用鄒元治方法證明勾股定理圖片

『壹』 求勾股定理的證法(必須在50種以上,反正越多越好!)

勾股定理的證明

羅洪信

【證法1】（課本的證明）

做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.

從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a+b，所以面積相等.即

，整理得.

【證法2】（鄒元治證明）

以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.

∵RtΔHAE≌RtΔEBF,

∴∠AHE=∠BEF.

∵∠AEH+∠AHE=90º,

∴∠AEH+∠BEF=90º.

∴∠HEF=180º―90º=90º.

∴四邊形EFGH是一個邊長為c的

正方形.它的面積等於c2.

∵RtΔGDH≌RtΔHAE,

∴∠HGD=∠EHA.

∵∠HGD+∠GHD=90º,

∴∠EHA+∠GHD=90º.

又∵∠GHE=90º,

∴∠DHA=90º+90º=180º.

∴ABCD是一個邊長為a+b的正方形，它的面積等於.

∴.∴.

【證法3】（趙爽證明）

以a、b為直角邊（b>a），以c為斜

邊作四個全等的直角三角形，則每個直角

三角形的面積等於.把這四個直角三

角形拼成如圖所示形狀.

∵RtΔDAH≌RtΔABE,

∴∠HDA=∠EAB.

∵∠HAD+∠HAD=90º，

∴∠EAB+∠HAD=90º，

∴ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等於c2.

∵EF=FG=GH=HE=b―a,

∠HEF=90º.

∴EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等於.

∴.

∴.

【證法4】（1876年美國總統Garfield證明）

以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90º,

∴∠AED+∠BEC=90º.

∴∠DEC=180º―90º=90º.

∴ΔDEC是一個等腰直角三角形，

它的面積等於.

又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,

∴AD‖BC.

∴ABCD是一個直角梯形，它的面積等於.

∴.

∴.

【證法5】（梅文鼎證明）

做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF於點P.

∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠BED+∠GEF=90°，

∴∠BEG=180º―90º=90º.

又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG是一個邊長為c的正方形.

∴∠ABC+∠CBE=90º.

∵RtΔABC≌RtΔEBD,

∴∠ABC=∠EBD.

∴∠EBD+∠CBE=90º.

即∠CBD=90º.

又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，

BC=BD=a.

∴BDPC是一個邊長為a的正方形.

同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.

設多邊形GHCBE的面積為S，則

,

∴.

【證法6】（項明達證明）

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.

過點Q作QP‖BC，交AC於點P.

過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點

F作FN⊥PQ，垂足為N.

∵∠BCA=90º，QP‖BC，

∴∠MPC=90º，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP=90º，

∴BCPM是一個矩形，即∠MBC=90º.

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，

∴∠QBM=∠ABC，

又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.

從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）.

【證法7】（歐幾里得證明）

做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結

BF、CD.過C作CL⊥DE，

交AB於點M，交DE於點

L.

∵AF=AC，AB=AD，

∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面積等於，

ΔGAD的面積等於矩形ADLM

的面積的一半，

∴矩形ADLM的面積=.

同理可證，矩形MLEB的面積=.

∵正方形ADEB的面積

=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積

∴，即.

【證法8】（利用相似三角形性質證明）

如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠ADC=∠ACB=90º，

∠CAD=∠BAC，

∴ΔADC∽ΔACB.

AD∶AC=AC∶AB，

即.

同理可證，ΔCDB∽ΔACB，從而有.

∴，即.

【證法9】（楊作玫證明）

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過A作AF⊥AC，AF交GT於F，AF交DT於R.過B作BP⊥AF，垂足為P.過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF於H.

∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，

∴∠DAH=∠BAC.

又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，

AD=AB=c，

∴RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴DH=BC=a，AH=AC=b.

由作法可知，PBCA是一個矩形，

所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=

CA=b，AP=a，從而PH=b―a.

∵RtΔDGT≌RtΔBCA,

RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴RtΔDGT≌RtΔDHA.

∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.

又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，

∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，

∴DGFH是一個邊長為a的正方形.

∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.

∴TFPB是一個直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.

用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為

①

∵=，

，

∴=.②

把②代入①，得

==.

∴.

【證法10】（李銳證明）

設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c.做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在一條直線上.用數字表示面積的編號（如圖）.

∵∠TBE=∠ABH=90º，

∴∠TBH=∠ABE.

又∵∠BTH=∠BEA=90º，

BT=BE=b，

∴RtΔHBT≌RtΔABE.

∴HT=AE=a.

∴GH=GT―HT=b―a.

又∵∠GHF+∠BHT=90º，

∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º，

∴∠GHF=∠DBC.

∵DB=EB―ED=b―a，

∠HGF=∠BDC=90º，

∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即.

過Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE

=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌

RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即.

由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.

∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，

∴∠FQM=∠CAR.

又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，

∴RtΔQMF≌RtΔARC.即.

∵，，，

又∵，，，

∴

=

=，

即.

【證法11】（利用切割線定理證明）

在RtΔABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別於D、E，則BD=BE=BC=a.因為∠BCA=90º，點C在⊙B上，所以AC是⊙B的切線.由切割線定理，得

=

=

=，

即，

∴.

【證法12】（利用多列米定理證明）

在RtΔABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c（如圖）.過點A作AD‖CB，過點B作BD‖CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內接於一個圓.根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等於兩對邊乘積之和，有

，

∵AB=DC=c，AD=BC=a，

AC=BD=b，

∴，即，

∴.

【證法13】（作直角三角形的內切圓證明）

在RtΔABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c.作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r.

∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，

∴

==r+r=2r,

即，

∴.

∴，

即，

∵，

∴，

又∵==

==，

∴，

∴，

∴，∴.

【證法14】（利用反證法證明）

如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.

假設，即假設，則由

==

可知，或者.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠A=∠A，

∴若AD：AC≠AC：AB，則

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵∠B=∠B，

∴若BD：BC≠BC：AB，則

∠CDB≠∠ACB.

又∵∠ACB=90º，

∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

這與作法CD⊥AB矛盾.所以，的假設不能成立.

∴.

【證法15】（辛卜松證明）

設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為=.

∴,

∴.

【證法16】（陳傑證明）

設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c.做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點在一條直線上.用數字表示面積的編號（如圖）.

在EH=b上截取ED=a，連結DA、DC，

則AD=c.

∵EM=EH+HM=b+a,ED=a，

∴DM=EM―ED=―a=b.

又∵∠CMD=90º，CM=a，

∠AED=90º，AE=b，

∴RtΔAED≌RtΔDMC.

∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.

∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，

∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，

∴∠ADC=90º.

∴作AB‖DC，CB‖DA，則ABCD是一個邊長為c的正方形.

∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，

∴∠BAF=∠DAE.

連結FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，

∴ΔABF≌ΔADE.

∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.

∴點B、F、G、H在一條直線上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵AB=BC=c，BF=CG=a，

∴RtΔABF≌RtΔBCG.

∵，，，

，

∴

=

=

=

∴.

我只能給出這16種正法了

『貳』 我國數學家鄒元治利用下圖證明了勾股定理

分析： 利用數學史常識直接得出答案． 如圖這是我國古代一個數學家構造的「勾股圓方圖」（見課本第76頁），他第一個利用此圖證明了「勾股定理」．這個數學家是趙爽．故選：C． 點評： 此題主要考查了數學史，熟練記憶推出重要定理人物是解題關鍵．

『叄』 勾股定理的證明方法 急 急 急！！！！！！ 帶上圖 初中水平

勾股定理的證明

【證法1】（課本的證明）

做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.

從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a+b，所以面積相等.即

，整理得.

【證法2】（鄒元治證明）

以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.

∵RtΔHAE≌RtΔEBF,

∴∠AHE=∠BEF.

∵∠AEH+∠AHE=90º,

∴∠AEH+∠BEF=90º.

∴∠HEF=180º―90º=90º.

∴四邊形EFGH是一個邊長為c的

正方形.它的面積等於c2.

∵RtΔGDH≌RtΔHAE,

∴∠HGD=∠EHA.

∵∠HGD+∠GHD=90º,

∴∠EHA+∠GHD=90º.

又∵∠GHE=90º,

∴∠DHA=90º+90º=180º.

∴ABCD是一個邊長為a+b的正方形，它的面積等於.

∴.∴.

【證法3】（趙爽證明）

以a、b為直角邊（b>a），以c為斜

邊作四個全等的直角三角形，則每個直角

三角形的面積等於.把這四個直角三

角形拼成如圖所示形狀.

∵RtΔDAH≌RtΔABE,

∴∠HDA=∠EAB.

∵∠HAD+∠HAD=90º，

∴∠EAB+∠HAD=90º，

∴ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等於c2.

∵EF=FG=GH=HE=b―a,

∠HEF=90º.

∴EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等於.

∴.

∴.

【證法4】（1876年美國總統Garfield證明）

以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90º,

∴∠AED+∠BEC=90º.

∴∠DEC=180º―90º=90º.

∴ΔDEC是一個等腰直角三角形，

它的面積等於.

又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,

∴AD‖BC.

∴ABCD是一個直角梯形，它的面積等於.

∴.

∴.

【證法5】（梅文鼎證明）

做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF於點P.

∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠BED+∠GEF=90°，

∴∠BEG=180º―90º=90º.

又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG是一個邊長為c的正方形.

∴∠ABC+∠CBE=90º.

∵RtΔABC≌RtΔEBD,

∴∠ABC=∠EBD.

∴∠EBD+∠CBE=90º.

即∠CBD=90º.

又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，

BC=BD=a.

∴BDPC是一個邊長為a的正方形.

同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.

設多邊形GHCBE的面積為S，則

,

∴.

【證法6】（項明達證明）

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.

過點Q作QP‖BC，交AC於點P.

過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點

F作FN⊥PQ，垂足為N.

∵∠BCA=90º，QP‖BC，

∴∠MPC=90º，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP=90º，

∴BCPM是一個矩形，即∠MBC=90º.

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，

∴∠QBM=∠ABC，

又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.

從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）.

【證法7】（歐幾里得證明）

做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結

BF、CD.過C作CL⊥DE，

交AB於點M，交DE於點

L.

∵AF=AC，AB=AD，

∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面積等於，

ΔGAD的面積等於矩形ADLM

的面積的一半，

∴矩形ADLM的面積=.

同理可證，矩形MLEB的面積=.

∵正方形ADEB的面積

=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積

∴，即.

【證法8】（利用相似三角形性質證明）

如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠ADC=∠ACB=90º，

∠CAD=∠BAC，

∴ΔADC∽ΔACB.

AD∶AC=AC∶AB，

即.

同理可證，ΔCDB∽ΔACB，從而有.

∴，即.

【證法9】（楊作玫證明）

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過A作AF⊥AC，AF交GT於F，AF交DT於R.過B作BP⊥AF，垂足為P.過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF於H.

∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，

∴∠DAH=∠BAC.

又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，

AD=AB=c，

∴RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴DH=BC=a，AH=AC=b.

由作法可知，PBCA是一個矩形，

所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=

CA=b，AP=a，從而PH=b―a.

∵RtΔDGT≌RtΔBCA,

RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴RtΔDGT≌RtΔDHA.

∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.

又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，

∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，

∴DGFH是一個邊長為a的正方形.

∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.

∴TFPB是一個直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.

用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為

①

∵=，

，

∴=.②

把②代入①，得

==.

∴.

【證法10】（李銳證明）

設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c.做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在一條直線上.用數字表示面積的編號（如圖）.

∵∠TBE=∠ABH=90º，

∴∠TBH=∠ABE.

又∵∠BTH=∠BEA=90º，

BT=BE=b，

∴RtΔHBT≌RtΔABE.

∴HT=AE=a.

∴GH=GT―HT=b―a.

又∵∠GHF+∠BHT=90º，

∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º，

∴∠GHF=∠DBC.

∵DB=EB―ED=b―a，

∠HGF=∠BDC=90º，

∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即.

過Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE

=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌

RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即.

由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.

∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，

∴∠FQM=∠CAR.

又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，

∴RtΔQMF≌RtΔARC.即.

∵，，，

又∵，，，

∴

=

=，

即.

【證法11】（利用切割線定理證明）

在RtΔABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別於D、E，則BD=BE=BC=a.因為∠BCA=90º，點C在⊙B上，所以AC是⊙B的切線.由切割線定理，得

=

=

=，

即，

∴.

【證法12】（利用多列米定理證明）

在RtΔABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c（如圖）.過點A作AD‖CB，過點B作BD‖CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內接於一個圓.根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等於兩對邊乘積之和，有

，

∵AB=DC=c，AD=BC=a，

AC=BD=b，

∴，即，

∴.

【證法13】（作直角三角形的內切圓證明）

在RtΔABC中，設直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c.作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r.

∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，

∴

==r+r=2r,

即，

∴.

∴，

即，

∵，

∴，

又∵==

==，

∴，

∴，

∴，∴.

【證法14】（利用反證法證明）

如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.

假設，即假設，則由

==

可知，或者.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠A=∠A，

∴若AD：AC≠AC：AB，則

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵∠B=∠B，

∴若BD：BC≠BC：AB，則

∠CDB≠∠ACB.

又∵∠ACB=90º，

∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

這與作法CD⊥AB矛盾.所以，的假設不能成立.

∴.

【證法15】（辛卜松證明）

設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為=.

∴,

∴.

【證法16】（陳傑證明）

設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c.做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點在一條直線上.用數字表示面積的編號（如圖）.

在EH=b上截取ED=a，連結DA、DC，

則AD=c.

∵EM=EH+HM=b+a,ED=a，

∴DM=EM―ED=―a=b.

又∵∠CMD=90º，CM=a，

∠AED=90º，AE=b，

∴RtΔAED≌RtΔDMC.

∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.

∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，

∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，

∴∠ADC=90º.

∴作AB‖DC，CB‖DA，則ABCD是一個邊長為c的正方形.

∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，

∴∠BAF=∠DAE.

連結FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，

∴ΔABF≌ΔADE.

∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.

∴點B、F、G、H在一條直線上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵AB=BC=c，BF=CG=a，

∴RtΔABF≌RtΔBCG.

∵，，，

，

∴

=

=

=

∴.

『肆』 勾股定理16種證明方法

勾股定理16種證明方法

勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方,即在以a、b為直角邊，c為斜邊的三角形中有a^2+b^2=c^2。

『伍』 勾股定理的16種證明法

• 【證法1】（課本的證明）做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a
  + b，所以面積相等. 即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab， 整理得a²+b²=c²。

  

『陸』 勾股定理的十六種證明方法

加菲爾德證法、加菲爾德證法變式、青朱出入圖證法、歐幾里得證法、畢達哥拉斯證法、華蘅芳證法、趙爽弦圖證法、百牛定理證法、商高定理證法、商高證法、劉徽證法、縐元智證法、梅文鼎證法、向明達證法、楊作梅證法、李銳證法

例，如下圖：

設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

設△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE於K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。

把這兩個結果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由於CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

(6)用鄒元治方法證明勾股定理圖片擴展閱讀

性質：

1、勾股定理的證明是論證幾何的發端；

2、勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯系起來的定理；

3、勾股定理導致了無理數的發現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解；

4、勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理；

5、勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，並有巨大的實用價值，這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用。1971年5月15日，尼加拉瓜發行了一套題為「改變世界面貌的十個數學公式」郵票，這十個數學公式由著名數學家選出的，勾股定理是其中之首。

『柒』 初二勾股定理證明，要帶圖的。三種方法！

勾股定律證明的三種方法如下：

【方法1】

(7)用鄒元治方法證明勾股定理圖片擴展閱讀：

在我國數學上，早就有勾3股4弦5的說法，這是勾股定律的一個特例，勾3a，股4a，弦5a都符合勾股定律。

在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長c，存在下面這個關系：a²+b²=c²

勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。

在中國，商朝時期的商高提出了「勾三股四弦五」的勾股定理的特例。在西方，最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。