求軌跡方程的常用方法

㈠ 高中數學：求動點軌跡的方程都有什麼樣的類型，有什麼常用的方法

1直接法：根據軌道上的動點所適合的條件直接列出等式
2定義法：若可以分析出軌跡是什麼曲線可列出曲線方程代入求解。
3代入法：如果p點所在曲線已知，而p與q點坐標之間可以
建立某種聯系則可借p的方程解出q。
4參數法：若動點坐標關系難以找出，可以引入參數令
x=f(t),y=f(t)之後再消去參數即可。
總的步驟為：1建立坐標系設出動點 2尋找動點與已知的聯系 3 代入動點與已知點坐標，化簡出軌跡方程

㈡ 求點的軌跡方程的方法

求點的軌跡方程的方法，一般來說是要先建立一個方程式或者是幾個方程式，然後解出軌跡的一個方程。

㈢ 軌跡方程的幾種常用求法

求動點的軌跡方程要根據題設條件靈活地選擇方法.常用的方法有兩大類，一類是直接求法，包括利用圓錐曲線的定義等；另一類是間接求法，主要包括相關點法和參數法.
一、 直接法
一般情況下，動點在運動時，總是滿足一定的條件的（即動中有靜，變中有不變），可設動點的坐標為(x,y)，然後選擇適當的公式（如兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，兩點連線的斜率公式，兩直線（向量）的夾角公式，定比分點坐標公式，三角形面積公式等），或一些包含等量關系的定理、定義等，將題設條件轉化成x,y之間的關系式（等式），從而得到動點的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為直接法.
例1 已知定點a（-1，0），b（2，0），動點m滿足2∠mab=∠mba,求點m的軌跡方程.
解析 直接設點m為（x,y），先將2∠mab=∠mba轉化成直線ma，mb的斜率的關系式，便可得點m的軌跡方程.
圖1
如圖1，設∠mab=α,則∠mba=2α,顯然0≤α＜90°.
(1) 當2α≠90°時，
若m點在x軸上方，
則有tanα=kma=yx+1,tan(π-2α)=kmb=yx-2.
若點m在x軸下方，則有tan(π-α)=kma=yx+1,tan2α=kmb=yx-2.
於是總有-yx-2=2y1+x1-y2(1+x)2,注意到|ma|＞|mb|，可得x2-y23=1(x≥1).
若點m在x軸上，則點m為線段ab上的點，所以有y=0（-1＜x＜2）.
（2） 當2α=90°時，△mab為等腰直角三角形，點m為（2，±3）.
綜上，點m的軌跡方程為x2-y23=1(x≥1)或y=0(-1＜x＜2＝.
二、 定義法
若動點在運動時滿足的條件符合某種已知曲線的定義，則可以設出其軌跡的標准方程，然後利用待定系數法求出其軌跡方程.這種求軌跡方程的方法稱為定義法，利用定義法求軌跡方程要熟知常見曲線的定義、特徵.
例2 設動點p到點a（-1，0）和b（1，0）的距離分別為d1，d2（d1d2≠0），∠apb=2θ.若存在常數λ(0＜λ＜1)，使得d1d2sin2θ=λ恆成立.
證明：動點p的軌跡c為雙曲線，並求出c的方程.
圖2
解析 如圖2，在△pab中，|ab|=2.
由餘弦定理，可得22=d21+d22-2d1d2cos2θ，即4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ，
又d1d2sin2θ=λ（常數），0＜λ＜1，
則有|d1-d2|
=4-4d1d2sin2θ=21-λ（常數）＜2=|ab|，
所以點p的軌跡c是以a,b為焦點，實軸長2a=21-λ的雙曲線，
從而a=1-λ，c=1,故b2=c2-a2=λ，
則c的方程為x21-λ-y2λ=1.
三、 代入法
若所求軌跡上的動點p(x,y)與另一個已知軌跡（曲線）c:f(x,y)=0上的動點q（x1,y1）存在著某種聯系，則可以把點q的坐標用點p的坐標表示出來，然後代入曲線c的方程f(x,y)=0中並化簡，即得動點p軌跡方程.這種求軌跡方程的方法叫做代入法（又稱相關點法）.
例3 已知定點a（4，0）和曲線c：x2+y2=4上的動點b，點p分ab之比為2∶1，求動點p的軌跡方程.
解析 要求動點p(x,y)的軌跡方程，即要建立關於p的坐標x,y的等量關系，而直接建立x,y的等量關系十分困難，但可以先尋找動點b(x0,y0)的坐標x0,y0之間的關系，再利用已知的p與b之間的關系（即x,y與x0,y0之間關系）得到關於x,y的方程.
設動點p為(x,y)，b為（x0,y0）.
因為ap=2pb,所以x=4+2x01+2,y=2y01+2,所以x0=3x-42,y0=3y2.
又因為點b在曲線c上，所以3x-422+94y2=4,即x-432+y2=169.
所以點p的軌跡方程為x-432+y2=169.
點評 代入法的主要步驟：
（1） 設所求軌跡上的任意一點為p(x,y)，相對應的已知曲線上的點為q(x1,y1);
（2） 建立關系式x1=g(x,y),y1=h(x,y)；
（3） 將這兩上式子代入已知曲線方程中並化簡，即得所求軌跡的方程.
四、 參數法
根據題設條件，用一個參數分別表示出動點(x,y)的坐標x和y，或列出兩個含同一個參數的動點(x，y)的坐標x和y之間的關系式，這樣就間接地把x和y聯系起來了，然後聯立這兩個等式並消去參數，即可得到動點的軌跡方程.這種求軌跡的方法稱為參數法.
例4 已知動點m 在曲線c：13x2+13y2-15x-36y=0上，點n在射線om上，且|om|·|on|=12，求動點n的軌跡方程.
解析 點n在射線om上，而在同一條以坐標原點為端點的射線上的任意兩點（x1,y1）,(x2,y2)的坐標的關系為x1x2=y1y2=k,k為常數且k＞0,故可採用參數法求點n的軌跡方程.
設n為（x,y）,則m為（kx,ky）,k＞0.
因為|om|·|on|=12，所以k2(x2+y2)·x2+y2=12，
所以k(x2+y2)=12.
又點m在曲線c上，所以13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0.
由以上兩式消去k,得5x+12y-52=0,
所以點n的軌跡方程為5x+12y-52=0.
點評 用參數法求軌跡方程的步驟為：先引進參數，用此參數分別表示動點的橫、縱坐標x,y；再消去參數，得到關於x,y的方程，即為所求的軌跡方程.注意參數的取值范圍對動點的坐標x和y的取值范圍的影響.
另外，求動點的軌跡方程時，還應注意下面幾點：
（1） 坐標系要建立得適當.這樣可以使運算過程簡單，所得到的方程也比較簡單.
（2） 根據動點所要滿足的條件列出方程是最重要的一環.要做好這一步，應先認真分析題設條件，綜合利用平面幾何知識，列出幾何關系（等式），再利用解析幾何中的一些基本概念、公式、定理等將幾何關系（等式）坐標化.
（3） 化簡所求得的軌跡方程時，如果所做的變形不是該方程的同解變形，那麼必須注意在該變形過程中是增加了方程的解，還是減少了方程的解，並在所得的方程中刪去或補上相應的點，這時一般不要求寫出證明過程.

㈣ 軌跡方程怎麼求

1、直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡後即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

2、定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

3、相關點法：用動點Q的坐標x,y表示相關點P的坐標x0、y0，然後代入點P的坐標（x0,y0）所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法。

4、參數法：當動點坐標x、y之間的直接關系難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數t的關系，得再消去參變數t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數法。

5、交軌法：將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

(4)求軌跡方程的常用方法擴展閱讀：

求的軌跡方程的基本步驟：

1、建立適當的坐標系，設出動點M的坐標;

2、寫出點M的集合；

3、列出方程=0;

4、化簡方程為最簡形式；

5、檢驗；

㈤ 求動點軌跡方程的主要方法是什麼

動點軌跡方程的求法</b> 一、直接法 按求動點軌跡方程的一般步驟求，其過程是建系設點，列出幾何等式，坐標代換，化簡整理，主要用於動點具有的幾何條件比較明顯時． 例1（1994年全國）已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：，動點M到圓C的切線長與的比等於常數（如圖），求動點M的軌跡方程，說明它表示什麼曲線． 解：設M（x，y），直線MN切圓C於N， 則有 ， 即 ， ． 整理得，這就是動點M的軌跡方程． 若，方程化為，它表示過點和x軸垂直的一條直線； 若λ≠1，方程化為，它表示以為圓心，為半徑的圓．
二、代入法 若動點M（x，y）依賴已知曲線上的動點N而運動，則可將轉化後的動點N的坐標入已知曲線的方程或滿足的幾何條件，從而求得動點M的軌跡方程，此法稱為代入法，一般用於兩個或兩個以上動點的情況． 例2 （1986年全國）已知拋物線，定點A（3，1），B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP:PA=1:2，當點B在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程，並指出這個軌跡為哪種曲線． 解：設，由題設，P分線段AB的比， ∴ 解得. 又點B在拋物線上，其坐標適合拋物線方程， ∴ 整理得點P的軌跡方程為
其軌跡為拋物線．
三、定義法 若動點運動的規律滿足某種曲線的定義，則可根據曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程．此法一般用於求圓錐曲線的方程，在高考中常填空、選擇題的形式出現． 例3 （1986年廣東）若動圓與圓外切且與直線x=2相切，則動圓圓心的軌跡方程是 （A） （B） （C） （D） 解：如圖，設動圓圓心為M，由題意，動點M到定圓圓心（－2，0）的距離等於它到定直線x=4的距離，故所求軌跡是以（－2，0）為焦點，直線x=4為准線的拋物線，並且p=6，頂點是（1，0），開口向左，所以方程是．選（B）． 例4 （1993年全國）一動圓與兩圓和都外切，則動圓圓心軌跡為 （A）拋物線 （B）圓 （C）雙曲線的一支 （D）橢圓 解：如圖，設動圓圓心為M，半徑為r，則有
動點M到兩定點的距離之差為1，由雙曲線定義知，其軌跡是以O、C為焦點的雙曲線的左支，選（C）．
四、參數法 若動點P（x，y）的坐標x與y之間的關系不易直接找到，而動點變化受到另一變數的制約，則可求出x、y關於另一變數的參數方程，再化為普通方程． 例5 （1994年上海）設橢圓中心為原點O，一個焦點為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．（A）求橢圓的方程； （2）設經過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為Q，點P在該直線上，且，當t變化時，求點P的軌跡方程，並說明軌跡是什麼圖形． 解：（1）設所求橢圓方程為
由題意得解得 所以橢圓方程為 ． (2)設點解方程組
得 由和得
其中t＞1． 消去t，得點P軌跡方程為
和． 其軌跡為拋物線在直線右側的部分和拋物線在直線在側的部分．五、交軌法 一般用於求二動曲線交點的軌跡方程．其過程是選出一個適當的參數，求出二動曲線的方程或動點坐標適合的含參數的等式，再消去參數，即得所求動點軌跡的方程． 例6 （1985年全國）已知兩點以及一條直線：y=x，設長為的線段AB在直線上移動，求直線PA和QB交點M的軌跡方程． 解：PA和QB的交點M（x，y）隨A、B的移動而變化，故可設，則 PA： QB： 消去t，得 當t=－2，或t=－1時，PA與QB的交點坐標也滿足上式，所以點M的軌跡方程是
以上是求動點軌跡方程的主要方法，也是常用方法，如果動點的運動和角度有明顯的關系，還可考慮用復數法或極坐標法求軌跡方程．但無論用何方法，都要注意所求軌跡方程中變數的取值范圍．

㈥ 求圓的軌跡方程的方法

直接法
由題設所給的動點滿足的幾何條件列出等式，再把坐標代入並化簡，得到所求軌跡方程，這種方法叫做直接法。
例1
已知動點p到定點f（1，0）和直線x=3的距離之和等於4，求點p的軌跡方程。
解：設點p的坐標為（x，y），則由題意可得
。
（1）當x≤3時，方程變為
，化簡得
。
（2）當x>3時，方程變為
，化簡得
。
故所求的點p的軌跡方程是
或
。
二、定義法
由題設所給的動點滿足的幾何條件，經過化簡變形，可以看出動點滿足二次曲線的定義，進而求軌跡方程，這種方法叫做定義法。
例2
已知圓
的圓心為m1，圓
的圓心為m2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心p的軌跡方程。
解：設動圓的半徑為r，由兩圓外切的條件可得：
，
。
。
∴動圓圓心p的軌跡是以m1、m2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求軌跡方程為
。
三、待定系數法
由題意可知曲線類型，將方程設成該曲線方程的一般形式，利用題設所給條件求得所需的待定系數，進而求得軌跡方程，這種方法叫做待定系數法。
例3
已知雙曲線中心在原點且一個焦點為f（
，0），直線y=x－1與其相交於m、n兩點，mn中點的橫坐標為
，求此雙曲線方程。
解：設雙曲線方程為
。將y=x－1代入方程整理得
。
由韋達定理得
。又有
，聯立方程組，解得
。
∴此雙曲線的方程為
。
四、參數法
選取適當的參數，分別用參數表示動點坐標，得到動點軌跡的參數方程，再消去參數，從而得到動點軌跡的普通方程，這種方法叫做參數法。
例4
過原點作直線l和拋物線
交於a、b兩點，求線段ab的中點m的軌跡方程。
解：由題意分析知直線l的斜率一定存在，設直線l的方程y=kx。把它代入拋物線方程
，得
。因為直線和拋物線相交，所以△>0，解得
。
設a（
），b（
），m（x，y），由韋達定理得
。
由
消去k得
。
又
，所以
。
∴點m的軌跡方程為
我只有這四種，應付高中數學足夠了

㈦ 軌跡方程的求法

幾種常見求軌跡方程的方法1．直接法由題設所給(或通過分析圖形的幾何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等於k的動點P的軌跡方程；(2)過點A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡．對(1)分析：動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特徵，但是給出了動點P的運動規律：|OP|=2R或|OP|=0．解：設動點P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0．對(2)分析：題設中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質而得出，即圓心與弦的中點連線垂直於弦，它們的斜率互為負倒數．由學生演板完成，解答為：設弦的中點為M(x，y)，連結OM，則OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其軌跡是以OA為直徑的圓在圓O內的一段弧(不含端點)．2．定義法利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．直平分線l交半徑OQ於點P(見圖2－45)，當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程．分析：∵點P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|．又P在半徑OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義寫出P點的軌跡方程．解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半徑OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由橢圓定義可知：P點軌跡是以O、A為焦點的橢圓．3．相關點法若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程．這種方法稱為相關點法(或代換法)．例3 已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程．分析：P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關點，應先找出點P與點B的聯系．解：設點P(x，y)，且設點B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內分點．4．待定系數法求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數法求．例4 已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲曲線方程．分析：因為雙曲線以坐標軸為對稱軸，實軸在y軸上，所以可設雙曲線方ax2-4b2x+a2b2=0∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應有等根．∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由學生完成)由弦長公式得：即a2b2=4b2-a2．

㈧ 圓的方程：求軌跡方程的的基本方法：直接法、定義法、相關點法、參數法。分別是什麼意思

1. 定義法：如果動點P的運動規律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程。
2. 直譯法：如果動點P的運動規律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關系易於建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關系，再用點P的坐標（x，y）表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。
3. 參數法：如果採用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發動點P運動的某個幾何量t，以此量作為參變數，分別建立P點坐標x，y與該參數t的函數關系x＝f（t），y＝g（t），進而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）＝0。
4. 相關點法：如果動點P的運動是由另外某一點P'的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出P（x，y），用（x，y）表示出相關點P'的坐標，然後把P'的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。

㈨ 求曲線方程的幾種常見方法

求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質就是利用題設中的已知條件，用「坐標化」將其轉化為尋求變數間的關系。

這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義、性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是一大難點。

下面我們就用一道例題，來感受分析不同方法的異同。

【經典例題】

由圓x²+y²=9外一點P(5,12)引圓的割線交圓於A、B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程。

【方法一：直接法】

根據題設條件列出幾何等式，從而求出曲線方程。

這里考慮在圓中有關弦中點的一些性質，圓心和弦中點垂直於弦，可得下面解法。



【方法二：定義法】

判斷並確定軌跡的曲線類型，運用待定系數法求出曲線方程。

這里我們可以得出垂直關系，在解析幾何中，「垂直意味著圓」，這是需要各位有效積累的。



【方法三：交軌法】

將問題轉化為求兩直線的交點軌跡問題。

在本題中，因為動點M可看作直線OM與PM的交點，而由於它們的垂直關系，從而獲得解法。



【方法四：點差法】

設而不求，代點運算，這是點差法的精髓。通過中點公式聯系起來，點差法通常是涉及弦中點問題的重要解題法寶。

根據共點的斜率相等，可求得軌跡方程。






喜

㈩ 求曲線的軌跡方程常用方法

軌跡方程就是與幾何軌跡對應的代數描述。符合一定條件的動點所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌跡。下面是高三網小編整理的數學軌跡方程求解常用方法，供參考。

數學軌跡方程求解常用方法總結

軌跡，包含兩個方面的問題：凡在軌跡上的點都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點都不符合

一、求動點的軌跡方程的基本步驟

⒈建立適當的坐標系，設出動點M的坐標;

⒉寫出點M的集合;

⒊列出方程=0;

⒋化簡方程為最簡形式;

⒌檢驗。

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二、求動點的軌跡方程的常用方法：

求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關點法、參數法和交軌法等。

⒈直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡後即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

⒉定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

⒊相關點法：用動點Q的坐標x，y表示相關點P的坐標x0、y0，然後代入點P的坐標(x0，y0)所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法。

⒋參數法：當動點坐標x、y之間的直接關系難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數t的關系，得再消去參變數t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數法。

⒌交軌法：將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

直譯法：求動點軌跡方程的一般步驟

①建系——建立適當的坐標系;

②設點——設軌跡上的任一點P(x，y);

③列式——列出動點p所滿足的關系式;

④代換——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關於X，Y的方程式，並化簡;

⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。