⑴ 不等式解題技巧高中
高中數學經典的解題技巧和方法（不等式）
【編者按】不等式是高中數學考試的必考內容，而且是這幾年考試解答題的必選，無論是期中、期末還是會考、高考，都是高中數學的必考內容之一。因此，馬博士教育網數學頻道編輯部特意針對這部分的內容和題型總結歸納了具體的解題技巧和方法，希望能夠幫助到高中的同學們，讓同學們有更多、更好、更快的方法解決數學問題。好了，下面就請同學們跟我們一起來探討下集合跟常用邏輯用語的經典解題技巧。
首先，解答不等式這方面的問題時，先要搞清楚以下幾個方面的基本概念性問題，同學們應該先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解決問題：
1．不等關系
了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景。
2．一元二次不等式
（1）會從實際情境中了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系。
（3）會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖。
3．二元一次不等式組與簡單線性規劃問題
（1）會從實際情境中抽象出二元一次不等式組。
（2）了解二地一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組。
（3）會從實際情境中抽出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決。
4．基本不等式：
（1）了解基本不等式的證明過程。[來源:學科網]
（2）會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題。
好了，搞清楚不等式的基本內容之後，下面我們就看下針對這方面內容的具體的解題技巧。
一、不等式的求解問題
考情聚焦：1.求不等式解集及構建不等求參數取值范圍問題是高考中對不等式考查的一個重要考向,每年高考均有重要體現。
2.常考查一元二次不等及可轉化為一元二次不等式的簡單分式不等式、指數、對數不等式的解法。以選擇、填空為主，屬中檔題。
解題技巧：1.求解一元二次方程不等式的基本思路：先化為一般形式，再求相應一元二次方程的根，最後根據相應二次函數圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集。
2.解簡單的分式、指數、對數不等式的基本思想是利用相關知識轉化為整式不等式（一般為一元二次不等式）求解。
3.解含參數不等的難點在於對參數的恰當分類，關鍵是找到對參數進行討論的原因。確定分類標准、層次清楚地求解。
例1：（2010·全國卷Ⅰ文科·T13）)不等式的解集是 .
【命題立意】本小題主要考查不等式及其解法
【思路點撥】首先將因式分解，然後將化為三個因式乘積的形式，
採用「序軸標根法」即穿根法求解集.
【規范解答】，
數軸標根得：
【答案】
二、不等式恆成立問題
考情聚集：1.不等式恆成立以及可轉化為不等式恆成立的問題是近幾年高考的熱點，在各省市高考中占較大比重且點重要的位置。
2.常與函數的圖象、性質、方程及重要的思想方法交匯命題，多以解答題的形式出現，屬中檔偏上題目。
解題技巧：求解不等式恆成立問題的常用思想方法：
1.分離參數法：通過分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題求解。
2.函數思想：轉化為求含參數的最值問題求解。
3.數形結合思想：轉化為兩熟悉函數圖象間的上、下關系求解。
例2：已知二次函數f(x)滿足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)對於x∈R恆成立.
(1)求f(1);
(2)求f(x)的表達式；
(3)設,定義域為D，現給出一個數學運算程序：
若xn∈D,則運算繼續下去；若xnD,則運算停止.給出, 請你寫出滿足上述條件的
集合D={x1,x2,x3,…,xn}.．（滿分13分）
解析：(1)由8x≤f (x)≤4(x2+1),令x=1得8≤f (1)≤8,
∴f (1)=8.
(2)設f (x)=ax2+bx+c(a≠0),由(1)及f (-1)=0得b=4,a+c=4.
又ax2+bx+c≥8x,即ax2-4x+c≥0,對x∈R恆成立,
∴,即(a-2)2≤0,∴a=2,c=2.故f (x)=2(x+1)2.
(3)由g(x)=
由題意x1=,x2=g(x1)=,x3=g(x2)=-,x4=g(x3)=-1,x5無意義，故D={,,-,-1}
三、線性規劃問題
考情聚焦:1.線性規劃是中學教材中僅有的幾個具有實際應用操作的考點之一,又具有全面考查直線知識與數形結合思想的強大功能,是各省市高考的重點.
2.常與函數、直線、實際問題等交匯命題，多以選擇、填空題形式出現。
解題技巧：1.線性規劃問題一般有三種題型:一是求最值;二是求區域面積;三是最優解情況或可行域情況確定參數的值或取值范圍.
2.解決線性規劃問題首先要找到可行域,再注意目標函數所表示的幾何意義,數形結合找到目標函數達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點),但要注意作圖一定要准確,整點問題要驗證解決.
例3: （2010·安徽高考文科·T8）設x,y滿足約束條件則目標函數z=x+y的最大值是（ ）
（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8
【命題立意】本題主要考查線性規劃問題，考查考生的作圖、運算求解能力。
【思路點撥】由約束條件畫可行域確定目標函數的最大值點計算目標函數的最大值
【規范解答】選C．約束條件表示的可行域是一個三角形區域，3個頂點分別是，目標函數在取最大值6，故C正確．
【方法技巧】解決線性規劃問題，首先作出可行域，若為封閉區域（即幾條直線圍成的區域），則區域中的某個端點使目標函數取得最大或最小值．
四、利用基本不等式求最值問題
考情聚焦:1.利用基本不等式求函數最值是確定函數最值的重要方法,為近幾年各省市高考的熱點.
2.常與函數、解析幾何、立體幾何和實際問題交匯命題，多以中檔題形式出現.
例4: （2009江蘇高考）按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為元，如果他賣出該產品的單價為元，則他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.
現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為元和元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為
(1)求和關於、的表達式；當時，求證：=；
(2)設，當、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？
(3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。
【解析】(1)
當時，,
, =
（2）當時，
由，故當即時，
甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為。
（3）由（2）知：=
由得：，
令則，即：。
同理，由得：
另一方面，
當且僅當，即=時，取等號。由（1）知=時h甲=h乙
所以不能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立。