有理函數積分常用的方法

❶ 這個有理函數積分怎麼算

這個屬於有理函數的積分，有一整套方法，叫著奧斯特洛格拉德斯基方法，也可稱作待定系數法。
方法為：1.求出分母的實根（1個或3個），2.化為待定系數的部分分式之和 3.解方程組或特值法確定待定系數。4.求出各部分分式的原函數。
如果你有具體的題目，我可以給你詳細解答。

❷ 求三角函數有理式積分

三角函數有理式是指由三角函數和常數經過有限次四則運算所構成的函數。由於各種三角函數都可用s¡nx
和cosx的有理式表示，記做ƒ(s¡nx，cosx)。三角函數有理式積分都可以化為有理函數的積分。
下面分類給出將三角函數有理式積分化為有理函數的積分方法
1
、可化為∫ƒ(s¡nx)
cosxdx；∫ƒ(cosx)s¡nxdx；
∫ƒ(tanx)sec2xdx；
∫ƒ(cotx)csc2xdx
型積分
可令t=s¡nx
，t=cosx，t=tanx，t=cotx
化為有理函數積分
如∫cos2xs¡n3xdx=∫cos2x(1-cos2x)s¡nxdx
=∫ƒ(cosx)s¡nxdx
=∫ƒ(t)dt
(令t=cosx)
∫sec4xdx=∫(1+tan2x)sec2xdx
=∫ƒ(tanx)sec2xdx
=∫ƒ(t)dt
(令t=tanx)
2
、若ƒ(s¡nx，cosx)=
ƒ(-s¡nx，-cosx)
可令t=tanx
得有理函數積分
如
∫a2sin2x+b2cos2x(1)dx
=∫（a2tan2x+b2）cos2x(1)dx
=∫g(t)dt
(令t=tanx)
3、一般ƒ(s¡nx，cosx)型，可採用萬能置換公式化為有理函數積分
令t=tan
2(x)則
sinx=
1+t2(2t)
cosx=
1+t2(1-t2)
dx=
1+t2(2)dx
如
∫1+cosx(1-cosx)dx
=∫1+t2(2t2)dt
=∫g(t)dt

❸ 有理函數的積分

答：
2.
令tanx=t，則x=arctant，dx=dt/(1+t^2)。
原積分
=∫1/(1+t)*1/(1+t^2) dt
=1/2*∫[1/(1+t)+(1-t)/(1+t^2)] dt
=1/2ln|1+t|+1/2arctant-1/4ln(1+t^2) + C
=1/2ln|1+tanx|+x/2+1/2ln|cosx|+ C
=1/2(x+ln|sinx+cosx|) + C

3.
令t=(x+1)^(1/6)，則x=t^6-1，dx=5t^5dt
原積分
=∫ 5t^5/(t^3+t^2) dt
=5∫ [(t^3+t^2)-(t^2+t)+(t+1)-1]/(t+1) dt
=5∫ t^2-t+1-1/(t+1) dt
=5t^3/3-5t^2/2+5t-5ln|1+t| + C
=5(x+1)^(1/2)/3-5(x+1)^(1/3)/2+5(x+1)^(1/6)-5ln((x+1)^(1/6)+1) + C

4.
令tanx=t，則x=arctant，cost=1/√(1+t^2)，dx=dt/(1+t^2)
原積分
=∫1/(1+8(cosx)^2)dx
=∫ dt/(9+t^2)
=1/9 ∫ dt/(1+(t/3)^2)
=1/3 ∫ d(t/3)/(1+(t/3)^2)
=1/3arctan(t/3)
=1/3arctan((tanx)/3) + C

5.是(cosx)^3吧？
原積分
=∫[(sinx)^2+(cosx)^2]/(sinx(cosx)^3) dx
=∫ sinx/(cosx)^3 + 1/(sinxcosx) dx
=1/(2(cosx)^2) + 2∫1/(sin2x) dx
=1/(2(cosx)^2) + ln|cot2x-csc2x| dx
=1/(2(cosx)^2) + ln|tanx| dx

形如∫R(sinx,cosx)dx（式中R為有理函數）的積分一般情形可用代換tan(x/2)=t化為有理函數積分。
（1）若等式R(-sinx,cosx)≡-R(sinx,cosx)，則最好用代換cosx=t；
R(sinx,-cosx)≡-R(sinx,cosx)，則最好用代換sinx=t。
（2）若等式R(-sinx,-cosx)≡R(sinx,cosx)成立，則最好用代換tanx=t。

上面第2，4題滿足（2）情況，第1題滿足（1）情況，就是最好令cosx=t，但是我沒做出來。
公式如下：
∫1/(1+εx)dx 當0<ε<1時
=2/√(1-ε^2)arctan(tan(x/2)√((1-ε)/(1+ε))) + C；
∫1/(1+εx)dx 當0ε>1時
=1/√(ε^2-1)ln|[ε+cosx+sinx√(ε^2-1)]/(1+εcosx)| + C.
第1題因為sinx=cos(x-π/2)，代入上式可得到答案：
=1/√3 ln|[2+cos(x-π/2)+√3sin(x-π/2)]/(1+2cos(x-π/2))|
=1/√3 ln|[2+sinx-√3cosx]/(1+2sinx)|
求導後檢驗正確。

❹ 求有理函數積分的方法

x²+x+1=(x+1/2)²+3/4
三角換元令x=(√3/2)tanu-1/2
dx=(√3/2)sec²u
=∫(√3/2)(-3tan²u/4+√3tanu/2-9/4)/(9/16)sec²u
=2√3/9∫(-3sin²u+2√3sinucosu-9cos²u)
=2√3/9∫√3sin2u-3-3(cos2u+1)
=(1/3)(-cos2u)-4√3u/3-(√3/3)sin2u+C

❺ 有理函數的積分是什麼

求有理函數的積分時，先將有理式分解為多項式與部分分式之和，再對所得到的分解式逐項積分。有理函數的原函數必是有理函數、對數函數與反正切函數的有理組合。

根據代數知識，有理真分式必定可以表示成若干個部分分式之和(稱為部分分式分解)，因而問題歸結為求那些部分分式的不定積分。

積分基本公式

1、∫0dx=c

2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c

3、∫1/xdx=ln|x|+c

4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5、∫e^xdx=e^x+c

6、∫sinxdx=-cosx+c

7、∫cosxdx=sinx+c

8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

❻ 有理函數的積分法

1/(x-1)^2(x+2)
=a/(x-1)^2+b/(x-1)+c/(x+2)
a=1/3,b=-1/9,c=1/9
所以是(1/3)*(x-1)^(-2)-(1/9)*1/(x-1)+(1/9)*1/(x+2)
所以積分=(1/3)*[-(x-1)^(-1)]-(1/9)ln|x-1|+(1/9)ln|x+2|+C
=-1/(3x-3)+(1/9)ln|(x+2)/(x-1)|+C

❼ 有理函數的不定積分拆分方法

求有理函數的積分時，先將有理式分解為多項式與部分分式之和，再對所得到的分解式逐項積分。有理函數的原函數必是有理函數、對數函數與反正切函數的有理組合。

積分函數f(x)=(x^2+1)/[(x-1)(x+1)^2]

用待定系數法，設分拆成以下有理分式f(x)=A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x+1)^2

通分得f(x)=[A(x+1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x-1)]/[(x-1)(x+1)^2]

=[(A+B)x^2+(2A+C)x+(A-B-C)]/[(x-1)(x+1)^2]

與原式比較，分母同，分子中x同次冪的系數必然相同，得

A+B=1,2A+C=0,A-B-C=1,聯立解得A=B=1/2,C=-1,

則f(x)=(1/2)[1/(x-1)+1/(x+1)]-1/(x+1)^2。

❽ 高數有理函數的積分怎麼求

∫[(x-3)/(x-1)(x²-1)]dx=∫(x-3)/(x-1)²(x+1)]dx;
將被積函數進行拆項：(x-3)/(x-1)²(x+1)]=[(ax+b)/(x-1)²]+c/(x+1)[下面通分]
=[(ax+b)(x+1)+c(x-1)²]/[(x-1)²(x+1)]=[ax²+(a+b)x+b+cx²-2cx+c]/[(x-1)²(x+1)]
=[(a+c)x²+(a+b-2c)x+(b+c)]/[(x-1)²(x+1)][因為是恆等變換，兩邊對應項的系數應該相等]
因此有方程組：a+c=0........①；a+b-2c=1...........②；b+c=-3...........③
三式聯立求解：①+③得a+b+2c=-3........④；④-②得：4c=-4，∴c=-1；a=1，b=-2；
∴∫[(x-3)/(x-1)(x²-1)]dx=∫[(x-2)/(x-1)²]dx-∫[1/(x+1)]dx
=∫[(x-2)/(x²-2x+1)]dx-∫[1/(x+1)]d(x+1)
=(1/2)∫[(2x-2)/(x²-2x+1)]dx-∫[1/(x-1)²]d(x-1)-∫[1/(x+1)]d(x+1)
=(1/2)∫d(x²-2x+1)/(x²-2x+1)-∫d(x-1)/(x-1)²-∫[1/(x+1)]d(x+1)
=(1/2)ln∣x²-2x+1∣+[1/(x-1)]-ln∣x+1∣+C
=ln∣(x-1)/(x+1)∣+[1/(x-1)]+C;

❾ 關於有理函數的積分求法問題。

答：
2.
令tanx=t，則x=arctant，dx=dt/(1+t^2)。
原積分
=∫1/(1+t)*1/(1+t^2)
dt
=1/2*∫[1/(1+t)+(1-t)/(1+t^2)]
dt
=1/2ln|1+t|+1/2arctant-1/4ln(1+t^2)
+
c
=1/2ln|1+tanx|+x/2+1/2ln|cosx|+
c
=1/2(x+ln|sinx+cosx|)
+
c
3.
令t=(x+1)^(1/6)，則x=t^6-1，dx=5t^5dt
原積分
=∫
5t^5/(t^3+t^2)
dt
=5∫
[(t^3+t^2)-(t^2+t)+(t+1)-1]/(t+1)
dt
=5∫
t^2-t+1-1/(t+1)
dt
=5t^3/3-5t^2/2+5t-5ln|1+t|
+
c
=5(x+1)^(1/2)/3-5(x+1)^(1/3)/2+5(x+1)^(1/6)-5ln((x+1)^(1/6)+1)
+
c
4.
令tanx=t，則x=arctant，cost=1/√(1+t^2)，dx=dt/(1+t^2)
原積分
=∫1/(1+8(cosx)^2)dx
=∫
dt/(9+t^2)
=1/9
∫
dt/(1+(t/3)^2)
=1/3
∫
d(t/3)/(1+(t/3)^2)
=1/3arctan(t/3)
=1/3arctan((tanx)/3)
+
c
5.是(cosx)^3吧？
原積分
=∫[(sinx)^2+(cosx)^2]/(sinx(cosx)^3)
dx
=∫
sinx/(cosx)^3
+
1/(sinxcosx)
dx
=1/(2(cosx)^2)
+
2∫1/(sin2x)
dx
=1/(2(cosx)^2)
+
ln|cot2x-csc2x|
dx
=1/(2(cosx)^2)
+
ln|tanx|
dx
形如∫r(sinx,cosx)dx（式中r為有理函數）的積分一般情形可用代換tan(x/2)=t化為有理函數積分。
（1）若等式r(-sinx,cosx)≡-r(sinx,cosx)，則最好用代換cosx=t；
r(sinx,-cosx)≡-r(sinx,cosx)，則最好用代換sinx=t。
（2）若等式r(-sinx,-cosx)≡r(sinx,cosx)成立，則最好用代換tanx=t。
上面第2，4題滿足（2）情況，第1題滿足（1）情況，就是最好令cosx=t，但是我沒做出來。
公式如下：
∫1/(1+εx)dx
當0<ε<1時
=2/√(1-ε^2)arctan(tan(x/2)√((1-ε)/(1+ε)))
+
c；
∫1/(1+εx)dx
當0ε>1時
=1/√(ε^2-1)ln|[ε+cosx+sinx√(ε^2-1)]/(1+εcosx)|
+
c.
第1題因為sinx=cos(x-π/2)，代入上式可得到答案：
=1/√3
ln|[2+cos(x-π/2)+√3sin(x-π/2)]/(1+2cos(x-π/2))|
=1/√3
ln|[2+sinx-√3cosx]/(1+2sinx)|
求導後檢驗正確。

❿ 高等數學中 解 積分題 一共會有 哪幾種方法呢

高等數學中積分除用定義積分外，主要是三大積分方法：直接積分法、換元積分法、分部積分法
直接積分：利用積分線性性質和積分公式來積分的方法
換元積分法：分第一換元積分法（又稱湊微分法）和第二換元積分法.
第一換元積分法是引入中間變數，積出來後需回代；湊微分法則不引入中間變數；
第二換元積分法是引入一個新的自變數，原積分變數作為中間變數，積出來後需反解並回代；
分部積分法：利用分部積分公式把原積分化為另一個積分來積分的方法，這里有一個選擇v『的優先序：
①指數函數、三角函數；②冪函數，多項式；③對數函數、反三角函數

其它的積分方法只是用一些變形技巧，包括有理函數積分、有理三角函數積分、簡單無理函數積分等等主要還是三大積分方法。