考研求最值的常用方法

A. 求考研數學必備公式

數學高考基礎知識、常見結論詳解

一、集合與簡易邏輯：
一、理解集合中的有關概念
（1）集合中元素的特徵： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。
集合元素的互異性：如： ， ，求 ；
（2）集合與元素的關系用符號 ， 表示。
（3）常用數集的符號表示：自然數集 ；正整數集 、 ；整數集 ；有理數集 、實數集 。
（4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。
注意：區分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；
；
（5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的區別；0與三者間的關系）
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：條件為 ，在討論的時候不要遺忘了 的情況。
如： ，如果 ，求 的取值。
二、集合間的關系及其運算
（1）符號「 」是表示元素與集合之間關系的，立體幾何中的體現 點與直線（面）的關系 ；
符號「 」是表示集合與集合之間關系的，立體幾何中的體現 面與直線(面)的關系 。
（2） ； ；

（3）對於任意集合 ，則：
① ； ； ；
② ； ；
； ；
③ ； ；
（4）①若 為偶數，則 ；若 為奇數，則 ；
②若 被3除餘0，則 ；若 被3除餘1，則 ；若 被3除餘2，則 ；
三、集合中元素的個數的計算：
（1）若集合 中有 個元素，則集合 的所有不同的子集個數為_________，所有真子集的個數是__________，所有非空真子集的個數是 。
（2） 中元素的個數的計算公式為： ；
（3）韋恩圖的運用：
四、 滿足條件 ， 滿足條件 ，
若 ；則 是 的充分非必要條件 ；
若 ；則 是 的必要非充分條件 ；
若 ；則 是 的充要條件 ；
若 ；則 是 的既非充分又非必要條件 ；
五、原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的 ；
注意：「若 ，則 」在解題中的運用，
如：「 」是「 」的 條件。
六、反證法：當證明「若 ，則 」感到困難時，改證它的等價命題「若 則 」成立，
步驟：1、假設結論反面成立；2、從這個假設出發，推理論證，得出矛盾；3、由矛盾判斷假設不成立，從而肯定結論正確。
矛盾的來源：1、與原命題的條件矛盾；2、導出與假設相矛盾的命題；3、導出一個恆假命題。
適用與待證命題的結論涉及「不可能」、「不是」、「至少」、「至多」、「唯一」等字眼時。
正面詞語 等於 大於 小於 是 都是 至多有一個
否定

正面詞語 至少有一個 任意的 所有的 至多有n個 任意兩個
否定

二、函數
一、映射與函數：
（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函數的概念：
如：若 ， ；問： 到 的映射有 個， 到 的映射有 個； 到 的函數有 個，若 ，則 到 的一一映射有 個。
函數 的圖象與直線 交點的個數為 個。
二、函數的三要素： ， ， 。
相同函數的判斷方法：① ；② (兩點必須同時具備)
（1）函數解析式的求法：
①定義法（拼湊）：②換元法：③待定系數法：④賦值法：
（2）函數定義域的求法：
① ，則 ； ② 則 ；
③ ，則 ； ④如： ，則 ；
⑤含參問題的定義域要分類討論；
如：已知函數 的定義域是 ，求 的定義域。
⑥對於實際問題，在求出函數解析式後；必須求出其定義域，此時的定義域要根據實際意義來確定。如：已知扇形的周長為20，半徑為 ，扇形面積為 ，則 ；定義域為 。
（3）函數值域的求法：
①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特徵來求值；常轉化為型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通過反解，用 來表示 ，再由 的取值范圍，通過解不等式，得出 的取值范圍；常用來解，型如： ；
④換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；
⑤三角有界法：轉化為只含正弦、餘弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉化成型如： ，利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。
⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。
求下列函數的值域：① （2種方法）；
② （2種方法）；③ （2種方法）；
三、函數的性質：
函數的單調性、奇偶性、周期性
單調性：定義：注意定義是相對與某個具體的區間而言。
判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）
導數法（適用於多項式函數）
復合函數法和圖像法。
應用：比較大小，證明不等式，解不等式。
奇偶性：定義：注意區間是否關於原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函數。
判別方法：定義法， 圖像法 ，復合函數法
應用：把函數值進行轉化求解。
周期性：定義：若函數f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數f(x)的周期。
其他：若函數f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數f(x)的周期.
應用：求函數值和某個區間上的函數解析式。
四、圖形變換：函數圖像變換：（重點）要求掌握常見基本函數的圖像，掌握函數圖像變換的一般規律。
常見圖像變化規律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯系起來思考）
平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：（ⅰ）有系數，要先提取系數。如：把函數y＝f(2x)經過 平移得到函數y＝f(2x＋4)的圖象。
（ⅱ）會結合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意義。
對稱變換 y=f(x)→y=f(－x),關於y軸對稱
y=f(x)→y=－f(x) ,關於x軸對稱
y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關於x軸對稱
y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然後將y軸右邊部分關於y軸對稱。（注意：它是一個偶函數）
伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數的圖象變換。
一個重要結論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函數y=f(x)的圖像關於直線x=a對稱；
如： 的圖象如圖，作出下列函數圖象：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
（9） 。
五、反函數：
（1）定義：
（2）函數存在反函數的條件： ；
（3）互為反函數的定義域與值域的關系： ；
（4）求反函數的步驟：①將 看成關於 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇；②將 互換，得 ；③寫出反函數的定義域（即 的值域）。
（5）互為反函數的圖象間的關系： ；
（6）原函數與反函數具有相同的單調性；
（7）原函數為奇函數，則其反函數仍為奇函數；原函數為偶函數，它一定不存在反函數。
如：求下列函數的反函數： ； ；
七、常用的初等函數：
（1）一元一次函數： ，當 時，是增函數；當 時，是減函數；
（2）一元二次函數：
一般式： ；對稱軸方程是 ；頂點為 ；
兩點式： ；對稱軸方程是 ；與 軸的交點為 ；
頂點式： ；對稱軸方程是 ；頂點為 ；
①一元二次函數的單調性：
當 時： 為增函數； 為減函數；當 時： 為增函數； 為減函數；
②二次函數求最值問題：首先要採用配方法，化為 的形式，
Ⅰ、若頂點的橫坐標在給定的區間上，則
時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
Ⅱ、若頂點的橫坐標不在給定的區間上，則
時：最小值在距離對稱軸較近的端點處取得，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
時：最大值在距離對稱軸較近的端點處取得，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
有三個類型題型：
(1)頂點固定，區間也固定。如：
(2)頂點含參數(即頂點變動)，區間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區間之內，何時在區間之外。
(3)頂點固定，區間變動，這時要討論區間中的參數．
③二次方程實數根的分布問題： 設實系數一元二次方程 的兩根為 ；則：
根的情況
等價命題 在區間 上有兩根 在區間 上有兩根 在區間 或 上有一根
充要條件
注意：若在閉區間 討論方程 有實數解的情況，可先利用在開區間 上實根分布的情況，得出結果，在令 和 檢查端點的情況。
（3）反比例函數：
（4）指數函數：
指數運演算法則： ； ； 。
指數函數：y= (a>o,a≠1)，圖象恆過點（0，1），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論，要能夠畫出函數圖象的簡圖。
（5）對數函數：
指數運演算法則： ； ； ；
對數函數：y= (a>o,a≠1) 圖象恆過點（1，0），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進行討論，要能夠畫出函數圖象的簡圖。
注意：（1） 與 的圖象關系是 ；
（2）比較兩個指數或對數的大小的基本方法是構造相應的指數或對數函數，若底數不相同時轉化為同底數的指數或對數，還要注意與1比較或與0比較。
（3）已知函數 的定義域為 ，求 的取值范圍。
已知函數 的值域為 ，求 的取值范圍。
六、 的圖象：
定義域： ；值域： ； 奇偶性： ； 單調性： 是增函數； 是減函數。
七、補充內容：
抽象函數的性質所對應的一些具體特殊函數模型：
① 正比例函數
② ； ；
③ ； ；
④ ；
三、導 數
1．求導法則：
(c)/=0 這里c是常數。即常數的導數值為0。
(xn)/=nxn－1 特別地：(x)/=1 (x－1)/= ( )/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k•f(x))/= k•f/(x)
2．導數的幾何物理意義：
k＝f/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點P(x0,f(x0))的切線的斜率。
V＝s/(t) 表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。
3．導數的應用：
①求切線的斜率。
②導數與函數的單調性的關系
一 與 為增函數的關系。
能推出 為增函數，但反之不一定。如函數 在 上單調遞增，但 ，∴ 是 為增函數的充分不必要條件。
二 時， 與 為增函數的關系。
若將 的根作為分界點，因為規定 ，即摳去了分界點，此時 為增函數，就一定有 。∴當 時， 是 為增函數的充分必要條件。
三 與 為增函數的關系。
為增函數，一定可以推出 ，但反之不一定，因為 ，即為 或 。當函數在某個區間內恆有 ，則 為常數，函數不具有單調性。∴ 是 為增函數的必要不充分條件。
函數的單調性是函數一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數判斷好函數的單調性。因此新教材為解決單調區間的端點問題，都一律用開區間作為單調區間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。
四單調區間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域;（2）求導數 （3）解不等式 ，解集在定義域內的部分為增區間（4）解不等式 ，解集在定義域內的部分為減區間。
我們在應用導數判斷函數的單調性時一定要搞清以下三個關系，才能准確無誤地判斷函數的單調性。以下以增函數為例作簡單的分析，前提條件都是函數 在某個區間內可導。
③求極值、求最值。
注意：極值≠最值。函數f(x)在區間[a,b]上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個。
f/(x0)＝0不能得到當x=x0時，函數有極值。
但是，當x=x0時，函數有極值 f/(x0)＝0
判斷極值，還需結合函數的單調性說明。
4.導數的常規問題：
（1）刻畫函數（比初等方法精確細微）；
（2）同幾何中切線聯系（導數方法可用於研究平面曲線的切線）；
（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關於 次多項式的導數問題屬於較難類型。
2．關於函數特徵，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。
3．導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。
四、不等式
一、不等式的基本性質：
注意：(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用於不成立的命題。
(2)注意課本上的幾個性質，另外需要特別注意：
①若ab>0，則 。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數，不等號方向要改變。
②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論。
③圖象法：利用有關函數的圖象（指數函數、對數函數、二次函數、三角函數的圖象），直接比較大小。
④中介值法：先把要比較的代數式與「0」比，與「1」比，然後再比較它們的大小
二、均值不等式：兩個數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。
若 ，則 （當且僅當 時取等號）
基本變形：① ； ；
②若 ，則 ，
基本應用：①放縮，變形；
②求函數最值：注意：①一正二定三取等；②積定和小，和定積大。
當 （常數），當且僅當 時， ；
當 （常數），當且僅當 時， ；
常用的方法為：拆、湊、平方；
如：①函數 的最小值 。
②若正數 滿足 ，則 的最小值 。
三、絕對值不等式：
注意：上述等號「＝」成立的條件；
四、常用的基本不等式：
（1）設 ，則 （當且僅當 時取等號）
（2） （當且僅當 時取等號）； （當且僅當 時取等號）
（3） ； ；
五、證明不等式常用方法：
（1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
⑴作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。
⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和。
⑶判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。
注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。
（2）綜合法：由因導果。
（3）分析法：執果索因。基本步驟：要證……只需證……，只需證……
（4）反證法：正難則反。
（5）放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。
放縮法的方法有：
⑴添加或捨去一些項，如： ；
⑵將分子或分母放大（或縮小）
⑶利用基本不等式，如： ；

⑷利用常用結論：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變數，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。如：
已知 ，可設 ；
已知 ，可設 ( )；
已知 ，可設 ；
已知 ，可設 ；
（7）構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式；
六、不等式的解法：
（1）一元一次不等式：
Ⅰ、 ：⑴若 ，則 ；⑵若 ，則 ；
Ⅱ、 ：⑴若 ，則 ；⑵若 ，則 ；
（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次項系數小於零的，同解變形為二次項系數大於零；註：要對 進行討論：
（5）絕對值不等式：若 ，則 ； ；
注意：(1).幾何意義： ： ； ： ；
(2)解有關絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有：
⑴對絕對值內的部分按大於、等於、小於零進行討論去絕對值；①若 則 ；②若 則 ；③若 則 ；
(3).通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負值。
(4).含有多個絕對值符號的不等式可用「按零點分區間討論」的方法來解。
（6）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式；
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ；
（7）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然後求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數軸上，取它們的公共部分。
（8）解含有參數的不等式：
解含參數的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論：
①不等式兩端乘除一個含參數的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性.
②在求解過程中，需要使用指數函數、對數函數的單調性時，則需對它們的底數進行討論.
③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應的二次函數的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況（有時要分析△），比較兩個根的大小,設根為 （或更多）但含參數，要分 、 、 討論。

五、數列
本章是高考命題的主體內容之一，應切實進行全面、深入地復習，並在此基礎上，突出解決下述幾個問題：（1）等差、等比數列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .（2）數列計算是本章的中心內容，利用等差數列和等比數列的通項公式、前 項和公式及其性質熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內容.（3）解答有關數列問題時，經常要運用各種數學思想.善於使用各種數學思想解答數列題，是我們復習應達到的目標. ①函數思想：等差等比數列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數，所以等差等比數列的某些問題可以化為函數問題求解.
②分類討論思想：用等比數列求和公式應分為 及 ；已知 求 時，也要進行分類；
③整體思想：在解數列問題時，應注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整
體思想求解.
（4）在解答有關的數列應用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉化為數學問題，再利用有關數列知識和方法來解決.解答此類應用題是數學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關的等比數列的第幾項不要弄錯.
一、基本概念：
1、 數列的定義及表示方法：
2、 數列的項與項數：
3、 有窮數列與無窮數列：
4、 遞增（減）、擺動、循環數列：
5、 數列{an}的通項公式an：
6、 數列的前n項和公式Sn:
7、 等差數列、公差d、等差數列的結構：
8、 等比數列、公比q、等比數列的結構：
二、基本公式：
9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=
10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時，an是關於n的一次式；當d=0時，an是一個常數。
11、等差數列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn=
當d≠0時，Sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關於n的正比例式。

12、等比數列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)
13、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1 (是關於n的正比例式)；
當q≠1時，Sn= Sn=
三、有關等差、等比數列的結論
14、等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數列。
15、等差數列{an}中，若m+n=p+q，則
16、等比數列{an}中，若m+n=p+q，則
17、等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數列。
18、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。
19、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列
{an bn}、 、 仍為等比數列。
20、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。
21、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。
22、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數成等差的設法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三個數成等比的設法：a/q,a,aq；
四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什麼？)
24、{an}為等差數列，則 (c>0)是等比數列。
25、{bn}（bn>0）是等比數列，則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數列。
26. 在等差數列 中：
（1）若項數為 ，則
（2）若數為 則， ，
27. 在等比數列 中：
（1） 若項數為 ，則
（2）若數為 則，
四、數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數列的通項結構。
28、分組法求數列的和：如an=2n+3n
29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂項法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求數列{an}的最大、最小項的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如an=
33、在等差數列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當 >0,d<0時，滿足 的項數m使得 取最大值.
(2)當 <0,d>0時，滿足 的項數m使得 取最小值。
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
六、平面向量
1．基本概念：
向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。
2． 加法與減法的代數運算：
(1) ．
(2)若a=（ ）,b=（ ）則a b=（ ）．
向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。
以向量 = 、 = 為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量 = + , = － , = －
且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜．
向量加法有如下規律： ＋ = ＋ (交換律); +( +c)=( + )+c （結合律）;
+0= ＋(－ )=0.
3．實數與向量的積：實數 與向量 的積是一個向量。
(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜;
(2) 當 ＞0時， 與 的方向相同；當 ＜0時， 與 的方向相反；當 =0時， =0．
(3)若 =（ ），則 · =（ ）．
兩個向量共線的充要條件：
(1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數 ，使得b= ．
(2) 若 =（ ）,b=（ ）則 ‖b ．
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數 ， ，使得 = e1+ e2．
4．P分有向線段 所成的比：
設P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同於P1、P2的任意一點，則存在一個實數 使 = ， 叫做點P分有向線段 所成的比。
當點P在線段 上時， ＞0；當點P在線段 或 的延長線上時， ＜0；
分點坐標公式：若 = ； 的坐標分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ ≠－1）， 中點坐標公式： ．
5． 向量的數量積：
（1）．向量的夾角：
已知兩個非零向量 與b，作 = , =b,則∠AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。
（2）．兩個向量的數量積：
已知兩個非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．
其中｜b｜cos 稱為向量b在 方向上的投影．
（3）．向量的數量積的性質：
若 =（ ）,b=（ ）則e· = ·e=｜ ｜cos (e為單位向量);
⊥b ·b=0 （ ，b為非零向量）;｜ ｜= ;
cos = = ．
(4) ．向量的數量積的運算律：
·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c．
6.主要思想與方法：
本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由於向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。
七、立體幾何
1.平面的基本性質：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。
能夠用斜二測法作圖。
2.空間兩條直線的位置關系：平行、相交、異面的概念；
會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。
3.直線與平面
①位置關系：平行、直線在平面內、直線與平面相交。
②直線與平面平行的判斷方法及性質,判定定理是證明平行問題的依據。
③直線與平面垂直的證明方法有哪些？
④直線與平面所成的角：關鍵是找它在平面內的射影，范圍是{00.900}
⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理. 三垂線定理及其逆定理主要用於證明垂直關系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.
4.平面與平面
(1)位置關系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況）
(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質。
(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據性質定理，可以證明線面垂直。
(4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→
(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：
①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形；
②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。
③射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法? 多但是有用自己慢記！

B. 求函數的最值有哪些方法

函數值域最值常用的方法
1） 利用基本函數求值域法：有的函數結構並不復雜，可以通過基本函數的值域及不等式的性質直接觀察出函數的值域 例1：y=1/(2+)
2） 反函數法：用函數和它的反函數的定義域和值域的關系，可以通過求反函數的定義域而得到原函數的值域. 對形如y=(cx+d)/(ax+b) (a=!0)的函數可用此法 例2：y=(2x-1)/(2x+1) ; y=(5x-1)/(4x+2) , x屬於[-3,-1].
3） 配方法：配方法是求「二次函數類」值域的基本方法，形如F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c]的值域問題，均使用配方法。
4） 換元法運用代數或三角代換，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而給出原函數的值域，形如y=ax+b(cx+d)(1/2) (a,b,c,d均為常數，且a=!0)的函數常用此方法求解(注意1新元的取值范圍，即換元後的等價性2換元後的可操作性) 例4已知函數f(x)=2x(1/2)+(4-x)(1/2),則函數f(x)的值域_________
5） 判別式法將函數轉化為x 的二次方程F(x,y)=0,通過方程有實根，判別式>=0,從而求得函數的值域，形如 (a1,a2不同時為0)的函數的值域常用此法求解。（分子，分母沒有公因式；此時函數的定義域是全體實數）例5：;
6） 不等式法：利用基本不等式： 應用此法注意條件「一正二定三相等」例6：若函數f(x)的值域為[1/2,3],則函數F(x)=f(x)+的值域為_____
7） 數形結合法：若函數的解析式的幾何意義較明顯，諸如距離，斜率等，可用數形結合的方法。 例7:對a,bR.設max{a,b}=求函數f(x)=max{},的最小值
8） 導數法：
9） 已知函數的值域，求函數中待定字母的取值范圍 9例9：已知函數f(x)=的定義域，值域是[0,2],求m,n的值域。

函數的圖像
1：函數圖像的基本做法：1）描點法
2） 圖像變換法
3） 做圖像的一般步驟：a求出函數的定義域；b討論函數的性質（奇偶性，周期性）以及函數上的特殊點（如漸近線，對稱軸）c利用基本函數的圖像畫出所給函數的圖像
2：函數變換的四種形式：
1)平移變換左加右減
2)對稱變換 a：y=f(x)和y=f(-x); y=-f(x)和y=f(x); y=-f(-x)和y=f(x); y=和y=f(x)分別關於y軸，x軸，原點，直線y=x對稱。
b:若對定義域內的一切x均有f(x+m)=f(m-x),則y=f(x)的圖像關於x=m對稱；
c:y=f(x)與y=2b-f(2a-x)關於點（a,b）成中心對稱
3)伸縮變換:y=af(x) y=f(ax)
4)翻折變換 y= y=f()
3函數圖像的對稱性
1） f(-x)=-f(x) 圖像關於原點對稱
2） f(-x)=f(x) 圖像關於y軸對稱
3） y=和y=f(x) 圖像關於y=x對稱
4） f(a+x)=f(a-x) 圖像關於x=a對稱
5） f(a+x)=-f(a-x) 圖像關於(a,0)對稱

函數單調性
判斷函數單調性的常用方法：
1） 定義法
2） 兩增（減）函數的和還增（減）；增（減）函數與減（增）函數的差還是增（減）函數；
3） 減函數在對稱的兩個區間上具有相同的單調性；偶函數在對稱的兩個區間上具有相反的單調性、
4） y=f(x)在D上單調則y=f(x)在D的子區間上也單調，並且具有相同的單調性。
5） y=f(u),u=g(x)單調性相同，則y=f(g(x))是增函數；單調性相反，則y=f(g(x))是減函數（同增異減）；
6） 互為反函數的兩個函數具有相同的單調性
7） 利用導數判斷函數的單調性
8） 抽象函數的單調性：做差；做商（注意分母不為零且同號）。
9） 關於函數f(x)=x+a/x(a>0)單調性及應用

例1：函數在定義域上是減函數
例2： 已知函數f(x)=+a/x在[2,+）單調增，求a的取值范圍
例3：函數f(x)=,g(x)=x(2-x)的單調區間
例4：函數f(x)對任意的 都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,並且當 x>0是，f(x)>1,求證f(x)是R上的增函數。
例5：某食品廠定期購買麵粉，已知該廠每天需要麵粉6噸，每噸麵粉的價格為1800元，麵粉的保管及其他費用為平均每噸每天三元，購買麵粉每次需要支付運費900元。
（1） 求該廠每隔多少天購買一次麵粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？
（2）若提供麵粉的公司規定：當一次購買的麵粉不少於210噸時，其價格可享受9折優惠，問該廠是否考慮利用此優惠條件？說明原因。
例6：已知f(x)為R上的減函數，求滿足< f(1)的實數x的取值范圍。
例7：是否存在實數a是函數f(x)= 在[2,4]上市增函數？如果存在，說明a可取哪些值；如果不存在，請說明理由。

函數的奇偶性
1：定義:y=f(x), 定義域關於原點對稱
偶函數：f(-x)=f(x)
奇函數：f(-x)=-f(x) （原點有定義有f(0)=0）
2奇函數，偶函數的圖像的性質：
奇函數圖像關於原點對稱；
偶函數圖像關於y軸對稱。
3判斷奇偶性方法
1） 定義
2） 定義變形：f(-x)+f(x)=0（）為奇函數； f(-x)-f(x)=0（）為偶函數。
3） 函數奇偶性滿足下列性質：奇+奇=奇；偶+偶+偶；
奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇。
4）奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性； 偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性。

周期公式：
1：若函數關於直線x=a和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
2:若函數關於點（a，0）和（b，0）對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
3若函數關於點（a，0）和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，4是它的一個周期；

例1：f(x)=lg()
例2：
例3：
例4：
例5：在R上定義的函數f(x)是偶函數，且f(x)=f(2-x),若f(x)在區間[1,2]是減函數，討論f(x)[-2,-1]和[3,4]上的單調性。
例6：已知f(x)是偶函數，且在[）是增函數，如果f(ax+1)f(x-2)在x[1/2,1]恆成立，求實數a的取值范圍
例7：已知 其中a,b,c,d為常數，若f(-7)=-7.求f(7).

周期公式：
1：若函數關於直線x=a和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
2:若函數關於點（a，0）和（b，0）對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
3若函數關於點（a，0）和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，4是它的一個周期；
求函數解析式常用方法：
（1）定義法：有已知條件f[g(x)]=F(x),可將F(x),改寫成g(x)的表達式，然後以x代替g(x), 使得f(x)的表達式常需「湊配」。
例1：f（(1-x）/(1+x)）=(1-x2)/(1+x2).求f(x)的解析表達式。
（2）變數代換法：有已知條件f[g(x)]=F(x)，令t=g(x),然後反解出x=g-1(t).帶入F(x),即可得f(x)的表達式。
例2：f(e x-1)=2x2-1.求f(x)的解析表達式
（3）待定系數法：又是給定函數特徵求函數的解析式，可用待定系數法。例3：函數是二次函數可設為f(x)=ax2+bx+c(a不等於零)。期中a,b,c是待定系數，根據題設條件列出方程組，解出a.b.c
.例3；設二次方程f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2)。且圖像在y軸上的截距為1，被x軸截得的線段長為2*2（1/2），求f(x)的解析式。
（4）函數方程法：將f(x)作為一個未知量來考慮，建立方程組。消去另外的未知量便得f(x)的表達式。 例4::已知f(x)-f(1/x)lnx=1,求解f(x)的表達式
（5） 參數法：引入某個參數，然後寫出用這個參數表示變數的式子（即參數方程），再消去參數就得f(x)表達式。 例5：已知 f(3sinx)=cot(2)x求f(x)的表達式
（6）賦值法:對於抽象函數f(x),如果滿足條件中對一切實屬成立。那麼對於特殊值仍然成立。我們就可以賦予特殊值。 例6：已知f(x)滿足：f(0)=1,且對任意的x,y屬於R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)+x-2求f(x).
（7） 根據某實際問題建立一種函數關系式，這種情況須引入合適的變數，根據數學的有關知識找出函數關系式。
一次二次函數
1 一次函數
a形如y=kx+b 叫做一次函數值域R；b=0,y=kx叫做正比例函數
b一次函數的k叫做直線y=kx+b的斜率，b叫做y=kx+b的截距。
c函數圖像（性質）：

1已知函數y=(2m-1)x+1-3m,求m為何值時：
這個函數為正比例函數；
（2）這個函數為奇函數
（3）函數值y隨x的增大而減小
2一次函數y=(3a-7)x+a-2的圖像與y軸的交點在x軸上方，且y隨x的增大而減小，則a的取值范圍______.
3已知函數f(x)=2mx+4,若在[-2,1]上存在，使得f()=0,求實數m的取值范圍。
4關於x的方程ax+1=|x|有兩個不同的實根，求實數a的取值范圍

2 二次函數
a形如 叫做二次函數
值域 a>0 ; a<0
b二次函數有三種形式 A: 一般式
B :頂點式
C 兩根式
c二次函數的基本概念： 1對稱軸
2頂點坐標 3零點（根）
4韋達定理 5
d 一元二次方程的判別式
e函數圖像：（性質）

1已知二次函數f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,f(x)的最大值是8，試確定二次函數
2二次函數的頂點坐標（2，3）且經過點（3,1）求這個二次函數的解析式
3已知拋物線與x軸交與點A(-1,0),B(1,0)，並經過點(0,1),求拋物線的解析式
4已知二次函數f(x),當x=2時有最大值16,他的圖像截x軸所得的線段長為8,求解析式
5二次函數的圖像如圖所示，則點P（a, ）第幾象限_____
6以為自變數的二次函數,m為不小於0的整數，它的圖像與x軸交與點A和點B，A在原點的左邊，B在原點的右邊。求這個函數的解析式畫出這個二次函數的草圖
7如圖，拋物線與x軸交與A,B兩點且線段OA:OB=3:1則m=_______
8已知函數
（1） 求對一切x，f(x)的值恆為非負實數時a的取值范圍；
（2） 在（1）的條件下，求方程的根的取值范圍
9正方形CDEF的邊長為4，截取一個角得五邊形ABCDE，已知AF=2,BF=1,在AB上求一點P.使矩形PNDM有最大面積

函數的應用
1將進貨單價為8元的商品按10元一個銷售時，每天可賣100個，若這種商品價格每上漲一元，日銷售量就減少10個，為了獲得最大利潤，此商品的銷售單價應定為多少元？
2一次時裝表演會預算中票價每張100元，容納觀眾人數不超過2000元，毛利潤y（百元）關於觀眾人數x（百人）之間的函數圖像如右圖所示，當觀眾人數超過1000人時，表演會組織者需向保險公司繳納定額平安保險費5000元（不列入成本費用）：
（1）當觀眾人數不超過1000人時，毛利潤y關於觀眾人數的函數解析式和成本費用 S（百元）關於觀眾人數x的函數解析式
（2）若要使這次表演會獲得36000元的毛利潤。那麼需要售出多少張門票？需付成本費多少元？

3某蔬菜基地種植西紅柿，有有歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內，西紅柿的市場售價與上市時間的關系用下圖（1）的一條折線表示。西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖（2）的拋物線表示。
（1）寫出圖（1）表示的市場售價與時間的函數關系P=f(t);寫出圖（2）表示的種植成本與時間的函數關系Q= g(t);
（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？
2函數的零點
函數的零點就是方程f(x)=0的實數根，也是函數的圖像與x軸的交點的橫坐標。零點概念體現了函數和方程之間的密切聯系
勘根定理：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，並且有f(a)f(b)<0,那麼，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在，使得f(c)=0,這個c就是方程的f(x)=0 根

1函數f(x)=的零點是______
2函數的零點所在的大致區間是______
3已知函數的圖像如右圖所示，求b的取值范圍______
4方程的兩根分別在區間（2,3）（3，4）之間，求的取值范圍

5方程有一非零根，方程有一非零根，求證方程必有一根介於之間
6求證方程在（0,1）內必有一個實數根

7函數的零點大致區間在_________
8已知函數恆有零點，求a的取值范圍

9關於x的方程的一根比1大，一根比1小，求a的取值范圍

10根據函數的性質，指出函數的零點所在的大致區間
二分法：不講

A函數的性質應用
1已知定義域為R的函數是奇函數
(1)求a,b的值

1函數奇偶，單調性解決問題2脫掉f利用函數單調性3注意函數定義域的限制
(2)若對任意的不等式恆成立，求k的取值范圍

2函數f(x)( )是奇函數，且當

時是增函數，若f（1）=0,求不等
式<0的解集

B待定系數法的應用
3已知二次函數f(x)二次項系數為a且不等式f(x)>-2x的解集為（1,3）
（1） 若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解析式
（2） 若f(x)的最大值為正數，求a的取值范圍
4已知f(x)是二次函數，且不等式f(x)<0的解集是（0,5）且f(x)在區間[-1,4]上的最大值是12，求f(x) 的解析式
C有關恆成立問題
5設,且為方程f(x)=0的兩個實根，若,不等式對任意實數恆成立，求m的值
6已知函數，
（1） 當a=,求f(x)的最小值、
（2） 若對任意恆成立，試求實數a的取值范圍
7我國是一個水資源比較缺乏的國家之一，各地採用價格控制手段來達到節約用水的目的，某市用水收費的方法是：水費=基本費+超額費+損耗費
若每月用水量不超過最低限量a()，只付基本費8元和每月定額損耗費c元:若用水量超過a()時，除了付以上的基本費和損耗費外，超過部分每立方米付b元的超額費，已知每戶每月的定額損耗費不超過5元；

C. 函數的最大值和最小值怎麼求

一.求函數最值常用的方法
最值問題是生產,科學研究和日常生活中常遇到的一類特殊的數學問題,是高中數學的一個重點,它涉及到高中數學知識的各個方面,解決這類問題往往需要綜合運用各種技能,靈活選擇合理的解題途徑,而教材中沒有作出系統的敘述.因此,在數學總復習中,通過對例題,習題的分析,歸納出求最值問題所必須掌握的基本知識和基本處理方程.
常見的求最值方法有:
1.配方法:形如的函數,根據二次函數的極值點或邊界點的取值確定函數的最值.
2.判別式法:形如的分式函數,將其化成系數含有y的關於x的二次方程.由於,∴≥0,求出y的最值,此種方法易產生增根,因而要對取得最值時對應的x值是否有解檢驗.
3.利用函數的單調性 首先明確函數的定義域和單調性,再求最值.
4.利用均值不等式,形如的函數,及≥≤,注意正,定,等的應用條件,即:a,b均為正數,是定值,a=b的等號是否成立.
5.換元法:形如的函數,令,反解出x,代入上式,得出關於t的函數,注意t的定義域范圍,再求關於t的函數的最值.
還有三角換元法,參數換元法.
6.數形結合法 形如將式子左邊看成一個函數,右邊看成一個函數,在同一坐標系作出它們的圖象,觀察其位置關系,利用解析幾何知識求最值.
求利用直線的斜率公式求形如的最值.
7.利用導數求函數最值

D. 解決最值問題常用的方法

(1)從極端情況入手
我們在分析某些數學問題時，不妨考慮一下把問題推向「極端」。因為當某一問題被推向「極端」後，往往能排除許多枝節問題的干擾，使問題的「本來面目」清楚地顯露出來，從而使問題迅速獲解。
(2)枚舉比較
根據題目的要求，把可能的答案一一枚舉出來，使題目的條件逐步縮小范圍，篩選比較出題目的答案。
(3)分析推理
根據兩個事物在某些屬性上都相同，猜測它們在其他屬性上也有可能相同的推理方法。
(4)構造
在尋求解題途徑難以進展時，構造出新的式子或圖形，往往可以取得出奇制勝的效果。
(5)應用求最大值和最小值的結論
和一定的兩個數，差越小，積越大。
積一定的兩個數，差越小，和越小。
兩點之間線段最短。

E. 考研數學最值問題求解

中學水平題目
t=tanx，由x的范圍，t的范圍是[0,+∞)
y=2t-t² = -(t-1)²+1
所以 t=1時有最大值1，無最小值
t=1時，x=π/4
因此，x=π/4，函數有唯一最大值1，無最小值

F. 線性代數，二次型的最大最小值是怎麼算的

線性代數，二次型的最大最小值演算法：

1、(A-入I)x=0是齊次線性方程組，x為非零向量，入為非零常數，使得方程成立，也就是說，x的解不唯一，系數陣的非零子式最高階數小於未知數，得/A-入I/=0，當為0是為最大值，不=0就為最小值。

2、演算法公式：Q(av) =aQ(v)對於所有， Ax=入x，(A-入I)x=0，/A-入I/=0。

3、但是，x為非零向量就決定了解不唯一，但系數陣的非零子式最高階數可以等於未知數個數啊，一個非零解不也是解唯一並且2B(u,v) =Q(u+v) −Q(u) −Q(v)是在V上的雙線性形式。

線性代數種類：

4、這里的被稱為相伴雙線性形式；它是對稱雙線性形式。盡管這是非常一般性的定義，經常假定這個環R是一個域，它的特徵不是。V的兩個元素u和v被稱為正交的，如果B(u,v)=0。

5、雙線性形式B的核由正交於V的所有元素組成，而二次形式Q的核由B的核中的有Q(u)=0的所有元素u組成。 如果2是可逆的，則Q和它的相伴雙線性形式B有同樣的核。

6、雙線性形式B被稱為非奇異的，如果它的核是0；二次形式Q被稱為非奇異的，如果它的核是0，非奇異二次形式Q的正交群是保持二次形式Q的V的自同構的群。

7、二次形式Q被稱為迷向的，如果有V中的非零的v使得Q(v)=0。否則它稱為非迷向的。二次空間的一個向量或子空間也可以被稱為迷向的。如果Q(V)=0則Q被稱為完全奇異的。

(6)考研求最值的常用方法擴展閱讀：

最大值與最小值問題

1、特別: 求函數 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ，連續函數的最值 。設 函數的最大值最小值 第三章 則其最值只能 在極值點或端點處達到 。

2、求函數最值的方法: 求 在內的極值可疑點， 最大值 最小值 當 在 內只有一個可疑極值點（駐點）時, 當 在 上單調時, 最值必在端點處達到. 對應用問題 。

3、由於所求問題的最大值和最小值 若在此點取極大 值 , 則也是最大 值 .(小) ，(小) 客觀存在，所以在只有一個極值時。

二次型概念

4、其中a, ...,f是系數。注意一般的二次函數和二次方程不是二次形式的例子，因為它們不總是齊次的。任何非零的n維二次形式定義在投影空間中一個 (n-2)維的投影空間。在這種方式下可把3維二次形式可視化為圓錐曲線。

5、術語二次型也經常用來提及二次空間，它是有序對（V,q），這里的V是在域k上的向量空間，而q:V→k是在V上的二次形式。例如，在三維歐幾里得空間中兩個點之間的距離可以採用涉及六個變數的二次形式的平方根來找到。

線性代數最大值最小值定義

6、線性代數是數學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中。

7、通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。

G. 求函數最值問題常用的10種方法，高考填空，大題每年

一、 配方法主要運用於二次函數或可轉化為二次函數的函數解題過程中要注重自變數的取值范圍．例1已知函數y=(ex-a)2+(e-x-a)2(a∈R,a≠0,求函數y的最小值. 分析:將函數表達式按ex+e-x配方,轉化為關於為變數ex+e-x的二次函數解：y=(ex-a)2+(e-x-a)2=(ex+e-x)2-2a(ex+e-x)+2a2-2, 令t=ex+e-x,f(t)=t2-2at+2a2-2， ∵t≥2,∴f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2的定義域[2,∞),∵拋物線y=f(t)的對稱軸為t=a, ∴當a≤2且a≠0時,ymin=f(2)=2(a-1)2當a>2時,ymin=f(a)=a2-2．評注:利用二次函數的性質求最值要注意到自變數的取值范圍.和對稱軸與區間的相對位置關系. 二. 不等式法運用不等式法求最值必須關注三個條件即」一正二定三相等」．例2 求函數y=(ax2+x+1)/(x+1)(x>-1且a>0)的最小值. 解:y=(ax2+x+1)/(x+1)=ax+a/(x+1)+(1-a)=a(x+1)+ a/(x+1)+1-2a≥2+1-2a=1當a(x+1)=a/(x+1),即x=0時等號成立,∴ymin=1．三. 換元法主要有三角換元和代數換元換兩種.用換元法時,要特別關注中間變數的取值范圍．四. 數形結合法主要適用於具有幾何意義的函數,通過函數的圖象求最值. 例5 已 知x2+y2-2x+4y-20=0求x2+y2的最值. 分析:本題已知條件轉化為(x-1)2+(y+2)2=25,可用三角代換轉化為三角函數最值問題處理,也可藉助幾何圖形數形結合處理. 解:作x2+y2-2x+4y-20=0的圖形,它是圓心在P(1,-2)半徑為5的圓,依題意有x2+y2=2x-4y+20,設x2+y2=z,則z=2x-4y+20即y=x/2 + (20-z)/4,其圖形是斜率為1/2且與已知圓相交的一簇平行線,於是求z的最值問題就是求這簇平行線中在y軸的截距最大或最小問題.由平面幾何知識知,圓心P(1,-2)到切線2x-4y+20-z=0的距離小於或等於半徑,即≤5即|30-z|≤10故30-10≤z≤30+10,故z1=30-10為最小值,z2=30+10為最大值．即x2+y2最大值為30+10，最小值為30-10．五.函數的單調性法先判明函數給定區間上的單調性,而後依據單調性求函數的最值．例6 已知函數f(x)定義域R,為對任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)且x>0時f(x)<0,f(1)=-2試判斷在區間[-3,3] 上f(x)是否有最大值和最小值?如果有試求出最大值和最小值,如果沒有請說明理由. 解:令x1=x2=0,則f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0, 令x1=x, x2=-x則f(x)+f(-x)= f(0)=0 ∴f(x)=-f(-x), ∴f(x)為奇函數. 設x1,x2∈R,且x10, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,∴ f(x2)0對一切x∈R均成立.函數表達式可化為(y-1)x2+(3y+3)x+4y-4=0,當y≠1時∵x∈R,上面的一元二次方程必須有實根,∴△=(3y+3)2-4(y-1)(4y+4)≥0 解得:1/7≤y≤7,(y≠1)當y=1時,x=0.故ymax=7,ymin=1/7 例8 求函數y=x+的最大值和最小值七. 導數法設函數f(x)在[a,b]上連續在(a,b)上可導,則f(x)在[a,b]上的最大值和最小值應為f(x)在(a,b)內的各極值與f(a),f(b)中的最大值和最小值例9 動點P(x,y)是拋物線y=x2-2x-1上的點,o為原點,op2當x=2時取得極小值,求,op2的最小值祝學習進步@

H. 求函數的值域（與最值）的常用方法

方法1，完全平方公式。將y=ax²+bx+c變換為y=a（x-m）²+n，則a>0，x=m時，有最小值n；a<0，x=m時，有最大值n。
方法2，求導求極大值極小值。

I. 淺議求多變數函數的最值的常用方法

1.配方法:將函數解析式化成含有自變數的平方式與常數的和，然後根據變數的取值范圍確定函數的最值.形如的函數值域均可用此法，要特別注意自變數的范圍.
2分離常數法：將函數解析式化成含有一個常數和含有 的表達式，利用自變數取值范圍確定表達式取值范圍。形如 的函數的值域，均可以使用此法，此外這種函數的值域也可以利用反函數法，利用反函數的定義域進行值域的求解。
3.判別式法:把函數轉化成關於的二次方程 ，通過方程有實根，判別式 ，從而求得原函數的值域。形如 的函數的值域常用此法解決。
注意事項：①函數定義域為R；②分子、分母沒有公因式。
4.不等式法:利用基本不等式取等號確定函數的最值，常用不等式有：
① 當且僅當a = b時，「=」號成立；
② 當且僅當a = b時，「=」號成立；
③ 當且僅當a = b = c時,「=」號成立；
④ ,當且僅當a = b = c時,「=」號成立.
注意事項：①基本不等式求最值時一定要注意應用的條件是「一正二定三等」.
②熟悉一個重要的不等式鏈：
5.換元法:運用代數或者三角代換，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域。
注意事項：換元法使用時一定要注意新變元的取值范圍.

6.數形結合法:當一個函數圖象較容易作出時，通過圖像可以求出其值域和最值；或利用函數所表示的幾何意義，藉助幾何方法求出函數的值域。例如距離、斜率等.
7.函數的單調性法:確定函數在定義域（或某個定義域的子集）上的單調性以求出函數的值域.注意事項：1 函數單調性問題必須先在討論定義域條件下進行。
2 函數的單調性的判斷方法有定義法，導數判斷法等方法。