x2+x)2+(x2+x)=6.
例題分析:本題考查了一元二次方程的幾種解法:①公式法;②直接開平方法;③換元法
(1)用公式法解一元二次方程,先找a,b,c;再求△;再代入公式求解即可;
(2)用直接開平方法解一元二次方程,先將方程化為(x+5)2=,直接開方即可;
(3)設t=x2+x,將原方程轉化為一元二次方程,求解即可.
解:(1)∵a=2,b=﹣5,c=﹣3,△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×2×(﹣3)=25+24=49,
∴x===,
∴x1=3,x2=﹣;
(2)整理得,(x+5)2=,
開方得,x+5=±,
即x1=﹣4,x2=﹣5,
(3)設t=x2+x,將原方程轉化為t2+t=6,
因式分解得,(t﹣2)(t+3)=0,
解得t1=2,t2=﹣3.
∴x2+x=2或x2+x=﹣3(△<0,無解),
∴原方程的解為x1=1,x2=﹣2.
例2.解方程:(1)(x+3)(x﹣1)=5
(2).
例題分析:本題主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程.解一元二次方程時,要注意選擇合適的解題方法,這樣才會達到事半功倍的效果.還要注意換元思想的應用.
(1)先去括弧,將方程化為一般式,然後再運用二次三項式的因式分解法進行求解.
(2)先設x2﹣x=y,採用換元法,然後解方程即可.
解:(1)x2+2x﹣8=0,
(x+4)(x﹣2)=0
∴x1=﹣4,x2=2.
(2)設x2﹣x=y
∴原方程化為y﹣=1
∴y2﹣2=y
∴y2﹣y﹣2=0
∴(y+1)(y﹣2)=0
∴y1=﹣1,y2=2
∴x2﹣x=﹣1或x2﹣x=2
解x2﹣x=﹣1知:此方程無實數根.
解x2﹣x=2知x1=2,x2=﹣1;
∴原方程的解為:x1=2,x2=﹣1.
例3.解下列方程:
(1)2x2+5x﹣3=0
(2)(3﹣x)2+x2=9
(3)2(x﹣3)2=x(x﹣3)
(4)(x﹣1)2﹣5(x﹣1)+6=0
例題分析:本題考查了解一元二次方程的方法,當把方程通過移項把等式的右邊化為0後,方程的左邊能因式分解時,一般情況下是把左邊的式子因式分解,再利用積為0的式子的特點解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法,要會靈活運用.
(1)方程左邊可以利用十字相乘法進行因式分解,因此應用因式分解法解答.
(2)先移項,然後把x2﹣9因式分解為(x+3)(x﹣3),然後再提取公因式,因式分解即可.
(3)

㈤ 初中數學系列知識點

1、 相反數：只有符號不同的兩個數，我們說其中一個是另一個的相反數，也稱為這兩個數互為相反數。0的相反數是0。用數學語言表述為：若a、b互為相反數，則a+b=0即 ，反之也成立。數a的相反數是-a。
2、 倒數：若a、b（a、b均不為0）互為倒數，則ab=1即 ，反之也成立。a的倒數是 。0沒有倒數，1和-1的倒數是它們本身。
3、 有理數和無理數統稱為實數。實數分為有理數和無理數，也可分為正實數、0、負實數。實數與數軸上的點一一對應。
4、 有理數分為正有理數、0、負有理數，它們均是有限小數或無限循環小數；也可分為整數和分數，整數又分為正整數、0、負整數；分數又分為正分數、負分數。無理數分為正無理數和負無理數，它們都是無限不循環小數。
5、 π是無理數， 是分數是小數是有理數，0是自然數。
6、 絕對值的幾何定義：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值，數a的絕對值記為「|a|」。代數定義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。於是，|a|=a ；|a|=-a a≤0。
7、 任何一個實數的絕對值都是非負數，即|a|≥0。
或 ，或
8、 若|x|=a(a≥0)，則x=±a，即絕對值的原數的雙值性。
9、 數軸上兩點A（ ）、B（ ）之間的距離為|AB|=| - |，其中點所表示的數為 。坐標平面內兩點A（ ， ）、B（ ， ）的距離為：|AB|= ，中點C的坐標為（ ， ），點A到x軸的距離為| |，到y軸的距離為| |，到原點的距離為 ，如果 = 且 ≠ ，則直線AB平行於y軸；如果 = 且 ≠ ，則直線AB平行於x軸。
10、 科學記數法：把一個數寫成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整數）這種記數法叫做科學記數法。記數的方法：（1）確定a；a是只有一位整數數位的數；（2）確定n；當原數≥1時，n等於原數的整數位數減1；當原數<1時，n是負整數，它的絕對值等於原數中左起第一個非零數字前零的個數（含整數位上的零）。
11、 近似數：按某種接近程度由四捨五入得到的數或大約估計數叫做近似數。一般地，一個近似數四捨五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。一個數的近似數，常常要用科學記數法來表示。
12、 有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是零的數字起，到精確到的位數止，所有的數字都叫做這個數的有效數字。精確度的形式有兩種：（1）精確到哪一位數；（2）保留幾個有效數字。近似數非零數之間的0和尾巴上的0都是有效數字。
13、 實數大小的比較：在數軸上表示的兩個數，右邊總比左邊的大；正數大於零；負數小於零；正數大於一切負數；兩個負數，絕對值大的反而小。
14、 實數加法法則：（1）同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加；（2）異號兩數相加，絕對值相等時，和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。
15、 加法交換律a+b=b+a；加法結合律(a+b)+c=a+(b+c)
16、 減去一個數，等於加上這個數的相反數；即a-b= a +（- b）
17、 減法運算的步驟：（1）將減號變成加號，把減數的相反數變成加數；（2）按照加減運算的步驟進行運算。
18、 兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。實數乘法與加法運算步驟一樣，第一步確定符號，第二步確定絕對值。零乘以任何數都得0。
19、 乘法交換律ab=ba；乘法結合律(ab)c=a(bc)；乘法分配律a(b+c)=ab+ac
20、 兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除；0除以任何一個不等於0的數，都得0；除以一個數等於乘以這個數的倒數，即a÷ b=a• (b≠0)
21、 乘方運算的性質：（1）正數的任何次冪都是正數；（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；（3）任何數的偶次冪都是非負數；（4）-1的偶次冪是1，-1的奇次冪是-1；（5）1的任何次冪都是1，0的任何非零次冪都是0；（6）負整數指數冪（7）零指數冪
22、 列代數式及代數式的求值：用運算符號把數與表示數的字母連接而成的式子，叫做代數式，單獨一個數或一個字母也是代數式；代數式分為有理式、無理式，有理式又分為整式、分式，整式分為單項式、多項式。列代數式時，要注意問題的語言敘述所直接或間接表示的運算順序。一般來說，先讀的先寫；要正確使用表明運算順序的括弧；列代數式時，出現乘法時，通常省略乘號，數與字母相乘，要將數寫在字母前面；帶分數要化成假分數，然後再與字母相乘；數字與數字相乘仍用「×」號：出現除法運算時，一般按分數的寫法來寫。代數式的求值是用代數值代替代數式里的字母，按照代數式指明的運算順序計算出結果。列代數式時，如果代數式後跟單位，應該將含有加減運算的代數式用括弧括起來。
23、 同類項：所含字母相同，並且相同字母的指數也相同的項叫做同類項，把同類項合並成一項就叫做合並同類項。合並同類項的法則就是字母及字母的指數不變，系數相加。同類項與系數的大小沒有關系。
24、 單項式：數與字母的乘積的代數式叫做單項式，單項式中的數字因數叫做單項式的系數，一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數。單獨一個數或一個字母也是單項式。單獨一個非零數的次數是0。
25、 多項式：幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項，一個多項式中，次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數，單項式和多項式統稱為整式。
26、 π是數，是一個具體的數，而不是一個字母。0是單項式，也是整式。
27、 整式的加減法則：整式的加減實質上是合並同類項。幾個整式相加減，通常用括弧把每一個整式括起來，再用加減號連接起來，一般步驟是：（1）如果遇到括弧，按去括弧法則先去括弧；（2）合並同類項。
28、 同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加，即am•an=am+n(m、n都是正整數)
29、 冪的乘方與積的乘方法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘，即（am）n =amn(m、n都是正整數)；積的乘方，等於把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪的相乘，即（ab）n =ambn(n是正整數)
30、 單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其餘字母連同它的指數不變，作為積的因式。單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘以多項式的每一個項，再把所得的積相加，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
31、 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2
32、 完全平方式：a2±2ab+b2，特別注意交叉項的正負性和2倍。(a+b)2=(a-b)2+4ab
33、 同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即am÷an=am-n(a≠0，m、n都是正整數，m>n)
34、 零次冪、負整數次冪的意義：a0=1(a≠0)；a-p= (a≠0，p是正整數)
35、 單項式除以單項式：單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對於只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。
36、 多項式除以單項式：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。
37、 應該注意整式乘法與除法中的符號運算。
38、 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式，多項式的因式分解常用的方法有：提取公因式法、公式法。
39、 分解因式的公式：平方差公式： a2-b2= (a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab+b2= (a±b)2
40、 分解因式的一般步驟：提公因式；二項考慮平方差公式，三項的考慮完全平方公式或十字相乘法；四項及以上考慮分組分解法。有時得用換元法（整體考慮）或者比較系數法。
41、 幾個整式相乘，所有最高次項相乘得最高次項，最低次項相乘得最低次項。
42、 分式：如果除式B中含有字母，那麼稱 為分式。當B=0時，分式無意義；當A＝0且B≠0時，分式的值為0；當B≠0時，分式有意義。
43、 分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等於零的整式，分式的值不變，即 。
44、 分式的乘除法：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；兩個分式相除，把除式的分子與分母顛倒位置後現與被除式相乘。即 。
45、 約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形叫做分式的約分。
46、 分子、分母和分式三個符號的同時改變兩個，其結果不變，分數線有時起著括弧的作用，即 。
47、 分式的加減法：同分母的加減，分母不變，把分子相加加減；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然後再按同分母分式的加減法法則進行計算。即 。
48、 分式的乘方：
49、 混合運算：先乘方，再乘除，最後加減，有括弧的先算括弧裡面的。
50、 解分式方程的一般步驟：去分母，將分式方程化為整式方程；解這個整式方程；驗根，把整式方程的根代入最簡公分母，若值不為0，則是原方程的根，若值為0，則是原方程的增根，捨去。
51、 分式方程的應用：分式方程應用題與一元方程應用題類似，不同的是注意雙檢驗：（1）檢驗所求的解是不是原方程的解；（2）檢驗所求的解是否符合題意。注意已知增根，求待定字母的取值。
52、 分式方程有解的條件為：去分母後的整式方程有解；去分母後的整式方程的解不能都為增根。
53、 當結果中含有根式時，一定要化成最簡根式。
54、 二次根式的相關概念：（1）平方根和算術平方根。一般地，如果一個正數x的平方等於a，即x2=a，那麼這個正數x就叫做a的算術平方根，記為 ，我們規定0的算術平方根是0，即 。如果一個數x的平方等於a，即x2=a，那麼這個數x就叫做a的平方根（也叫二次方根），記為± 。一個正數有兩個平方根；0隻有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根。求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。（2）立方根。如果一個數x的立方等於a，即x3=a，那麼這個數x就叫做a的立方根。正數的立方根是正數；0的立方根是0；負數的立方根是負數。
55、 一個正數正的平方根叫做它的算術平方根。
56、 最簡二次根式：被開方數的因數都是整數，因式都是整式；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。
57、 二次根式的化簡：
； ；
58、 二次根式的計算： ； ；
59、 二次根式的加減法主要是把根式化成最簡二次根式後合並同類二次根式。幾個二次根式化成最簡二次根式後，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不再含有二次根式，稱這兩個二次根式互為有理化因式。把分母中的根號化去，叫做分母有理化。
60、 兩個式子比較大小的方法有：直接比較法、求差比較法、求商比較法、中間量傳遞；另外還有指數形式往往把底數或指數化為相同；二次根式還有分母有理化或分子有理化；
61、 方程（組）及解的概念：含有未知數的等式叫做方程。在一個方程中，只含有一個未知數x（元），並且未知數的指數是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程，其標准形式為 。使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解。含有兩個未知數，並且所含未知數的的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。只含有一個未知數的整式方程，並且未知數最高次數是2的方程叫做一元二次方程，其一般形式為 。
62、 方程或方程組的解法：（1）等式的性質：等式的兩邊同時加上（或減去）同一個代數式（或除以同一個不為0的數），所得結果仍是等式。（2）一元一次方程的解：一般要通過去分母、去括弧、移項、合並同類項、未知數的系數化為1，把一個一元一次方程「轉化」成x=a的形式。（3）二元一次方程組的解法：解方程組的基本思路是「消元」——把「二元」變為「一元」。主要方法有代入消元法和加減消元法。其中代入消元法常用步驟是：要消哪一個字母，就用含其它字母的代數式表示出這個字母，然後用表示這個字母的代數式代替另外的方程中的這個字母即可。（4）一元二次方程的解法有配方法、公式法、分解因式法。（5）一元二次方程 的判別式 。當 >0時 有兩個不相等的實數根；當 =0時 有兩個相等的實數根；當 <0時 沒有實數根。（6）若 、 是 的兩實數根，則有 ， 。（7）對於一元二次方程 ， 方程有一個根為0； 方程有一個根為1； 方程有一個根為-1；
63、 關於方程 ，（1）當 時，方程有唯一解 ；（2）當a=0， 0時，方程無解；（3）當a=0，b=0時，方程的解為全體實數。
64、 關於方程組 ，（1）當 時方程組有唯一解；（2）當 時方程組無解；（3）當 時方程組有無數組實數解。
65、 用公式法解一元二次方程時，首先要將一元二次方程化為一般形式，找出a,b,c的值，即先計算判別式 ，再用求根公式 ；用配方法解一元二次方程時，先將方程二次項系數化為1，然後兩邊同時加上「一次項系數一半的平方」。特別注意別漏掉一個根。注意換元法的使用。
66、 一元二次方程的近似解的求法，實質是利用夾逼方法進行求解的。
67、 列方程、方程組解應用題的一般步驟是：審題；設未知數；列方程或方程組；解方程或方程組；檢驗並寫出答案。審題是基礎，找出等量關系，建立方程（組）模型是關鍵。
68、 利潤率= = ；打a折，即降價為原來的 。
69、 降次的常用方法是：直接開方降次、分解因式降次，代入降次。
70、 不等式的性質：（1）基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變；（2）基本性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（3）基本性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向要改變。
71、 不等式和不等式組的解法：（1）能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解，求不等式的解集的過程叫做解不等式；（2）一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。記住多畫畫數軸。
72、 求一元一次不等式（組）的整數解的步驟：（1）求出一元一次不等式（組）的解集；（2）找出合適解集范圍的整數解、非負數解、正整數解或負整數解。
73、 已知不等式組的解集，確定不等式中的字母的取值范圍，有以下四種方法：（1）逆用不等式組解；（2）分類討論確定；（3）從反而求解確定；（4）藉助數軸確定。
74、 一次函數 ，當函數值y>0或y<0時，一次函數轉化成不等式，利用函數圖象、確定函數值和自變數的取值范圍。
75、 在平面內確定一個點的位置，通常需要兩個量，這兩個量可以是兩個數，也可以是一個角度、一個數。平面內，確定物體位置的的方法主要有兩類：（1）定點的位置：①線線相交，用交點的唯一性位置；②方位角+距離：以某一點為觀察點，用方位角、目標到達這個點的距離這兩個數據來確定目標的位置。（2）定區域的位置。

76、 平面直角坐標系點的坐標特徵：（1）平面直角坐標系有關概念；（2）點的坐標特徵：x軸上的點，縱坐標為零，y軸上的點，橫坐標為零。即表示為（a,0）、（0,b）。第一象限點（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）；（3）對稱點的坐標：P(a,b)關於x軸，y軸和原點的對稱點分別為(a,-b),(-a,b),(-a,-b)；P(a,b)關於y=x，y=-x對稱的點的坐標為((b,a),(-b,-a)；P(a,b)關於y=y0，x=x0對稱的點的坐標為((a,2y0-b),(2x0-a,b)；（4）象限角平分線上的點的特徵：第一、三象限角平分線上的點的特徵是（a,a）（直線解析式為y=x）；第二、四象限角平分線上的點的特徵是（-a,a）或(a,-a)。
77、 圖形的變化：
變化前的點坐標(x,y) 坐標變化 變化後的點坐標 圖形變化
平移 橫坐標不變，縱坐標加上（或減去）n（n>0）個單位長度 (x,y+n)或(x,y-n) 圖形向上（或向下）平移了n個單位長度
縱坐標不變，橫坐標加上（或減去）n（n>0）個單位長度 (x+n,y)或(x-n,y) 圖形向右（或向左）平移了n個單位長度
伸長 橫坐標不變，縱坐標擴大n（n>1）倍 (x,ny) 圖形被縱向拉長為原來的n倍
縱坐標不變，橫坐標擴大n（n>1）倍 (nx,y) 圖形被橫向拉長為原來的n倍
壓縮 橫坐標不變，縱坐標縮小n（n>1）倍 (x, )
圖形被縱向縮短為原來的

縱坐標不變，橫坐標縮小n（n>1）倍 ( ,y)
圖形被橫向縮短為原來的

放大 橫縱坐標同時擴大n（n>1）倍 (nx ,ny) 圖形變為原來的n2倍
縮小 橫縱坐標同時縮小n（n>1）倍 ( , )
圖形變為原來的

78、 求與幾何圖形聯系的特殊點的坐標，往往是向x軸或y軸引垂線，轉化為求線段的長，再根據點所在的象限，醒上相應的符號。求坐標分兩種情況：（1）求交點，如直線與直線的交點；（2）求距離，再將距離換算成坐標，通常作x軸或y軸的垂線，再解直角三角形。
79、 一般地，在某一個變化過程中，有兩個變數x和y，如果給定一個x值，相應奪就確定了一個y值，那麼我們稱y是x的函數，其中x是自變數，y是因變數。函數的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。
80、 把一個函數關系式的自變數x與對應的因變數y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在平面坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。即：若點P(x,y)的坐標滿足函數關系式，則點P在函數圖象上；反之，若點P在函數圖象上，則P(x,y)的坐標滿足函數關系式。描點法畫函數圖象的步驟：列表、描點、連線。
81、 要使函數關系式有意義：
函數關系式形式 自變數取值范圍
整式函數 全體實數
分式函數 使分母不為零
根式函數 偶次根式 使被開方數非負
奇次根式 全體實數
零指數、負指數形式函數 使底數不為零
82、 正比例函數與一次函數的概念：（1）一次函數：形如 （k≠0，k，b是常數）的函數叫做一次函數。（2）正比例函數：形如，k是常數）的函數叫做正比例函數。（3）正比例函數與一次函數的關系：正比例函數是一次函數的特殊情形。
83、 一次函數的圖象和性質：（1）圖象：一次函數的圖象是過點（ ，0），（0，b）的一條直線，正比例函數的圖象是過點（0，0），（1，k）的直線；|k|越大，（1，k）就越遠離x軸，直線與x軸的夾角越大；|k|越小，（1，k）就離x軸越近，直線與x軸的夾角越小；（2）性質：k>0時，y隨x增大而增大；k<0時，y隨x增大而減小；（3）圖象跨越的象限：①k>0,b>0經過一、二、三象限；②k<0,b>0經過一、二、四象限；③k>0,b<0經過一、三、四象限；④k<0,b<0經過二、三、四象限。即k>0，一三；k<0，二四；b>0，一二；b<0，三四。（4）直線 和 的位置關系為： ； 相交於y軸上；
b>0 b=0 b<0 增減性
k>0 y隨著x增大而增大
k<0 y隨著x增大而減小
84、 用割補法求面積，基本思想是全面積等於各部分面積之和，在割補時需要注意：盡可能使分割出的三角形的邊有一條在坐標軸上，這樣表示面積較為方便。坐標平面內圖形面積演算法：把圖形分割或補為底邊在坐標軸或平行於坐標軸的直線上的三角形、梯形等。
85、 求函數的解析式往往運用待定系數法，待定系數法的步驟：（1）設出含待定系數的函數解析式；（2）由已知條件得出關於待定系數的方程（組），解這個方程（組）；（3）把系數代回解析式。
86、 仔細體會一次函數與一元一次方程及一元一次不等式之間的內在聯系：（1）一元一次方程kx+b=y0(y0是已知數)的解就是直線 上，y=y0這點的橫坐標；（2）一元一次不等式y1≤kx+b≤y2(y1,y2是已知數，且y1<y2)的解集就是直線 上滿足y1≤y≤y2那條線段所對應的自變數的取值范圍。（3）一元一次不等式kx+b≤y0（或kx+b≥y0）（y0是已知數）的解集就是直線 上滿足y≤y0（或y≥y0）那條線段所對應的自變數的取值范圍。
87、 反比例函數的定義及解析式求法：（1）定義：形如 （k≠0，k是常數）的函數叫做反比例函數，其自變數取值范圍是x≠0；（2）解析式求法：應用待定系數法求k值，由於k=xy，故只需要已知函數圖象上一點，即求出函數的解析式。
88、 反比例函數的圖象和性質：（1）圖象：反比例函數的圖象是雙曲線，當k>0時，雙曲線的兩個分支在第一、三象限；當k<0時，雙曲線的兩個分支在第二、四象限。（2）性質：當k>0時，在每一象限內，y隨x的增大而減小；當k<0時，在每一象限內，y隨x的增大而增大；圖象是關於原點對稱的中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，其對稱軸為y=x，y=-x。
89、 正、反比例函數圖象及性質對比：
k值
函數性質 k>0 k<0
（k≠0）
圖象

性質 y隨著x增大而增大 y隨著x增大而減小
（k≠0）
圖象

性質 y隨著x增大而減小 y隨著x增大而增大
90、 （1）利潤最大、費用最低等一類問題，往往可通過建立函數模型進行解決；（2）運輸等問題可採用列表或畫圖的方法來分析其數據間的關系，這樣易於理清錯綜復雜的數據，對解題有極大的幫助；（3）方案設計問題，往往先建立不等式，轉化為求不等式的整數解的問題。
91、 二次函數的定義和解析式求法：（1）形如 （a、b、c為常數，a≠0）的函數叫二次函數；（2）用待定系數法求二次函數解析式，其解析式有三種形式。一般式： ，主要用於已知拋物線上任意三點的坐標；交點式： ，其中（ ，0）與（ ，0）是拋物線與x軸的兩點交點的坐標，主要用於已知與x軸兩個交點的坐標或兩點間的距離及對稱軸；頂點式： ，其中（h，k）是拋物線的頂點坐標，主要用於已知拋物線的頂點坐標或對稱軸或最大（小）值。
92、 二次函數的圖象是一條拋物線，它具有以下性質：（1）拋物線 的頂點坐標是（ ， ），對稱軸是直線 ；當a、b同號時，對稱軸在y軸的左側；當a、b異號時，對稱軸在y軸的右側；當b=0時，對稱軸為y軸。（2）當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下；|a|決定拋物線開口大小；|a|越大，拋物線開口越小；|a|越小，拋物線開口越大。（3）當a>0， 時，y有最小值 ；當a<0， 時，y有最大值 。（4）增減性：對於二次函數 。①若a>0，當 時，y隨x的增大而減小；當 時，y隨x的增大而增大；②若a<0，當 時，y隨x的增大而增大；當 時，y隨x的增大而減小。（5）拋物線與y軸交點為(0,c)，當c>0時，交點在y軸的正半軸；當c<0時，交點在y軸的負半軸；當c=0時，經過原點。
93、 對於拋物線，a的符號由開口方向確定，b由對稱軸確定，c由拋物線與y軸的交點確定，2a±b由對稱軸確定，a-b+c由x=-1時y的符號確定，4a-2b+c由x=-2時y的值確定。即拋物線經過（1，a+b+c）、（-1，a-b+c）、(-2，4a-2b+c)等點。求兩個函數圖象的交點坐標，就是把兩個函數的解析式聯立成方程組，求出的解就是交點坐標。直線與拋物線的交點有三種情況：當方程組有兩解時，有兩個交點（△>0）；當有一個解時，即有一個交點（△=0）；當沒有解時，即不存在交點（△<0）。
94、 構造二次函數模型，求最大（小）值。
95、 選擇題的解題辦法：數形結合的觀察法、特殊值法、驗證法、排除法、直解法。
96、 對於拋物線 ，與x軸交點A（ ，0）、B（ ，0）則（1）|AB|=| - |= ，對稱軸
97、 函數關系式 點坐標 線段長 幾何知識的應用。

㈥ 換元法的基本步驟

換元法的基本步驟

換元法是一種重要的思想方法，它在初中數學有著廣泛的應用。換元法的基本思想是引進新的變數，把一個復雜的數學問題轉化為若干個簡單的數學問題。只要把這些簡單問題一加一解決，就可以使原來的復雜問題得到解決。因此換元法可以把問題化難為易，化繁為簡，化未知為已知，並且能夠開拓思路，獲得運算的技能技巧。

使用換元法的關鍵在於換元式的確定，這要視具體問題而定。但是，換元式的確定有一些基本原則，即換元後要使原式降次，整式化（去分母），有理式（去根號）等，從而使某些數量關系明朗，使所得新的代數式或方程等易於求解。