求一條線段最值問題的常用方法

1. 初中求線段最大值的問題

先回答取D點的原因，OC和AB有交點，把OC分成兩部分來考慮，這是一種常用的求最值的方法，
取D點是線段的中點後，OD的長不會隨著AB的移動而改變，CD不管怎樣都是不變的，如果D點不是中點，那在AB的移動過程中，OD的長就會改變，從回答的圖中你可以看出OD+CD》=OC。（兩邊之和大於第三邊）而OD+CD的長是固定的，當O、C、D在一條直線上時等號成立，也就是此時OC有最大值。

2. 幾何題中求線段最小值的一般思路是什麼

你想問的是「求兩點到一條直線上任意一點連接的兩條線段長度之和的最小值」吧？

一般來說，是以直線為對稱軸，做兩點AB之中任意一點的對稱點A'，然後連接A'B，與直線交點C。此時A'C=AC。因為A'B兩點之間直線最短，所以最小值為AC+BC=A'C+BC=A'B。

3. 初中數學求線段和差最值知識

初中階段我們學過三種路徑最值問題,一是兩點之間線段最短;二是將軍飲馬問題;三是直線外一點與直線上一點的連線中,垂線段最短。

一、直接利用公理(定理)求最值

1、公理：兩點直接線段最短

2、定理：三角形的兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊(由上面公理證明而得)

3、定理：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。(簡稱垂線段最短)

所有的線段和差問題都是直接利用或者轉化為第1點或第3點來求最值，這是咱們思考這類問題的出發點，大家要死死記住。

二、結合圖形三大變換求最值

1、應用平移變換、軸對稱變換將線段和差轉化為可以利用公理(定理)求最值(將軍飲馬問題)

2、應用旋轉變換將線段和差轉化為可以利用公理(定理)求最值(費馬點問題)

【將軍飲馬問題】

【費馬點問題】

三.例題

1.如圖，A、B兩個小集鎮在河流CD的同側，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設水管的費用最節省，並求出總費用是多少?

作點B關於直線CD的對稱點B'，連接AB'，交CD於點M

則AM+BM = AM+B'M = AB'，水廠建在M點時，費用最小

如右圖，在直角△AB'E中，

AE = AC+CE = 10+30 = 40

EB' = 30

所以：AB' = 50

總費用為：50×3 = 150萬

2.如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x.

(1)用含x的代數式表示AC+CE的長;

(2)請問點C滿足什麼條件時，AC+CE的值最小?

(3)根據(2)中的規律和結論，請構圖求出代數式的最小值

3.兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設為點P，如在兩條公路上各設置一個加油站，，請你設計一個方案，把兩個加油站設在何處，可使運油車從油庫出發，經過一個加油站，再到另一個加油站，最後回到油庫所走的路程最短.

分析 這是一個實際問題，我們需要把它轉化為數學問題，經過分析，我們知道此題是求運油車所走路程最短，OA與OB相交，點P在∠AOB內部，通常我們會想到軸對稱，分別做點P關於直線OA和OB的對稱點P1、P2 ，連結P1P2分別交OA、OB於C、D，C、D兩點就是使運油車所走路程最短，而建加油站的地點，那麼是不是最短的呢?我們可以用三角形的三邊關系進行說明.

解：分別做點P關於直線OA和OB的對稱點P1、P2，

連結P1P2分別交OA、OB於C、D，

則C、D就是建加油站的位置.

若取異於C、D兩點的點，

則由三角形的三邊關系，可知在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短.

點評：在這里沒有詳細說明為什麼在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短，請同學們思考弄明白。

4.如圖∠AOB = 45°，P是∠AOB內一點，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值.

分別作點P關於OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，

交OA、OB於點Q，R，連接OP1，OP2，

則OP = OP1 = OP2 = 10

且∠P1OP2 = 90°

由勾股定理得P1P2 = 10

5.如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為

即在AC上作一點P，使PB+PE最小

作點B關於AC的對稱點B'，連接B'E，交AC於點P，則B'E = PB'+PE = PB+PE

B'E的長就是PB+PE的最小值

在直角△B'EF中，EF = 1，B'F =3

根據勾股定理，B'E =

6.等腰△ABC中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M、N分別是AB、AC上的點，求BN+MN+MC的最小值

分別作點C、B關於AB、AC的對稱點C’、B’，連接C’B’交AB、AC於點M、N，則BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值

∵∠BAC’ =∠BAC，∠CAB’ =∠CAB

∴∠B’AC’ = 60°

∵AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB

∴AC’ = AB’

∴△AB’C’是等邊三角形

∴B’C’ = 20

7.如圖，在等邊△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE = 2，求EM+EC的最小值

4. 初中數學求線段最大值問題，急！！！

解答:

取AB中點D，連接OD，CD

在三角形OAB中，角AOB=90度，AD=DB，有OD=1/2AB=2。

在三角形ACD中，角CAB=90度，AC=2，AD=1/2AB=2，有CD=2√2。

由兩點之間線段最短可知，OD+CD>=OC(當O、C、D在一條直線上時等號成立）

所以，OC<=OD+CD=2+2√2，即OC的最大值是2+2√2。

5. 解決最值問題常用的方法

(1)從極端情況入手
我們在分析某些數學問題時，不妨考慮一下把問題推向「極端」。因為當某一問題被推向「極端」後，往往能排除許多枝節問題的干擾，使問題的「本來面目」清楚地顯露出來，從而使問題迅速獲解。
(2)枚舉比較
根據題目的要求，把可能的答案一一枚舉出來，使題目的條件逐步縮小范圍，篩選比較出題目的答案。
(3)分析推理
根據兩個事物在某些屬性上都相同，猜測它們在其他屬性上也有可能相同的推理方法。
(4)構造
在尋求解題途徑難以進展時，構造出新的式子或圖形，往往可以取得出奇制勝的效果。
(5)應用求最大值和最小值的結論
和一定的兩個數，差越小，積越大。
積一定的兩個數，差越小，和越小。
兩點之間線段最短。

6. 怎樣解決二次函數中線段的最值問題

先說f(x)=x²+|x-2|-1x∈R當x-2≥0，即x≥2時，函數式為f(x)=x²+x-3，此時拋物線y=x²+x-3開口向上，對稱軸方程為x=-1/2所以：當x=2時，函數有最小值，最小值為3；當x-2<0，即x<2時，函數式為f(x)=x²-x+1，此時拋物線y=x²-x+1的開口向上，對稱軸方程為x=1/2所以：當x=1/2時，函數有最小值，最小值為3/4.第二題：f(x)=-x²+(4a-2)x-4a²+4ax∈[0,2]的最值函數的對稱軸方程為x=2a-1，開口向下。當2a-1∈[0,2]時，x=2a-1時函數值最大，將其帶入可求出最大值是1，當2a-1∈(-∞，0]時，x=0時函數值最大，最大值是4a-4a²，x=2時函數值最小，當2a-1∈(2，+∞]時，x=2時函數值最大，x=0時函數值最小，分別將其帶入可求得

7. 高中幾何線段最值問題

二倍根號二

8. 求最值的方法

• 公務員考試行測數量關系題，和定最值問題的分類及解法：

1. 同向和定最值

   ①概念：求值的值是多少或者最小值的最小值是多少。

   ②解題方法：列舉法，即將其他值一一按要求進行列舉即可。
   

2. 逆向和定最值

   ①概念：求值的最小值是多少或者最小值的值是多少。

   ②解題方法：求平均數法，即將總數求平均值再分配余數。

3. 混合和定最值

   ①概念：求第n大值的最小值是多少或者值是多少。

   ②解題方法：先列舉再求平均，即先將可以列舉的列舉出來再對剩下的運用求平均數法。

9. 解決最值問題常用的方法

(1)從極端情況入手
我們在分析某些數學問題時，不妨考慮一下把問題推向「極端」。因為當某一問題被推向「極端」後，往往能排除許多枝節問題的干擾，使問題的「本來面目」清楚地顯露出來，從而使問題迅速獲解。
(2)枚舉比較
根據題目的要求，把可能的答案一一枚舉出來，使題目的條件逐步縮小范圍，篩選比較出題目的答案。
(3)分析推理
根據兩個事物在某些屬性上都相同，猜測它們在其他屬性上也有可能相同的推理方法。
(4)構造
在尋求解題途徑難以進展時，構造出新的式子或圖形，往往可以取得出奇制勝的效果。
(5)應用求最大值和最小值的結論
和一定的兩個數，差越小，積越大。
積一定的兩個數，差越小，和越小。
兩點之間線段最短。