什麼方法是解集合問題常用方法

A. 集合的判斷方法及解法

郭敦顒回答：
集合的判斷方法及解法，首先要理解集合與元素的基本概念，然後就有了判斷方法及解法，而便於判斷及求解了。而單純給出抽象的概念和分類，對於初學集合者來說並不是好的講授方法；單純背頌抽象的概念和分類對於任何人都不是好的學習方法。
所以就學習集合而言，還是要多接觸一些實際問題，增加感性知識，從中對集合與元素的概念有了一些理解後再加深理論認識不遲。
比如在你們教室內實物的集合，你盡可以把教室內的各類實物羅列其中，每一類都是教室內實物的子集，這子集中有師生集合，有設備集合。在師生集合中又分為教師集合與學生集合。在學生集合中又可分為男生與女生兩個子集。在男生與女生的子集中都分別有他們的元素，這元素就是每一位學生了。

B. 高一數學集合及函數知識點

進入到高一階段，大家的學習壓力都是呈直線上升的，因此平時的積累也顯得尤為重要，我高一頻道為大家整理了《新人教版 高一數學 必修一第一章知識點》希望大家能謹記呦!!

高一數學集合及函數知識點

一.知識歸納：

1.集合的有關概念。

1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件

2)集合的表示 方法 ：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類：有限集，無限集，空集。

4)常用數集：N，Z，Q，R，N

2.子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念。

1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB);

2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或，且)

3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

4)並集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

5)補集：CUA={x|xA但x∈U}

注意：①?A，若A≠?，則?A;

②若，，則;

③若且，則A=B(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區別;(2)與的區別;(3)與的區別。

4.有關子集的幾個等價關系

①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5.交、並集運算的性質

①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

6.有限子集的個數：設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。

二.例題講解：

【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，則M,N,P滿足關系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：從判斷元素的共性與區別入手。

解答一：對於集合M：{x|x=,m∈Z};對於集合N：{x|x=,n∈Z}

對於集合P：{x|x=,p∈Z}，由於3(n-1)+1和3p+1都表示被3除餘1的數，而6m+1表示被6除餘1的數，所以MN=P，故選B。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，這時不要急於判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。

=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，

=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以選B。

點評：由於思路二隻是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設集合，，則(B)

A.M=NB.MNC.NMD.

解：

當時，2k+1是奇數，k+2是整數，選B

【例2】定義集合AB={x|x∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則AB的子集個數為

A)1B)2C)3D)4

分析：確定集合AB子集的個數，首先要確定元素的個數，然後再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

解答：∵AB={x|x∈A且xB}，∴AB={1,7}，有兩個元素，故AB的子集共有22個。選D。

變式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那麼集合M的個數為

A)5個B)6個C)7個D)8個

變式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評析本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共有個.

【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，

∴∴

變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數b,c,m的值.

解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

分析：先化簡集合A，然後由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些元素屬於B，哪些元素不屬於B。

解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。

綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方法，作出數軸來解之。

變式2：設M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。

解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

①當時，ax-1=0無解，∴a=0②

綜①②得：所求集合為{-1，0，}

【例5】已知集合，函數y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數a的取值范圍。

分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用參數分離求解。

解答：(1)若，在內有有解

令當時，

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式：若關於x的方程有實根,求實數a的取值范圍。

解答：

點評：解決含參數問題的題目，一般要進行分類討論，但並不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。

【同步練習題】

一、選擇題(每題4分，共40分)

1、下列四組對象，能構成集合的是()

A某班所有高個子的學生B的藝術家

C一切很大的書D倒數等於它自身的實數

2、集合{a，b，c}的真子集共有個()

A7B8C9D10

3、若{1，2}A{1，2，3，4，5}則滿足條件的集合A的個數是()

A.6B.7C.8D.9

4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，則CU(M∪N)=()

A.{1，2，3}B.{2}C.{1，3，4}D.{4}

5、方程組的解集是()

A.{x=0,y=1}B.{0,1}C.{(0,1)}D.{(x,y)|x=0或y=1}

6、以下六個關系式：，，,,，是空集中，錯誤的個數是()

A4B3C2D1

7、點的集合M={(x,y)|xy≥0｝是指()

A.第一象限內的點集B.第三象限內的點集

C.第一、第三象限內的點集D.不在第二、第四象限內的點集

8、設集合A=，B=，若AB，則的取值范圍是()

ABCD

9、滿足條件M=的集合M的個數是()

A1B2C3D4

10、集合，，，且，則有()

AB

CD不屬於P、Q、R中的任意一個

二、填空題(每題3分，共18分)

11、若，，用列舉法表示B

12、集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+1=0},若BA，則a=__________

13、設全集U=，A=，CA=，則=，=。

14、集合，，____________.

15、已知集合A={x|},若A∩R=，則實數m的取值范圍是

16、50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人.

三、解答題(每題10分，共40分)

17、已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

18、已知二次函數()=,A=,試求的解析式

19、已知集合，B=，若，且求實數a，b的值。

20、設，集合，，且A=B，求實數x，y的值

高一數學集合及函數知識點

本節主要包括函數的模型、函數的應用等知識點。主要是理解函數解應用題的一般步驟靈活利用函數解答實際應用題。

1、常見的函數模型有一次函數模型、二次函數模型、指數函數模型、對數函數模型、分段函數模型等。

2、用函數解應用題的基本步驟是：(1)閱讀並且理解題意.(關鍵是數據、字母的實際意義);(2)設量建模;(3)求解函數模型;(4)簡要回答實際問題。

常見考法：

本節知識在段考和高考中考查的形式多樣，頻率較高，選擇題、填空題和解答題都有。多考查分段函數和較復雜的函數的最值等問題，屬於拔高題，難度較大。

誤區提醒：

1、求解應用性問題時，不僅要考慮函數本身的定義域，還要結合實際問題理解自變數的取值范圍。

2、求解應用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結論，抓住關鍵詞和量，理順數量關系，然後將文字語言轉化成數學語言，建立相應的數學模型。

【典型例題】

例1：

(1)某種儲蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金與利息的和(即本息和)y(元)與所存月數x之間的函數關系式，並計算5個月後的本息和(不計復利).

(2)按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨存期x變化的函數式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%，試計算5期後的本利和是多少?解：(1)利息=本金×月利率×月數.y=100+100×0.36%·x=100+0.36x，當x=5時，y=101.8，∴5個月後的本息和為101.8元.

例2：

某民營企業生產A，B兩種產品，根據 市場調查 和預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1，B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2(註：利潤與投資單位是萬元)

(1)分別將A，B兩種產品的利潤表示為投資的函數，並寫出它們的函數關系式。

(2)該企業已籌集到10萬元資金，並全部投入A，B兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元投資，才能是企業獲得利潤，其利潤約為多少萬元。(精確到1萬元)。

高一數學集合及函數知識點

定義：

形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變數冪為因變數，指數為常量的函數稱為冪函數。

定義域和值域：

當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函數的定義域為大於0的所有實數;如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等於0的所有實數。當x為不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下：在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。在x小於0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。而只有a為正數，0才進入函數的值域

性質：

對於a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是r，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞)，

當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：

排除了為0與負數兩種可能，即對於x>0，則a可以是任意實數;

排除了為0這種可能，即對於x<0和x>0的所有實數，q不能是偶數;

排除了為負數這種可能，即對於x為大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。 總結 起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實數，則函數的定義域為大於0的所有實數;

如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等於0的所有實數。

在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。

在x小於0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。

而只有a為正數，0才進入函數的值域。

由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。

(2)當a大於0時，冪函數為單調遞增的，而a小於0時，冪函數為單調遞減函數。

(3)當a大於1時，冪函數圖形下凹;當a小於1大於0時，冪函數圖形上凸。

(4)當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大於0，函數過(0，0);a小於0，函數不過(0，0)點。

(6)顯然冪函數。

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C. 集合的 運算和方法怎麼解

參考 http://..com/question/31801898.html

集合論是當代數學的基礎．學習集合，不僅應從本質上去理解與集合有關的各個概念、性質和運演算法則，更重要的是在解題的過程中自覺地應用集合的語言和方法去表示各種數量關系，解決各種數學問題． 映射刻劃的是兩個集合之間元素的特殊對應關系，是我們進一步學習函數的基礎，同時也是一個重要的數學方法．數學競賽中的許多題目都與映射有關，恰當地使用映射法解題，可以使問題化繁為簡、化難為易，有時還可以出奇制勝.

1．集合 （1）集合的概念．元素與集合、集合與集合的關系． （2）集合的運演算法則． （3）集合的劃分． 如果非空集合A1、A2、…、An都是集合A的子集，並且滿足A1∪A2∪…∪An＝A，且Ai∩Aj＝Φ（1≤i＜j≤n），那 么（A1，A2，…，An）叫做集合A的一個劃分．

2．映射 理解映射f：A→B的關鍵是抓住集合A中元素在集合B中的象的存在性和惟一性．根據映射中象與原象的不同狀態，有下面幾種很有用的特殊映射． （1）單射．對於映射f：A→B，如果A中不同的元素在B中有不同的象，那麼稱映射 f：A→B為集合A到集合B的單射． 對於單射f：A→B，有｜A｜≤｜B｜．這里｜M｜表示集合M中的元素的個數，下同． （2）滿射．對於映射f：A→B，如果B中的每一個元素在A中都有原象，那麼稱映射f：A→B為集合A到集合B的滿射． 對於滿射f：A→B，有｜A｜≥｜B｜． （3）雙射．如果f：A→B同時是A到B上的單射和滿射，那麼稱映射f：A→B為集合A到集合B的雙射．雙射也叫做一一映射． 對於雙射f：A→B，有｜A｜＝｜B｜．（配對原理）

例1 設集合A＝（－3，－2），已知x，y∈N，且x^3＋19y＝y^3＋19x，試判斷a＝log（1/2）（x＋y）與A的關系． 導析：關鍵是確定a＝log（1/2）（x＋y）的取值范圍．這是學生力所能及的，可鼓勵學生積極參與． ∵ x^3－y^3＝19（x－y），且x，y∈N，x＞y， ∴ x^2＋x＋1≤x^2＋xy＋y^2＝19＜3x2． 由此及x∈N，得x＝3，從而y＝2． ∴ －3＜a＝log（1/2）5＜－2，即a∈A． 例2 某次乒乓球比賽，採用單淘汰制，從105名參賽選手中決出冠軍，需進行多少場比賽? 導析：如果先算出第一輪的場數，第二輪的場數……然後相加，是比較麻煩的．可引導學生從結果出發考慮，因為冠軍只有1 個，所以共需淘汰104名選手．而每場比賽恰好淘汰1名選手，故比賽的場數應為104．

集合問題的表述簡單，所涉及的知識較少，而解決起來往往要求有較高的探索能力和創造能力．常見的集合競賽題有兩類：集合劃分問題和特殊子集的計算和論證問題．巧妙的構造，恰當的劃分、反設、局部調整等，是解決這兩類問題的有效途徑． 映射是特殊的對應，研究對應規律，尋求對應的特徵，是解決計數、圖論、組合數學的重要手段．

例3 能否給出集合｛1，2，3，…，2001｝的一個劃分（A1，A2，A3，A4），使得A1，A2，A3，A4中的各數之和 組成一個等差數列? 導析：這是一個探索性問題，可從假設存在入手展開討論． 若存在一個劃分（A1，A2，A3，A4）滿足要求，則A1，A2，A3，A4中各數之和可分別表示為a，a＋d，a＋2d，a＋3d，其中a，d∈N．於是，有 a＋（a＋d）＋（a＋2d）＋（a＋3d）＝1＋2＋3＋…＋2001，即 2（2a＋3d）＝2001×1001． 上式顯然不能成立，故這樣的劃分不存在． 本題雖然解完了，但思維不能就此中斷，可引導學生進一步探索上述劃分的存在性．不難發現：如果集合中連續自然數的個數是4k（k∈N），那麼這樣的劃分是存在的． 不妨設A＝｛1，2，3，…，4k｝，（A1，A2，A3，A4）是集合A的一個劃分，若取A1＝｛1，2，…，k｝，A2＝｛k＋1，k＋2，…，2k｝，A3＝｛2k＋1，2k＋2，…，3k｝，A4＝｛3k＋1，3k＋2，…，4k｝，則A1，A2，A3，A4中各數之和便組成了以k（k＋1）/2為首項，k^2為公差的等差數列．

例4 設n∈N，n≥15，A、B都是｛1，2，…，n｝的真子集，且A∩B＝Φ，A∪B＝｛1，2，…，n｝．證明A或B中必有兩個不同數的和為完全平方數． 導析：根據題目的特點，從反面考慮較為合適．假設存在滿足題設的集合A和B，不論是A還是B中任意兩個數的和都不是完全平方數．不妨設1∈A，那麼3！∈A（否則1＋3＝2^2，與假設矛盾），於是3∈B．同樣，6！∈B，應有6∈A．這樣，10！∈A，應有10∈B．由於n≥15，所以15∈A或15∈B．若15∈A，則1＋15＝4^2；若15∈B，則10＋15＝5^2．均與假設矛盾，問題得證．

例5 從8×8的棋盤中，取出一個由三個小方格組成的「L」型，問共有多少種不同的取法． 導析：一個由四個小方格組成的「田」字形中可以取出4個「L」形，因此我們只需考察棋盤上可以取出多少個「田」字形．由於每個「田」字形的中心是棋盤內橫線與縱線的一個交點（不包括邊界點）；反過來，每個位於棋盤內部的交點，它四周的小方格恰好形成一個「田」字形圖案，因此，映射f：「田」字形→「田」字形中心，它是棋盤上所有可取出的小方格組成的「田」形集合到棋盤內每個橫線與縱線的交點集的雙射（一一映射）．易知，棋盤內的交點數共有（9－2）×（9－2）＝49（個），所以棋盤上可取出49個「田」字形．而一個「田」字形對應著4個「L」形，故棋盤上共可取出49×4＝196個「L」形．

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D. 解高中集合的思路

集合問題分很多種類，一般來說分為1.集合的性質，2.元素與集合的關系，3，集合相等，4.集合分類，5.集合的基本運算，從這些方面來進行考察。比如集合的性質，就要從課本的定義入手，掌握基本概念，明確集合的確定性、互異性、無序性；做集合相等的時候要注意分類討論；同時要自己從課本上的公式推廣一些推導公式，在做集合運算的題目的時候要仔細，多想。至於具體的答題思路要根據不同的題目，通過自己的思考去審題分析，做數學題切忌套公式、思路，要靈活多變。

E. 三年級集合問題解題方法是什麼

三年級集合的解題方法是定位法。

分析：定位法中的「個位」定位、「十位」定位、交換法。例如用1、2、3組成兩位數，每個兩位數的十位數和個位數不能一樣，定位法中的「個位」定位、「十位」定位、交換法。

「個位」定位法是把1定位在個位：21、31；把2定位在個位：12、32；把3定位在個位：13、23。

相關例題：

平安小學開運動會，參加鉛球比賽的有30人，參加壘球比賽的有45人。總共有60人參加這兩類運動，問有多少人既參加了鉛球，又參加了壘球？

做完上一道題再做這一題就更簡單了。我們知道把參加鉛球比賽和壘球比賽的學生都加起來，就意味著在總人數的基礎上把二者都參加的人多加了一遍。那麼我們只需要用30+45-60=15（人），這15人就是多加的，也就是二者都參加了的。

F. 高一數學中關於集合的知識

一．知識歸納：
1．集合的有關概念。
1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）．其中每一個對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互異性（若a?A，b?A，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件
2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3）集合的分類：有限集，無限集，空集。
4）常用數集：N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念。
1）子集：若對x∈A都有x∈B，則A B（或A B）；
2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；記為A B（或 ，且 ）
3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}
4）並集：A∪B={x| x∈A或x∈B}
5）補集：CUA={x| x A但x∈U}
注意：①? A，若A≠?，則? A ；
②若 ， ，則 ；
③若 且 ，則A=B（等集）
3．弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：（1） 與 、?的區別；（2） 與 的區別；（3） 與 的區別。
4．有關子集的幾個等價關系
①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；
④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、並集運算的性質
①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；
6．有限子集的個數：設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。
二．例題講解：
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一：從判斷元素的共性與區別入手。
解答一：對於集合M：{x|x= ,m∈Z}；對於集合N：{x|x= ,n∈Z}
對於集合P：{x|x= ,p∈Z}，由於3(n-1)+1和3p+1都表示被3除餘1的數，而6m+1表示被6除餘1的數，所以M N=P，故選B。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時不要急於判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。
點評：由於思路二隻是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設集合 ， ，則（ B ）
A．M=N B．M N C．N M D．
解：
當 時，2k+1是奇數，k+2是整數，選B
【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個數為
A）1 B）2 C）3 D）4
分析：確定集合A*B子集的個數，首先要確定元素的個數，然後再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。
解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。
變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那麼集合M的個數為
A）5個 B）6個 C）7個 D）8個
變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析 本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共有 個 .
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴ ∴
變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數b,c,m的值.
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1
分析：先化簡集合A，然後由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些元素屬於B，哪些元素不屬於B。
解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。
綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方法，作出數軸來解之。
變式2：設M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M
①當 時，ax-1=0無解，∴a=0 ②
綜①②得：所求集合為{-1，0， }
【例5】已知集合 ，函數y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數a的取值范圍。
分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數分離求解。
解答：（1）若 ， 在 內有有解
令 當 時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關於x的方程 有實根,求實數a的取值范圍。
解答：
點評：解決含參數問題的題目，一般要進行分類討論，但並不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。

G. 求有關解高一集合問題的技巧 方法 和注意事項

下面我們看一組實例：
1) 蓮塘一中高一三班全體同學
2) 所有小於10的質數
3) 2006年參加世界盃的所有國家
4) 方程 的所有解的集合
5) 我國個子高的人
6) 與10非常接近的數
師：通過上面的實例我們發現一個耐人尋味的問題，有一些對象構成的全體是確定，有些是不確定的，於是我們把能夠確定的對象看做一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合。
1、定義：一般地，某些指定對象集在一起就成為一個集合。集合中的每個對象叫做這個集合的元素。
師：上面哪些是集合？元素是什麼？
生：1）、2）、3）、4）、5）、6）和一些其他答案
師：看樣子，大家意見不統一。集合是由元素構成的，要想確定集合必須先確定元素，那元素到底有哪些特性呢？
2、集合中元素的特性
1) 確定性：集合中的元素必須是確定的，不能是模糊不清的。
2) 互異性：集合中的任意兩個元素必須是互不相同的。
3) 無序性：集合與其中元素的排列順序無關。
師：此時，我們在來判斷哪些是集合。
生：1）、2）、3）、4），因為5）、6）不滿足確定性。
師：很好！
師：集合常用大寫字母A、B、C、D等來表示。元素常用小寫字母a、b、c等來表示。
3、 元素與集合的關系
1) 如果是a集合A的元素，就說a屬於集合A，記做：a A
2) 如果是A不是集合A的元素，就說a不屬於集合A，記做：a A
注意； 和 只是表示元素與集合的關系。
例題：
1) A={2，4，6} 2 A 8 A
2) 請大家考慮：A={1，2}， B={{1，2}，{2，3}}，集合A與B的關系？
4、 常見的集合專用符號：N、N 、Z、Q、R
三、課堂練習
1、 課本第五頁練習
2、 用正確符號填空： （ ）R，-2（ ）Q， （ ）Q，6.5（ ）N,0（ ）N
3、 考察下面每組對象能否構成集合?說明為什麼。
1) 著名數學家
2) 蓮塘一中全體教師
3) 直角坐標系內的所有點
4) 絕對值小於8的實數
5) 我國的小河流
評註：
整體性：其中「集在一起」，說明集合是指某些事物的整體，而不是指其中的個別事物。
確定性：其中「指定對象」，說明集合是有屬於它的元素完全確定的，一個對象要麼是他的元素，要麼不是，二者必居其一。
由老師在一次解釋上面幾個例題。

一、首先介紹高中數學與初中數學學習特點的變化，幫助學生主動調控學習心理。

1、數學語言在抽象程度上突變。

高中的數學語言與初中有著顯著的區別。初中的數學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數學一下子就觸及抽象的集合符號語言、邏輯運算語言、函數語言、圖形語言等。高一年級的學生一開始的思維梯度太大，以至集合、映射、函數等概念難以理解，覺得離生活很遠，似乎很「玄」。我們在教學中可以多應用理論聯系實際降低思維難度，循序漸進地培養訓練學生以形象、通俗的文字語言與符號語言和圖形語言互相轉化，提升學生的語言「悟」性。

2、思維方法向理性層次躍遷。

高中數學思維方法與初中階段大不相同。初中階段，由於很多老師為學生將各種題建立了統一的思維模式，如解分式方程分幾步，因式分解先看什麼，再看什麼，確定了常見的思維套路。因此，形成初中生在數學學習中習慣於這種機械的，便於操作的定勢方式。而高中數學在思維形式上產生了很大的變化，數學語言的抽象化對思維能力提出了更高的要求。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應，故而導致成績下降是高一學生產生數學學習障礙的另一個原因。我們在教學中要注重啟發式教學，應用討論式教學培養學生能力。當然，學生能力的發展是漸進的，不是一朝一夕的事，只要高一新生能努力擺脫初中的思維定勢，就能較快從經驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最後還需初步形成辯證形思維。

3、知識內容的整體數量劇增

高中數學比初中數學的知識內容的「量」上急劇增加了，單位時間內接受知識信息的量與初中相比增加了許多，輔助練習、消化的課時相應地減少了。這也使很多學習被動的、依賴心理重的高一新生感到不適應。這就需要我們在上課過程中，進行學習心理輔導，提出學習要求並及時檢查督促：第一，要每天做好課前預習、課後的復習工作，並努力記牢重點知識；第二，要每周、每單元後及時區別新舊知識並體會他們的內在聯系，使新知識順利地同化於原有知識結構之中；第三，每單元測驗後要及時改差錯，否則知識信息量差錯過大時，其記憶效果不會很好，影響學生學習的信心。第四，要多做總結、歸類，建立主體的知識結構網路。

因此，要教會學生對知識結構進行梳理，形成板塊結構，實行「整體集裝」，如表格化，使知識結構一目瞭然；體會幾種學習方法：特殊到一般的類比法，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統一；一般到特殊的特例法，使幾類問題同構於同一知識方法進行發散思維等。

二、學會區別正常學習心理狀態與不良的學習狀態。

1、 培養主動的學習態度，體會 「要我學」與「我要學」的區別。

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初中生在學習上的依賴心理是很明顯，是「要我學」。原因是多方面的如：1）為提高分數，初中數學教學中教師將各種題型都一一羅列，學生的數學學習依賴於教師為其提供套用的「模子」；2）家長望子成龍心切，經常「參與學習」，進行課後輔導檢查。升入高中後，高一年級的學生，面臨教師的教學方法改變，習慣依賴的套用「模子」沒有了，家長輔導的能力也跟不上了。許多同學進入高中後，學習不訂計劃，課前沒有預習，上課忙於記筆記，沒聽到「門道」。 其學習因依賴心理而滯後，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉，沒有掌握學習的主動權。我在教學中，注意培養學生主動的學習態度，要求學生課前預習、課後復習、單元小結和及時改錯。把優秀的學習習慣同學樹為榜樣，讓同學借鑒。

2、正確區別正常的心理與異常的心理狀態。經過升中考後，高一年級的學生有的思想開始鬆懈，尤其在初一、二時並沒有用功學習，只是在初三臨考時才發奮了一、二個月就輕而易舉地考上了高中同學，甚至錯誤的認為高一、高二根本就用不著那麼用功，只要等到高三臨考時再發奮一、二個月，也一樣會考上一所理想的大學的。而高中數學的難度遠非初中數學能比，需要三年的艱苦努力，加上高考的內容源於課本而高於課本，具有很強的選撥性，想等到高三臨考時再發奮一、二個月，其缺漏的很多知識是非常難完成的。我在教學中，提倡學生定高中三年學習計劃：高一打好基礎，高二是關鍵，高三出成績。有利在學校形成良好的心理發展環境，在三年各有側重，培養學生自我心理調節能力。

3、培養良好的學習方法和習慣，體會 「死記硬背」與「活學活用」的區別。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學上課不能抓重點難點，不能體會思想方法，只是趕做作業，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背，結果是事倍功半，收效甚微。我在開學初，請在高考成績優異的同學，向高一新同學介紹高中學習心得，讓高一新同學有個改變學習方法和習慣的准備；同時，在課堂中研究討論各種困難問題，讓高一新同學體會強化良好的學習方法。

4、重視基礎發展健全的人格，改變「一聽就明」、「一看就會」、「一做就錯」的學習誤區。高中數學與初中數學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好准備。如二次函數，參變數問題，三角公式的運用，空間與平面，實際應用問題等，是初中教材都不講的脫節內容，需要高中補救，查缺補漏，否則就必然會跟不上高中學習的要求。一些「自我感覺良好」的同學，常輕視基本訓練，不去認真演算書寫，但對難題很感興趣，重「量」輕「質」，陷入題海，到正規作業或考試中不是演算出錯就是中途「卡殼」。我們在教學要重視基礎教學，幫助學生體會高中數學與初中數學知識的深度、廣度的區別，多用「問」、「想」、「做」、「評」的教學模式，鼓勵思考，讓學生在做中學，發展健全的人格。

三、優化學習策略，強化成就動機，科學地進行學習。

高中學生不僅要想學，還必須「會學」，要講究科學的學習方法，提高學習效率，變被動學習為主動學習，才能提高學習成績。

1、培養良好的學習習慣。良好的學習習慣包括制定計劃、課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面。

(1)制定計劃明確學習目的。合理的學習計劃是推動我們主動學習和克服困難的內在動力。計劃先由老師指導督促，再一定要由自己切實完成，既有長遠打算，又有短期安排，執行過程中嚴格要求自己，磨煉學習意志。

(2)課前預習是取得較好學習效果的基礎。課前預習不僅能培養自學能力，而且能提高學習新課的興趣，掌握學習的主動權。預習不能搞走過場，要講究質量，力爭在課前把教材弄懂，上課著重聽老師講思路，把握重點，突破難點，盡可能把問題解決在課堂上。

(3)上課是理解和掌握基本知識、基本技能和基本方法的關鍵環節。「學然後知不足」，上課更能專心聽重點難點，把老師補充的內容記錄下來，而不是全抄全錄，顧此失彼。

(4)及時復習是提高效率學習的重要一環。通過反復閱讀教材，多方面查閱有關資料，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，將所學的新知識與有關舊知識聯系起來，進行分析比效，一邊復習一邊將復習成果整理在筆記本上，使對所學的新知識由「懂」到「會」。

(5)獨立作業是通過自己的獨立思考，靈活地分析問題、解決問題，進一步加深對所學新知識的理解和對新技能的掌握過程。這一過程也是對我們意志毅力的考驗，通過運用使我們對所學知識由「會」到「熟」。

(6)解決疑難是指對獨立完成作業過程中暴露出來對知識理解的錯誤，或由於思維受阻遺漏解答，通過點撥使思路暢通，補遺解答的過程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯的作業再做一遍。對錯誤的地方沒弄清楚要反復思考。實在解決不了的要請教老師和同學，並要經常把易錯的地方拿來復習強化，作適當的重復性練習，把求老師問同學獲得的東西消化變成自己的知識，長期堅持使對所學知識由「熟」到「活」。

(7)系統小結是通過積極思考，達到全面系統深刻地掌握知識和發展認識能力的重要環節。小結要在系統復習的基礎上以教材為依據，參照筆記與資料，通過分析、綜合、類比、概括，揭示知識間的內在聯系，以達到對所學知識融會貫通的目的。經常進行多層次小結，能對所學知識由「活」到「悟」。

(8)課外學習包括閱讀課外書籍與報刊，參加學科競賽與講座，走訪高年級同學或老師交流學習心得等。課外學習是課內學習的補充和繼續，它不僅能豐富同學們的文化科學知識，加深和鞏固課內所學的知識，而且能夠滿足和發展我們的興趣愛好，培養獨立學習和工作的能力，激發求知慾與學習熱情。

2、循序漸進，積極歸因，防止急躁。

由於高一同學年齡較小，閱歷有限，為數不少的同學容易急躁。有的同學貪多求快，囫圇吞棗，想靠幾天「沖刺」一蹴而就。學習是一個長期的鞏固舊知、發現新知的積累過程，決非一朝一夕可以完成的。許多優秀的同學能取得好成績，其中一個重要原因是他們的基本功扎實，他們的閱讀、書寫、運算技能達到了自動化或半自動化的熟練程度。讓高一同學學會積極歸因，樹立自信心，如：取得一點成績及時體會成功，強化學習能力；遇到挫折及時調整學習方法、策略，更加努力改變挫折，循序漸進，爭取在高考成功。

3、注意研究學科特點，尋找最佳學習方法。

數學學科擔負著培養運算能力、邏輯思維能力、空間想像能力，以及運用所學知識分析問題、解決問題的能力的重任。其中運算能力的培養一定要講究「活」，只看書不做題不行，只埋頭做題不總結積累也不行，教學中進行一題多解思考，優化運算策略；邏輯思維能力是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高，使用歸類、網聯策略，區別好幾個概念：三段式推理、四種命題和充要條件的關系；空間想像能力對平面知識的擴充既要能鑽進去，又要能跳出來，結合立體幾何，體會圖形、符號和文字之間的互化；運用所學知識分析問題、解決問題的能力，就是要重視應用題的轉化訓練，歸類數學模型，體會數學語言。華羅庚先生倡導的「由薄到厚」和「由厚到薄」的學習過程就是這個道理，方法因人而異，但學習的四個環節（預習、上課、作業、復習）和一個步驟（歸納總結）是少不了的。

總之，高一數學教學要立足課本，面向全體學生，重點問題重點講，常考問題反復練，合理利用單元復習分層教學，因材施教提高學生效率和自信心。從培養創造性人才的實際出發，由平時分層指導尖子學生完成，教學中數學思想的感悟，突出創新思維訓練，提高尖子學生創新意識和能力。同時，兼顧學法指導，重點是消化解決曾經錯的題，爭取不犯重復性錯誤。高一數學學習是學生人生的一次磨煉，也是教師教學成果的基礎體現，只要我們從實際出發制定適當目標，長計劃、短安排，學生會增強了自己戰勝困難的信心，數學學習自然會獲得好的成績----是辛苦的回報，教師與學生的「雙贏」。

H. 高一集合幾種類型題解題方法.急.

涉及集合的題，送你一句話：見到集合，想到元素，想到元素滿足的條件（兩個「想到」，是指閱讀題干有關條件-->聯想到約束性（比如斜率不能為零）、思考方向或者結論）。這里，第一：集合問題就先看元素，元素的約束性就是互異性。因此，1和2題中、A中的元素不能相同，這里雖然不能計算結果，但是將影響結果的正確性或者嚴謹性。第二：想到元素滿足的條件——這里兩道題的元素條件都是不等式。好，不等式：接下來——
見到不等式表達的集合，想到——數軸！也就是這里的不等式，不關怎樣的形式，解集都應該用數軸表示，一目瞭然。
見到不等式（本身），想到——解不等式的四種方法：公式法，配方法，零點分區法，絕對值法。於是用合適的方法將不等式解出來。
第二個關於不等式的與此題雖然關系不大，但是這是引申的類似思想。同樣這兩題還有主要的元素滿足的條件——實際上也是集合滿足的條件：包含關系。記住兩句話（即摩根率）：補的並等於交的補；並的補等於補的交。也應該想到。
那麼由數軸來表示這些集合吧，什麼時候交集為空，什麼時候不為空，包含關系等，不是一目瞭然嗎？
另外：想到元素滿足的條件時，不要忘了特殊條件下的集合：當沒有元素時滿足什麼？對了，還有空集是個特殊集，不要忘了它，很多時候一丟了空集選擇填空就會出錯哦。空集與任何集合都交得空（不是沒有交集哦），都能取並……自己慢慢體會它的特殊性，不要忘了就行。

I. 高中集合的解題方法 數學方法要詳細

1.函數思想:
把某一數學問題用函數表示出來,並且利用函數探究這個問題的一般規律。這是最基本、最常用的數學方法。
2.數形結合思想:
把代數和幾何相結合,例如對幾何問題用代數方法解答,對代數問題用幾何方法解答,這種方法在解析幾何里最常用。例如求根號((a-1)^2+(b-1)^2)+根號(a^2+(b-1)^2)+根號((a-1)^2+b^2)+根號(a^2+b^2)的最小值,就可以把它放在坐標系中,把它轉化成一個點到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四點的距離,就可以求出它的最小值。
3.分類討論思想:
當一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結果不同時,需要對這個量的各種情況進行分類討論。比如解不等式|a-1|>4的時候,就要討論a的取值情況。
4.方程思想:
當一個問題可能與某個方程建立關聯時,可以構造方程並對方程的性質進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候,就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。
另外,還有歸納類比思想、轉化歸納思想、概率統計思想等數學思想,例如利用歸納類比思想可以對某種相類似的問題進行研究而得出他們的共同點,從而得出解決這些問題的一般方法。轉化歸納思想是把一個較復雜問題轉化為另一個較簡單的問題並且對其方法進行歸納。概率統計思想是指通過概率統計解決一些實際問題,如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。
另外,還可以用概率方法解決一些面積問題