求函數值域的四種常用方法

⑴ 求函數值域方法

函數值域的求法可以通過觀察法、配方法、常數分離法、換元法、逆求法、基本不等式法、求導法、數形結合法和判別式法等方法來求。

一、配方法：將函數配方成頂點式的格式，再根據函數的定義域，求得函數的值域。

二、常數分離：這一般是對於分數形式的函數來說的，將分子上的函數盡量配成與分母相同的形式，進行常數分離，求得值域。

三、逆求法：對於y=某x的形式，可用逆求法，表示為x=某y，此時可看y的限制范圍，就是原式的值域了。

四、換元法：對於函數的某一部分，較復雜或生疏，可用換元法，將函數轉變成我們熟悉的形式，從而求解。

五、單調性：可先求出函數的單調性(注意先求定義域)，根據單調性在定義域上求出函數的值域。

六、基本不等式：根據我們學過的基本不等式，可將函數轉換成可運用基本不等式的形式，以此來求值域。

七、數形結合：可根據函數給出的式子，畫出函數的圖形，在圖形上找出對應點求出值域。

八、求導法：求出函數的導數，觀察函數的定義域，將端點值與極值比較，求出最大值與最小值，就可得到值域了。

⑵ 如何求函數值域（方法）

1．觀察法
用於簡單的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞,
1]
y=(1
x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
2.配方法
多用於二次(型)函數。
y＝x^2-4x
3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,
＋∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）
3.
換元法
多用於復合型函數。
通過換元，使高次函數低次化，分式函數整式化，無理函數有理化，超越函數代數以方便求值域。
特別注意中間變數（新量）的變化范圍。
4.
不等式法
用不等式的基本性質，也是求值域的常用方法。
y=（e^x
1）/(e^x-1),
(0<x<1).
0<x<1,
1<e^x<e,
0<e^x-1<e-1,
1/(e^x-1)>1/(e-1),
y=1
2/(e^x-1)>1
2/(e-1).值域(1
2/(e-1),＋∞).
5.
最值法
如果函數f(x)存在最大值M和最小值m.那麼值域為[m,M].
因此,求值域的方法與求最值的方法是相通的.
6.
反函數法
有的又叫反解法.
函數和它的反函數的定義域與值域互換.
如果一個函數的值域不易求,而它的反函數的定義域易求.那麼,我們通過求後者而得出前者.
7.
單調性法
若f(x)在定義域[a,
b]上是增函數,則值域為[f(a),
f(b)].減函數則值域為[f(b),f(a)]

⑶ 怎樣求函數值域

求值域
de
關鍵是先找出函數的定義域。
有界函數還是無界函數
三角函數還是多項式
線性多項式，二次多項式，三次多項式，高次多項式
找到定義域後，把定義域邊界值代入函數，計算y值,y值的范圍就是值域。
如果你是大學生：
計算一階導數和二階導數，找出曲線反彎點，判斷極大極小，求出y。

⑷ 求函數值域的方法有哪些

下面介紹一下常見的幾種方法
1,配方法(二次函數或二次形式的函數求值域的典型方法)
2,換元法(比如三角換元,整體代換)
3,判別式法
4,利用函數單調性(閉區間上連續函數有最大,最小值)
5,數形結合的方法(利用問題的幾何意義,將代數問題轉化為幾何問題)
6,求導數的方法(似乎所有的給定解析式求最值都可以用求導數的方法,但有些初等問題用導數求解相當啰嗦)
7,反解法(利用函數和它的反函數的定義域和值域的互逆關系,通過恆等變形,求原函數的值域)
8,其它特殊方法

⑸ 求函數值域的方法總結

在具體求某個函數的值域時, 首先要仔細、 認真觀察其題型特徵, 然後再選擇恰當的方法，下面為大家總結了求函數值域的方法，希望可以幫助到同學們。

一．觀察法

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

例1求函數y=3+√(2－3x)的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函數的知域為.

點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函數法

當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域

例3：求函數y=√(－x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的'一種重要的思想方法。

練習：求函數y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})

四．判別式法

若可化為關於某變數的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。

例4求函數y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

點撥：將原函數轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3

當y=2時,方程(＊)無解。∴函數的值域為2＜y≤10/3。

點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。

練習：求函數y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。

五．最值法

對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

點撥：根據已知條件求出自變數x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4。

∴函數z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。

練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．圖象法

通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。

例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函數，作出其圖象。

解：原函數化為－2x+1(x≤1)

y=3(-1<x≤2)

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，＋∞]。

點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象

求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域

七．單調法

利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

例1求函數y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥：由已知的函數是復合函數，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。

解：設f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為｛y|y≤4/3｝。

點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。

練習：求函數y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．換元法

以新變數代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變數為自變數的函數形式，進而求出值域。

例2求函數y=x-3+√2x+1的值域。

點撥：通過換元將原函數轉化為某個變數的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域。

解：設t=√2x+1（t≥0）,則

x=1/2(t2-1)。

於是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函數的值域為｛y|y≥－7/2｝。

點評：將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數，通過求出二次函數的最值，從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。

練習：求函數y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．構造法

根據函數的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。

例3求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

點撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。

解：原函數變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位

正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共

線時取等號。

∴原函數的知域為｛y|y≥5｝。

點評：對於形如函數y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明了、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。

練習：求函數y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

以上九種是函數求值域最常用的方法,下面介紹三種特殊情況下求值域的幾種方法.

十．比例法

對於一類含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。

點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設置參數，代入原函數。

解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

當k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時，zmin=1。

函數的值域為｛z|z≥1｝.

點評：本題是多元函數關系，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設參數，可將原函數轉化為單函數的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。

練習：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多項式的除法

例5求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點撥：將原分式函數，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函數y的值域為y≠3的一切實數。

點評：對於形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。

練習：求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例6求函數Y=3x/(3x+1)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，根據自變數的取值范圍，構造不等式。

解：易求得原函數的反函數為y=log3[x/(1-x)],

由對數函數的定義知x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函數的值域（0，1）。

點評：考查函數自變數的取值范圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出函數定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一

⑹ 如何求函數的值域

值域是函數值所在的集合。一旦函數的定義域和對應法則確定了，函數的值域也就隨之確定。下面介紹幾種常用的求函數值域的方法:
1.配方法
2.區間劃分法
3.不等式比較法
4.函數變換法
5.換元法
6.

⑺ 求函數值域的方法都有哪些

根據函數的幾何圖形。
⑧數形結合：
，利用平均值不等式公式來求值域：轉化成型如，利用數型結合的方法來求值域；
④換元法，再由
的取值范圍，化歸思想函數值域的求法：
、餘弦的函數，通過解不等式；
⑦單調性法：通過反解；
②逆求法（反求法），運用三角函數有界性來求值域；常轉化為型如：通過變數代換轉化為能求值域的函數；
⑤三角有界法：
①配方法；常用來解：
的形式：轉化為二次函數，可根據函數的單調性求值域，利用二次函數的特徵來求值，型如：函數為單調函數：轉化為只含正弦；
⑥基本不等式法，用
來表示
，得出
的取值范圍

⑻ 怎樣求函數的值域

求函數的值域首先必須明確兩點：一點是值域的概念，即對於定義域A上的函數y=f(x)其值域就是指集合C={y|y=f(x)，x∈A}，另一點是函數的定義域、對應法則是確定函數的依據。

求值域常用方法：

1、圖像法：

根據函數圖象，觀察最高點和最低點的縱坐標。

2、配方法：

利用二次函數的配方法求值域，需注意自變數的取值范圍。

3、單調性法：

利用二次函數的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。

4、反函數法：

若函數存在反函數，可以通過求其反函數，確定其定義域就是原函數的值域。

5、換元法：

包含代數換元、三角換元兩種方法，換元後要特別注意新變數的范圍[2]。

6、判別式法：

判別式法即利用二次函數的判別式求值域。

7、復合函數法：

設復合函數為f[g(x)，]g(x) 為內層函數, 為了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然後把g(x) 看成一個整體，相當於f(x)的自變數x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定義域，然後根據 f(x)函數的性質求出其值域。

(8)求函數值域的四種常用方法擴展閱讀：

值域：數學名詞，函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。f：A→B中，值域是集合B的子集。如：f(x)=x，那麼f(x)的取值范圍就是函數f(x)的值域。

常見函數值域：

y=kx+b （k≠0）的值域為R

y=k/x 的值域為(-∞,0)∪(0,+∞)

y=√x的值域為x≥0

y=ax^2+bx+c 當a>0時，值域為 [4ac-b^2/4a,+∞) ；

當a<0時，值域為（-∞，4ac-b^2/4a]

y=a^x 的值域為 (0,+∞)

y=lgx的值域為R

⑼ 函數怎樣求值域，都有哪 些方法

函數值域求法:1. 直接觀察法:對於一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。
2. 配方法:配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。
3. 判別式法：由判別式法來判斷函數的值域時，若原函數的定義域不是實數集時，應綜合函數的定義域，將擴大的部分剔除。
4. 反函數法;直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。
5. 函數有界性法:直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，反客為主來確定函數的值域。
6. 函數單調性法
7. 換元法:通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，其題型特徵是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發揮作用。
8. 數形結合法:其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。
9. 不等式法:利用基本不等式 ，求函數的最值，其題型特徵解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。
10. 一一映射法
原理：因為 在定義域上x與y是一一對應的。故兩個變數中，若知道一個變數范圍，就可以求另一個變數范圍。
11. 多種方法綜合運用
總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函數單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。

⑽ 函數值域的求法

求函數值域的方法有：觀察法、配方法、常數分離法、換元法、逆求法、基本不等式法、求導法、數形結合法和判別式法等。在函數的經典定義中，因變數的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。

函數值域的求法
一、配方法
將函數配方成頂點式的格式，再根據函數的定義域，求得函數的值域。
二、常數分離
這一般是對於分數形式的函數來說的，將分子上的函數盡量配成與分母相同的形式，進行常數分離，求得值域。
三、逆求法
對於y=某x的形式，可用逆求法，表示為x=某y，此時可看y的限制范圍，就是原式的值域了。
四、換元法
對於函數的某一部分，較復雜或生疏，可用換元法，將函數轉變成我們熟悉的形式，從而求解。

五、單調性
可先求出函數的單調性(注意先求定義域)，根據單調性在定義域上求出函數的值域。
六、基本不等式
根據我們學過的基本不等式，可將函數轉換成可運用基本不等式的形式，以此來求值域。
七、數形結合
可根據函數給出的式子，畫出函數的圖形，在圖形上找出對應點求出值域。
八、求導法
求出函數的導數，觀察函數的定義域，將端點值與極值比較，求出最大值與最小值，就可得到值域了。