求解全微分方程的常用方法

⑴ 微分方程的通解求法

二階常系數齊次線性微分方程解法：

特徵根法是解常系數齊次線性微分方程的一種通用方法。
設特徵方程r*r+p*r+q=0兩根為r1，r2。
1 若實根r1不等於r2
y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2 若實根r1=r2
y=(c1+c2x)*e^(r1x)
3 若有一對共軛復根（略）

⑵ 求解全微分方程的方法

有如下幾種方法

⑶ 解全微分方程的方法

這類微分方程都具有dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy的形式，且滿足P關於y的偏導數等於Q關於x的偏導數的特點。解答過程如下：
先由P關於y的偏導數等於Q關於x的偏導數，得出dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy是一個全微分方程的結論。接著得出通解是z=從（0,0）到（x，y）第二型曲線積分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
接下來，根據該積分與積分路徑無關（因為P關於y的偏導數等於Q關於x的偏導數），可以選擇從點（0,0）到點（x，y）的特殊路徑積分，而最常選取的是沿折線路徑積分，即先從（0,0）到（0，y）、再從（0，y）到（x，y）的折線或者是先從（0,0）到（x，0）、再從（x，0）到（x，y）的折線。最後z=積分結果 就是通解。
例如：閣下這個題，假如選擇（0,0）到（x，0）、再從（x，0）到（x，y）的折線積分，則通解是z=（0,0）到（x，0）積分P(x,y)dx+Q(x,y)dy + （x，0）到（x，y）積分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
在第一個積分里，y（=0）是常數，所以dy=0，結果成為定積分（從0到x）（x^2 +2x*0-0^2）dx=1/3 * x^3 +C1.
在第二個積分里，x一直沒變是常數，所以dx=0，結果成為定積分（從0到y）(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C2.
於是，通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C.

⑷ 用兩邊求全微分的方法怎麼解

全微分必定可積。

例如：

ydx+xdy是函數U(x,y)=xy的全微分

U(x,y)是ydx+xdy的原函數

∫ydx+xdy=U+C

例如：

對x的偏導數乘以dx， 加上對y的偏導數乘以dy

加上對z的偏導數乘以dz， 書上將中間過程省略未寫而已。

求偏導時 方法之一是將 z 視為 x，y 的函數，求偏導數。

將x，y， z 均視為自變數，然後 ∂z/∂x = - Fx/Fz, ∂z/∂y = - Fy/Fz

(4)求解全微分方程的常用方法擴展閱讀：

若存在一個二元函數u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端為全微分，全微分方程的充分必要條件為∂M/∂y=∂N/∂x。為了求出全微分方程的原函數，可以採用不定積分法和分組法，對於不是全微分方程，也可以藉助積分因子使其成為全微分方程，再通過以上方法求解。

但對於某些特殊的全微分方程，為了求出相應全微分的原函數，還可以採用相對簡單的「分組湊全微分」的方法，即把方程的左端各項進行重新組合，使每個組的原函數容易觀察得出，而對於不是全微分的方程，可以採用積分因子使其成為全微分方程，再根據以上方法求解。

⑸ 全微分方程求解

1考慮形如P(x.y)dx+Q(x.y)dy-0的微分方程,如果它的左邊恰好是某個函數的全微分,即存在u(x,y)使得=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,則稱上述方程為全微分方程。
顯然若P(x,y)dx+Q(x.y)dy是u(x,y)的全微分,則由=0可得u(x,y)-C (C為任意常數) ,這就是全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的(隱式)通解。
全微分方程的判斷及求解的方法,注意不是所有形如 P ( x , y ) dx + Q ( x , y )dy-0的方程都是全微分方程的。根據定義,全微分方程等價於判斷 P ( xy ) dx + Q ( x , y ) dy 是某個函數的全微分,因此有下面的「判定定理」:,當 P ( x , y ), Q ( x , y )在某個單連通域 G 內具有一階連續偏導數時,方程 P ( x , y ) dx + Q ( x , y )dy=0是全微分方程的充要條件是張-在區域 G 內恆成立。,前面已指出全微分方程的通解形如 u ( x , y )= C ,因此求解全微分方程只須求出 u ( x , y ),而這顯然就是上一節中介紹的二元函數全微分求積問題,

⑹ 微分方程的通解方法

微分方程的解通常是一個函數表達式y=f(x),（含一個或多個待定常數，由初始條件確定）。

例如：dy/dx=sin x，其解為： y=-cos x+C，其中C是待定常數；

如果知道y=f(π)=2，則可推出C=1，而可知 y=-cos x+1。

一階線性常微分方程

對於一階線性常微分方程，常用的方法是常數變易法：

對於方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

⑺ 怎麼求全微分

1、由於P=x2+y，Q=x-2y滿足Qx=Py，因此是一個全微分方程

∴存在函數u（x，y），使得=（x2+y）dx+（x-2y）dy

∴u(x，y)＝∫ [(0，0),(x，y)] (x2+y)dx+(x−2y)dy

=∫ [0,x]x2dx+∫[0,y](x−2y)dy

=1/3x^3+xy−y^2

而=0，因此u（x，y）=C，故

x3 /3+xy−y^2＝C

2、第二個問題如下：

(7)求解全微分方程的常用方法擴展閱讀

如果函數z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量

Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)

可以表示為

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，

其中A、B不依賴於Δx, Δy，僅與x,y有關，ρ趨近於0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此時稱函數z=f(x, y)在點（x，y）處可微分，AΔx+BΔy稱為函數z=f(x, y)在點(x, y)處的全微分，記為dz即

dz=AΔx +BΔy

該表達式稱為函數z=f(x, y) 在(x, y)處(關於Δx, Δy)的全微分。

⑻ 求微分方程各種情況解法歸納及相應公式

這是我以前寫的「低階微分方程的一般解法」
一。g(y)dy=f(x)dx形式
可分離變數的微分方程，直接分離然後積分
二。可化為dy/dx=f(y/x)的齊次方程
換元，分離變數
三。一階線性微分方程
dy/dx+P(x)y=Q(x)
先求其對應的一階齊次方程，然後用常數變易法帶換u(x)
得到通解y=e^-∫P(x)dx{∫Q(x)[e^∫P(x)dx]dx+C}
四。伯努利方程dy/dx+P(x)y=Q(x)y^n
兩邊同除y^n引進z=y^(n-1)配為線形一階非齊次方程
然後代如通解，最後代入z=y^(n-1)
五。全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
有解的充要條件為ap/ay=aQ/ax
此時通解為u(x,y)=∫(xo,x)P(x,y)dx+∫(yo,y)Q(x,y)dy=C
有的方程可通過乘積分因子得到全微分方程的形式。

⑼ 怎麼求全微分啊

計算全微分的命令是Dt：Dt[Sin[x+y]]這是關於x和y的全微分。

單獨計算x的全微分，需要指定變數x：Dt[Sin[x+y],x]只針對x求全微分。

有待定系數的函數，Mathematica默認把所有的待定系數，都當成變數對待：Dt[Sin[a*x+y^b]]這時候，是關於a、b、x、y的全微分，是四元函數。

需要指定a和b為常數：Dt[Sin[a*x + y^b], Constants -> {a, b}]。

注意Dt[Sin[x+y]]和Dt[Sin[x+y],x,y]的區別。

復合函數的求導法則：Dt[f[g[x+y]]]。

(9)求解全微分方程的常用方法擴展閱讀

全微分方程若存在一個二元函數u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端為全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=(x,y)，則稱其為全微分方程。

全微分方程的充分必要條件為∂M/∂y=∂N/∂x。為了求出全微分方程的原函數，可以採用不定積分法和分組法，對於不是全微分方程，也可以藉助積分因子使其成為全微分方程，再通過以上方法求解。