『壹』 求函數值域與最值的常用方法
首先，確定函數的定義域。將定義域邊界值代入函數求出函數值。然後，對函數進行一次求導，令其等於0.解得x值，分別將求得的x值代入函數求出函數值。前後2組函數值進行比較即可得到最大值和最小值。
『貳』 求函數值域的常用方法、並舉例~ 求函數值域有哪些方法,舉例說明、詳細~
求函數值域的幾種常見方法
1直接法：利用常見函數的值域來求
一次函數y=ax+b(a 0)的定義域為R,值域為R；
反比例函數 的定義域為{x|x≠0},值域為{y|y≠0}；
二次函數的定義域為R
當a>0時,值域為{y|y≥(4ac-b��)/4a}；
當a0,∴y(min)=(4ac-b��)/4a=[4×1×3-（-2）��]/4×1=1
即函數的值域是{y|y≥2}2．
二次函數在定區間上的值域(最值)：
①f(x)=x��-6x+12 x∈[4,6]
因為對稱軸x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次項系數1>0
所以f(x)=x��-6x+12 在x∈[4,6]是增函數
所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
②f(x)=x��-6x+12 x∈[0,5]
因為對稱軸x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次項系數1>0
所以f(x)=x��-6x+12 在x∈[0,3]是減函數,在x∈(3,5]是增函數
所以f(x)min=f(3)=3 而f(0)=12 f(5)=7,所以f(x)max=f(0)=12
f(x)的值域是[3,12]
3觀察法求y=(√x)+1的值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)
4配方法求y=√(x��-6x-5)的值域
∵-x��-6x-5≥0可知函數的定義域是[-5,-1]
∵-x��-6x-5=-(x+3)��+4因為-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)��≤4所以-4≤-(x+3)��≤0
終於得到0≤-(x+3)��+4≤4所以0≤√(x��-6x-5)≤2
所以y=√(x��-6x-5)的值域是[0,2]
5.圖像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域
因為y=-2x+2(x0 解得 0
『叄』 如何求函數的值域
函數值域的幾種常見方法 1．直接法：利用常見函數的值域來求一次函數y=ax+b(a 0)的定義域為R，值域為R；反比例函數 的定義域為{x|x 0}，值域為{y|y 0}；二次函數 的定義域為R，當a>0時，值域為{ }；當a<0時，值域為{ }. 例1．求下列函數的值域① y=3x+2(-1 x 1) ②③④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5] ②∵∴ 即函數 的值域是 { y| y 2} ③ ④當x>0，∴ = ，當x<0時， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也稱為配方法）函數 的圖像為： 2．二次函數比區間上的值域(最值)：例2 求下列函數的最大值、最小值與值域：①； 解：∵，∴頂點為(2,-3)，頂點橫坐標為2. ①∵拋物線的開口向上，函數的定義域R，∴x=2時，ymin=-3 ,無最大值；函數的值域是{y|y -3 }. ②∵頂點橫坐標2 [3,4]，當x=3時，y= -2；x=4時，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域為[-2，1]. ③∵頂點橫坐標2 [0,1]，當x=0時，y=1；x=1時，y=-2, ∴在[0,1]上， =-2， =1；值域為[-2，1]. ④∵頂點橫坐標2 [0,5]，當x=0時，y=1；x=2時，y=-3, x=5時，y=6, ∴在[0,1]上， =-3， =6；值域為[-3，6]. 註：對於二次函數 , ⑴若定義域為R時，①當a>0時，則當 時，其最小值 ；②當a<0時，則當 時，其最大值 . ⑵若定義域為x [a,b],則應首先判定其頂點橫坐標x0是否屬於區間[a,b]. ①若 [a,b],則 是函數的最小值（a>0）時或最大值（a<0）時，再比較 的大小決定函數的最大（小）值. ②若 [a,b],則[a,b]是在 的單調區間內，只需比較 的大小即可決定函數的最大（小）值. 註：①若給定區間不是閉區間，則可能得不到最大（小）值；②當頂點橫坐標是字母時，則應根據其對應區間特別是區間兩端點的位置關系進行討論. 3．判別式法（△法）：判別式法一般用於分式函數，其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項系數是否為0的討論 例3．求函數 的值域方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①當 y11時 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 檢驗 時 （代入①求根）∵2 ? 定義域 { x| x12且 x13} ∴ 再檢驗 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 綜上所述，函數 的值域為 { y| y11且 y1 } 方法二：把已知函數化為函數 (x12) ∵ x=2時 即 說明：此法是利用方程思想來處理函數問題，一般稱判別式法. 判別式法一般用於分式函數，其分子或分母只能為二次式.解題中要注意二次項系數是否為0的討論. 4．換元法例4．求函數 的值域解：設則 t 0 x=1- 代入得 5．分段函數例5．求函數y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：將函數化為分段函數形式： ，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數的值域是{y|y 3}. 解法2：∵函數y=|x+1|+|x-2|表示數軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，∴易見y的最小值是3，∴函數的值域是[3，+ ]. 如圖兩法均採用「數形結合」，利用幾何性質求解，稱為幾何法或圖象法. 說明：以上是求函數值域常用的一些方法（觀察法、配方法、判別式法、圖象法、換元法等），隨著知識的不斷學習和經驗的不斷積累，還有如不等式法、三角代換法等.有的題可以用多種方法求解，有的題用某種方法求解比較簡捷，同學們要通過不斷實踐，熟悉和掌握各種解法，並在解題中盡量採用簡捷解法. 小結:求函數值域的基本方法（直接法、換元法、判別式法）；二次函數值域（最值）或二次函數在某一給定區間上的值域（最值）的求法.
『肆』 求函數的值域的常用方法有
求函數值域與最值的常用方法，幾乎囊括了數學常用的方法.
觀察法、配方法、分離常數法、反解法、換元法、判別式法、均值定理法、單調性法、數形結合法和導數法等.
有時需要綜合幾種方法，才能求出值域.
『伍』 函數求最值的方法有那些
常見的求最值方法有:
1.配方法:
形如的函數,根據二次函數的極值點或邊界點的取值確定函數的最值.
2.判別式法:
形如的分式函數,
將其化成系數含有y的關於x的二次方程.由於,
0,
求出y的最值,
此種方法易產生增根,
因而要對取得最值時對應的x值是否有解檢驗.
3.利用函數的單調性 首先明確函數的定義域和單調性,
再求最值.
4.利用均值不等式,
形如的函數,
及,
注意正,定,等的應用條件,
即:
a,
b均為正數,
是定值,
a=b的等號是否成立.
5.換元法:
形如的函數,
令,反解出x,
代入上式,
得出關於t的函數,
注意t的定義域范圍,
再求關於t的函數的最值.
還有三角換元法,
參數換元法.
6.數形結合法
形如將式子左邊看成一個函數,
右邊看成一個函數,
在同一坐標系作出它們的圖象,
觀察其位置關系,
利用解析幾何知識求最值.
求利用直線的斜率公式求形如的最值.
7.利用導數求函數最值.
『陸』 求函數值域的常用方法
求函數值域的常用方法有：化歸法、復合函數法、判別式法、圖像法、分離常數法、反函數法、換元法、不等式法、單調性法。在函數中，因變數的變化而變化的取值范圍叫做這個函數的值域。
求值域的方法
化歸法：
把所要解決的問題，經過某種變化，使之歸結為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結果作用於原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法。
圖像法：根據函數圖像，觀察最高點和最低點的縱坐標。
配方法：利用二次函數的配方法求值域，需注意自變數的取值范圍。
單調性法：利用二次函數的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。
反函數法：若函數存在反函數，可以通過求其反函數，確定其定義域就是原函數的值域。
換元法：包含代數換元、三角換元兩種方法，換元後要特別注意新變數的范圍。
『柒』 求函數的最值有哪些方法
函數值域最值常用的方法
1） 利用基本函數求值域法：有的函數結構並不復雜，可以通過基本函數的值域及不等式的性質直接觀察出函數的值域 例1：y=1/(2+)
2） 反函數法：用函數和它的反函數的定義域和值域的關系，可以通過求反函數的定義域而得到原函數的值域. 對形如y=(cx+d)/(ax+b) (a=!0)的函數可用此法 例2：y=(2x-1)/(2x+1) ; y=(5x-1)/(4x+2) , x屬於[-3,-1].
3） 配方法：配方法是求「二次函數類」值域的基本方法，形如F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c]的值域問題，均使用配方法。
4） 換元法運用代數或三角代換，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而給出原函數的值域，形如y=ax+b(cx+d)(1/2) (a,b,c,d均為常數，且a=!0)的函數常用此方法求解(注意1新元的取值范圍，即換元後的等價性2換元後的可操作性) 例4已知函數f(x)=2x(1/2)+(4-x)(1/2),則函數f(x)的值域_________
5） 判別式法將函數轉化為x 的二次方程F(x,y)=0,通過方程有實根，判別式>=0,從而求得函數的值域，形如 (a1,a2不同時為0)的函數的值域常用此法求解。（分子，分母沒有公因式；此時函數的定義域是全體實數）例5：;
6） 不等式法：利用基本不等式： 應用此法注意條件「一正二定三相等」例6：若函數f(x)的值域為[1/2,3],則函數F(x)=f(x)+的值域為_____
7） 數形結合法：若函數的解析式的幾何意義較明顯，諸如距離，斜率等，可用數形結合的方法。 例7:對a,bR.設max{a,b}=求函數f(x)=max{},的最小值
8） 導數法：
9） 已知函數的值域，求函數中待定字母的取值范圍 9例9：已知函數f(x)=的定義域，值域是[0,2],求m,n的值域。
函數的圖像
1：函數圖像的基本做法：1）描點法
2） 圖像變換法
3） 做圖像的一般步驟：a求出函數的定義域；b討論函數的性質（奇偶性，周期性）以及函數上的特殊點（如漸近線，對稱軸）c利用基本函數的圖像畫出所給函數的圖像
2：函數變換的四種形式：
1)平移變換左加右減
2)對稱變換 a：y=f(x)和y=f(-x); y=-f(x)和y=f(x); y=-f(-x)和y=f(x); y=和y=f(x)分別關於y軸，x軸，原點，直線y=x對稱。
b:若對定義域內的一切x均有f(x+m)=f(m-x),則y=f(x)的圖像關於x=m對稱；
c:y=f(x)與y=2b-f(2a-x)關於點（a,b）成中心對稱
3)伸縮變換:y=af(x) y=f(ax)
4)翻折變換 y= y=f()
3函數圖像的對稱性
1） f(-x)=-f(x) 圖像關於原點對稱
2） f(-x)=f(x) 圖像關於y軸對稱
3） y=和y=f(x) 圖像關於y=x對稱
4） f(a+x)=f(a-x) 圖像關於x=a對稱
5） f(a+x)=-f(a-x) 圖像關於(a,0)對稱
函數單調性
判斷函數單調性的常用方法：
1） 定義法
2） 兩增（減）函數的和還增（減）；增（減）函數與減（增）函數的差還是增（減）函數；
3） 減函數在對稱的兩個區間上具有相同的單調性；偶函數在對稱的兩個區間上具有相反的單調性、
4） y=f(x)在D上單調則y=f(x)在D的子區間上也單調，並且具有相同的單調性。
5） y=f(u),u=g(x)單調性相同，則y=f(g(x))是增函數；單調性相反，則y=f(g(x))是減函數（同增異減）；
6） 互為反函數的兩個函數具有相同的單調性
7） 利用導數判斷函數的單調性
8） 抽象函數的單調性：做差；做商（注意分母不為零且同號）。
9） 關於函數f(x)=x+a/x(a>0)單調性及應用
例1：函數在定義域上是減函數
例2： 已知函數f(x)=+a/x在[2,+）單調增，求a的取值范圍
例3：函數f(x)=,g(x)=x(2-x)的單調區間
例4：函數f(x)對任意的 都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,並且當 x>0是，f(x)>1,求證f(x)是R上的增函數。
例5：某食品廠定期購買麵粉，已知該廠每天需要麵粉6噸，每噸麵粉的價格為1800元，麵粉的保管及其他費用為平均每噸每天三元，購買麵粉每次需要支付運費900元。
（1） 求該廠每隔多少天購買一次麵粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？
（2）若提供麵粉的公司規定：當一次購買的麵粉不少於210噸時，其價格可享受9折優惠，問該廠是否考慮利用此優惠條件？說明原因。
例6：已知f(x)為R上的減函數，求滿足< f(1)的實數x的取值范圍。
例7：是否存在實數a是函數f(x)= 在[2,4]上市增函數？如果存在，說明a可取哪些值；如果不存在，請說明理由。
函數的奇偶性
1：定義:y=f(x), 定義域關於原點對稱
偶函數：f(-x)=f(x)
奇函數：f(-x)=-f(x) （原點有定義有f(0)=0）
2奇函數，偶函數的圖像的性質：
奇函數圖像關於原點對稱；
偶函數圖像關於y軸對稱。
3判斷奇偶性方法
1） 定義
2） 定義變形：f(-x)+f(x)=0（）為奇函數； f(-x)-f(x)=0（）為偶函數。
3） 函數奇偶性滿足下列性質：奇+奇=奇；偶+偶+偶；
奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇。
4）奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性； 偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性。
周期公式：
1：若函數關於直線x=a和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
2:若函數關於點（a，0）和（b，0）對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
3若函數關於點（a，0）和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，4是它的一個周期；
例1：f(x)=lg()
例2：
例3：
例4：
例5：在R上定義的函數f(x)是偶函數，且f(x)=f(2-x),若f(x)在區間[1,2]是減函數，討論f(x)[-2,-1]和[3,4]上的單調性。
例6：已知f(x)是偶函數，且在[）是增函數，如果f(ax+1)f(x-2)在x[1/2,1]恆成立，求實數a的取值范圍
例7：已知 其中a,b,c,d為常數，若f(-7)=-7.求f(7).
周期公式：
1：若函數關於直線x=a和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
2:若函數關於點（a，0）和（b，0）對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
3若函數關於點（a，0）和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，4是它的一個周期；
求函數解析式常用方法：
（1）定義法：有已知條件f[g(x)]=F(x),可將F(x),改寫成g(x)的表達式，然後以x代替g(x), 使得f(x)的表達式常需「湊配」。
例1：f（(1-x）/(1+x)）=(1-x2)/(1+x2).求f(x)的解析表達式。
（2）變數代換法：有已知條件f[g(x)]=F(x)，令t=g(x),然後反解出x=g-1(t).帶入F(x),即可得f(x)的表達式。
例2：f(e x-1)=2x2-1.求f(x)的解析表達式
（3）待定系數法：又是給定函數特徵求函數的解析式，可用待定系數法。例3：函數是二次函數可設為f(x)=ax2+bx+c(a不等於零)。期中a,b,c是待定系數，根據題設條件列出方程組，解出a.b.c
.例3；設二次方程f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2)。且圖像在y軸上的截距為1，被x軸截得的線段長為2*2（1/2），求f(x)的解析式。
（4）函數方程法：將f(x)作為一個未知量來考慮，建立方程組。消去另外的未知量便得f(x)的表達式。 例4::已知f(x)-f(1/x)lnx=1,求解f(x)的表達式
（5） 參數法：引入某個參數，然後寫出用這個參數表示變數的式子（即參數方程），再消去參數就得f(x)表達式。 例5：已知 f(3sinx)=cot(2)x求f(x)的表達式
（6）賦值法:對於抽象函數f(x),如果滿足條件中對一切實屬成立。那麼對於特殊值仍然成立。我們就可以賦予特殊值。 例6：已知f(x)滿足：f(0)=1,且對任意的x,y屬於R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)+x-2求f(x).
（7） 根據某實際問題建立一種函數關系式，這種情況須引入合適的變數，根據數學的有關知識找出函數關系式。
一次二次函數
1 一次函數
a形如y=kx+b 叫做一次函數值域R；b=0,y=kx叫做正比例函數
b一次函數的k叫做直線y=kx+b的斜率，b叫做y=kx+b的截距。
c函數圖像（性質）：
1已知函數y=(2m-1)x+1-3m,求m為何值時：
這個函數為正比例函數；
（2）這個函數為奇函數
（3）函數值y隨x的增大而減小
2一次函數y=(3a-7)x+a-2的圖像與y軸的交點在x軸上方，且y隨x的增大而減小，則a的取值范圍______.
3已知函數f(x)=2mx+4,若在[-2,1]上存在，使得f()=0,求實數m的取值范圍。
4關於x的方程ax+1=|x|有兩個不同的實根，求實數a的取值范圍
2 二次函數
a形如 叫做二次函數
值域 a>0 ; a<0
b二次函數有三種形式 A: 一般式
B :頂點式
C 兩根式
c二次函數的基本概念： 1對稱軸
2頂點坐標 3零點（根）
4韋達定理 5
d 一元二次方程的判別式
e函數圖像：（性質）
1已知二次函數f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,f(x)的最大值是8，試確定二次函數
2二次函數的頂點坐標（2，3）且經過點（3,1）求這個二次函數的解析式
3已知拋物線與x軸交與點A(-1,0),B(1,0)，並經過點(0,1),求拋物線的解析式
4已知二次函數f(x),當x=2時有最大值16,他的圖像截x軸所得的線段長為8,求解析式
5二次函數的圖像如圖所示，則點P（a, ）第幾象限_____
6以為自變數的二次函數,m為不小於0的整數，它的圖像與x軸交與點A和點B，A在原點的左邊，B在原點的右邊。求這個函數的解析式畫出這個二次函數的草圖
7如圖，拋物線與x軸交與A,B兩點且線段OA:OB=3:1則m=_______
8已知函數
（1） 求對一切x，f(x)的值恆為非負實數時a的取值范圍；
（2） 在（1）的條件下，求方程的根的取值范圍
9正方形CDEF的邊長為4，截取一個角得五邊形ABCDE，已知AF=2,BF=1,在AB上求一點P.使矩形PNDM有最大面積
函數的應用
1將進貨單價為8元的商品按10元一個銷售時，每天可賣100個，若這種商品價格每上漲一元，日銷售量就減少10個，為了獲得最大利潤，此商品的銷售單價應定為多少元？
2一次時裝表演會預算中票價每張100元，容納觀眾人數不超過2000元，毛利潤y（百元）關於觀眾人數x（百人）之間的函數圖像如右圖所示，當觀眾人數超過1000人時，表演會組織者需向保險公司繳納定額平安保險費5000元（不列入成本費用）：
（1）當觀眾人數不超過1000人時，毛利潤y關於觀眾人數的函數解析式和成本費用 S（百元）關於觀眾人數x的函數解析式
（2）若要使這次表演會獲得36000元的毛利潤。那麼需要售出多少張門票？需付成本費多少元？
3某蔬菜基地種植西紅柿，有有歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內，西紅柿的市場售價與上市時間的關系用下圖（1）的一條折線表示。西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖（2）的拋物線表示。
（1）寫出圖（1）表示的市場售價與時間的函數關系P=f(t);寫出圖（2）表示的種植成本與時間的函數關系Q= g(t);
（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？
2函數的零點
函數的零點就是方程f(x)=0的實數根，也是函數的圖像與x軸的交點的橫坐標。零點概念體現了函數和方程之間的密切聯系
勘根定理：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，並且有f(a)f(b)<0,那麼，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在，使得f(c)=0,這個c就是方程的f(x)=0 根
1函數f(x)=的零點是______
2函數的零點所在的大致區間是______
3已知函數的圖像如右圖所示，求b的取值范圍______
4方程的兩根分別在區間（2,3）（3，4）之間，求的取值范圍
5方程有一非零根，方程有一非零根，求證方程必有一根介於之間
6求證方程在（0,1）內必有一個實數根
7函數的零點大致區間在_________
8已知函數恆有零點，求a的取值范圍
9關於x的方程的一根比1大，一根比1小，求a的取值范圍
10根據函數的性質，指出函數的零點所在的大致區間
二分法：不講
A函數的性質應用
1已知定義域為R的函數是奇函數
(1)求a,b的值
1函數奇偶，單調性解決問題2脫掉f利用函數單調性3注意函數定義域的限制
(2)若對任意的不等式恆成立，求k的取值范圍
2函數f(x)( )是奇函數，且當
時是增函數，若f（1）=0,求不等
式<0的解集
B待定系數法的應用
3已知二次函數f(x)二次項系數為a且不等式f(x)>-2x的解集為（1,3）
（1） 若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解析式
（2） 若f(x)的最大值為正數，求a的取值范圍
4已知f(x)是二次函數，且不等式f(x)<0的解集是（0,5）且f(x)在區間[-1,4]上的最大值是12，求f(x) 的解析式
C有關恆成立問題
5設,且為方程f(x)=0的兩個實根，若,不等式對任意實數恆成立，求m的值
6已知函數，
（1） 當a=,求f(x)的最小值、
（2） 若對任意恆成立，試求實數a的取值范圍
7我國是一個水資源比較缺乏的國家之一，各地採用價格控制手段來達到節約用水的目的，某市用水收費的方法是：水費=基本費+超額費+損耗費
若每月用水量不超過最低限量a()，只付基本費8元和每月定額損耗費c元:若用水量超過a()時，除了付以上的基本費和損耗費外，超過部分每立方米付b元的超額費，已知每戶每月的定額損耗費不超過5元；
『捌』 求函數的值域有什麼辦法
求 函數值域的幾種常見方法
1．直接法：利用常見函數的值域來求
一次函數y=ax+b(a 0)的定義域為R，值域為R；
反比例函數 的定義域為{x|x 0}，值域為{y|y 0}；
二次函數 的定義域為R，
當a>0時，值域為{ }；當a<0時，值域為{ }.
例1．求下列函數的值域
① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④
解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，
∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]
②∵ ∴
即函數 的值域是 { y| y 2}
③
④當x>0，∴ = ，
當x<0時， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也稱為配方法）
函數 的圖像為：
2．二次函數比區間上的值域(最值)：
例2 求下列函數的最大值、最小值與值域：
① ；
解：∵ ，∴頂點為(2,-3)，頂點橫坐標為2.
①∵拋物線的開口向上，函數的定義域R，
∴x=2時，ymin=-3 ,無最大值；函數的值域是{y|y -3 }.
②∵頂點橫坐標2 [3,4]，
當x=3時，y= -2；x=4時，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域為[-2，1].
③∵頂點橫坐標2 [0,1]，當x=0時，y=1；x=1時，y=-2,
∴在[0,1]上， =-2， =1；值域為[-2，1].
④∵頂點橫坐標2 [0,5]，當x=0時，y=1；x=2時，y=-3, x=5時，y=6,
∴在[0,1]上， =-3， =6；值域為[-3，6].
註：對於二次函數 ,
⑴若定義域為R時，
①當a>0時，則當 時，其最小值 ；
②當a<0時，則當 時，其最大值 .
⑵若定義域為x [a,b],則應首先判定其頂點橫坐標x0是否屬於區間[a,b].
①若 [a,b],則 是函數的最小值（a>0）時或最大值（a<0）時，再比較 的大小決定函數的最大（小）值.
②若 [a,b],則[a,b]是在 的單調區間內，只需比較 的大小即可決定函數的最大（小）值.
註：①若給定區間不是閉區間，則可能得不到最大（小）值；
②當頂點橫坐標是字母時，則應根據其對應區間特別是區間兩端點的位置關系進行討論.
3．判別式法（△法）：
判別式法一般用於分式函數，其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項系數是否為0的討論
例3．求函數 的值域
方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①
當 y11時 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0
由此得 (5y+1) 0
檢驗 時 （代入①求根）
∵2 ? 定義域 { x| x12且 x13} ∴
再檢驗 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11
綜上所述，函數 的值域為 { y| y11且 y1 }
方法二：把已知函數化為函數 (x12)
∵ x=2時 即
說明：此法是利用方程思想來處理函數問題，一般稱判別式法. 判別式法一般用於分式函數，其分子或分母只能為二次式.解題中要注意二次項系數是否為0的討論.
4．換元法
例4．求函數 的值域
解：設 則 t 0 x=1-
代入得
5．分段函數
例5．求函數y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：將函數化為分段函數形式： ，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數的值域是{y|y 3}.
解法2：∵函數y=|x+1|+|x-2|表示數軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，∴易見y的最小值是3，∴函數的值域是[3，+ ]. 如圖
兩法均採用「數形結合」，利用幾何性質求解，稱為幾何法或圖象法.
說明：以上是求函數值域常用的一些方法（觀察法、配方法、判別式法、圖象法、換元法等），隨著知識的不斷學習和經驗的不斷積累，還有如不等式法、三角代換法等.有的題可以用多種方法求解，有的題用某種方法求解比較簡捷，同學們要通過不斷實踐，熟悉和掌握各種解法，並在解題中盡量採用簡捷解法.