初中證明幾何常用方法

① 初二幾何證明題有哪些方法

方法有：等積法，證全等、相似三角形，三角函數，面積比

（①平行，②垂直，③垂直平分線，④角平分線，⑤三線合一（等腰三角形）⑥同角（等角）的餘角（補角）相等）←這些是證角啊，線段相等……
添加輔助線：
人人都說幾何難，難就難在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。
還要刻苦加鑽研，找出規律憑經驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。
角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。三角形中兩中點，連接則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現，對稱中心等分點。
梯形裡面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。
證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。
直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。
半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。
切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。
是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。
如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。
若是添上連心線，切點肯定在上面。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。
基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經常總結方法顯。
切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。
虛心勤學加苦練，成績上升成直線。

一般就這些吧，數學很簡單的，加油！！

② 幾何證明題的常用方法

證明兩線段相等
1.兩全等三角形中對應邊相等。
2.同一三角形中等角對等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點且平行於第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
*9.同圓(或等圓)中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
*10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直於直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項(或兩後項)相等的比例式中的兩後項(或兩前項)相等。
*12.兩圓的內(外)公切線的長相等。
13.等於同一線段的兩條線段相等。
證明兩個角相等
1.兩全等三角形的對應角相等。
2.同一三角形中等邊對等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線(或高)平分頂角。
4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。
5.同角(或等角)的餘角(或補角)相等。
*6.同圓(或圓)中，等弦(或弧)所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等於它所夾的弧對的圓周角。
*7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
8.相似三角形的對應角相等。
*9.圓的內接四邊形的外角等於內對角。
10.等於同一角的兩個角相等。
證明兩直線平行
1.垂直於同一直線的各直線平行。
2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。
3.平行四邊形的對邊平行。
4.三角形的中位線平行於第三邊。
5.梯形的中位線平行於兩底。
6.平行於同一直線的兩直線平行。
7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對應成比例，則這條直線平行於第三邊。
證明兩條直線互相垂直
1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直於底邊。
2.三角形中一邊的中線若等於這邊一半，則這一邊所對的角是直角。
3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。
4.鄰補角的平分線互相垂直。
5.一條直線垂直於平行線中的一條，則必垂直於另一條。
6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。
7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的對角線互相垂直。
*10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直於弦。
*11.利用半圓上的圓周角是直角。
證明線段的和差倍分
1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。
2.在第三條線段上截取一段等於第一條線段，證明餘下部分等於第二條線段。
3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。
4.取長線段的中點，再證其一半等於短線段。
5.利用一些定理(三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等)。
證明角的和差倍分
1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分線的定義。
3.三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
證明線段不等
1.同一三角形中，大角對大邊。
2.垂線段最短。
3.三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。
*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大於它的任何一部分。
證明比例式或等積式
1.利用相似三角形對應線段成比例。
2.利用內外角平分線定理。
3.平行線截線段成比例。
4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。
*5.與圓有關的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。
6.利用比利式或等積式化得。

③ 初中數學幾何證明題解題技巧

01 證明兩線段相等
1.兩全等三角形中對應邊相等。
2.同一三角形中等角對等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點且平行於第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直於直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項（或兩後項）相等的比例式中的兩後項（或兩前項）相等。
12.兩圓的內（外）公切線的長相等。
13.等於同一線段的兩條線段相等。
02 證明兩個角相等
1.兩全等三角形的對應角相等。
2.同一三角形中等邊對等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。
4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。
5.同角（或等角）的餘角（或補角）相等。
6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等於它所夾的弧對的圓周角。
7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
8.相似三角形的對應角相等。
9.圓的內接四邊形的外角等於內對角。
10.等於同一角的兩個角相等。
03 證明兩條直線互相垂直
1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直於底邊。
2.三角形中一邊的中線若等於這邊一半，則這一邊所對的角是直角。
3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。
4.鄰補角的平分線互相垂直。
5.一條直線垂直於平行線中的一條，則必垂直於另一條。
6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。
7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的對角線互相垂直。
10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直於弦。
11.利用半圓上的圓周角是直角。
04 證明兩直線平行
1.垂直於同一直線的各直線平行。
2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。
3.平行四邊形的對邊平行。
4.三角形的中位線平行於第三邊。
5.梯形的中位線平行於兩底。
6.平行於同一直線的兩直線平行。
7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行於第三邊。
05 證明線段的和差倍分
1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。
2.在第三條線段上截取一段等於第一條線段，證明餘下部分等於第二條線段。
3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。
4.取長線段的中點，再證其一半等於短線段。
5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。
06 證明角的和差倍分
1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分線的定義。
3.三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
07 證明線段不等
1.同一三角形中，大角對大邊。
2.垂線段最短。
3.三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。
5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。
08 證明兩角的不等
1.同一三角形中，大邊對大角。
2.三角形的外角大於和它不相鄰的任一內角。
3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。
4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。
09 證明比例式或等積式
1.利用相似三角形對應線段成比例。
2.利用內外角平分線定理。
3.平行線截線段成比例。
4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。
5.與圓有關的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。
6.利用比利式或等積式化得。
10 證明四點共圓
1.對角互補的四邊形的頂點共圓。
2.外角等於內對角的四邊形內接於圓。
3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）。
4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。
5.到頂點距離相等的各點共圓。

④ 初中幾何證明有哪些方法

對於證明題，有三種思考方式：
（1）正向思維。對於一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細講述了。
（2）逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題，能使學生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在初中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯，數學這門學科知識點很少，關鍵是怎樣運用，對於初中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上初三了，幾何學的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現在開始，總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題干後，不知道從何入手，建議你從結論出發。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那麼結合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可；要證三角形全等，結合所給的條件，看還缺少什麼條件需要證明，證明這個條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然後把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學們一定要試一試。
（3）正逆結合。對於從結論很難分析出思路的題目，同學們可以結合結論和已知條件認真的分析，初中數學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。

⑤ 初中數學平面幾何證明題有哪些常見的輔助線與思路

如圖所示：

以下是輔助線的相關介紹：
輔助線是指在原圖基礎上所作的具有極大價值的直線或者線段，多用於幾何學中解答疑難幾何圖形問題。

方法1：有關三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結論恰當的轉移，很容易地解決了問題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質和題中的條件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。

方法3：結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形，或利用關於平分線段的一些定理。

以上資料參考網路——輔助線

⑥ 幾何證明方法總結

幾何公式和定理（初中）
公式定理後面標1代表證角相等的（證線段垂直也包含了），2代表證線段相等（或比例）的。
證明的過程基本上根據判定，然後再定理，所以有些判定也可視作證角，和線段相等的前提。
1 過兩點有且只有一條直線
2 兩點之間線段最短 （最值問題）
3 同角或等角的補角相等 1
4 同角或等角的餘角相等 1
5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
6 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短 （最值問題）
7 平行公理 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行
9 同位角相等，兩直線平行 1
10 內錯角相等，兩直線平行 1
11 同旁內角互補，兩直線平行 1
12兩直線平行，同位角相等 1
13 兩直線平行，內錯角相等 1
14 兩直線平行，同旁內角互補 1
15 定理 三角形兩邊的和大於第三邊 （證明線段不等關系）
16 推論 三角形兩邊的差小於第三邊 （同上）
17 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等於180° 1
18 推論1 直角三角形的兩個銳角互余 1
19 推論2 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和 1
20 推論3 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角 （證明角的大小關系）
21 全等三角形的對應邊、對應角相等 12
22邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 12
23 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 12
24 推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 12
25 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等 12
26 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 12
27 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 2
28 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上 12
29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合 2
30 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角） 12
31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊並且垂直於底邊 12
32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 12
33 推論3 等邊三角形的各角都相等，並且每一個角都等於60° 12
34 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊） 12
35 推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形 12
36 推論 2 有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形 12
37 在直角三角形中，如果一個銳角等於30°那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半 2
38 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊上的一半 2
39 定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 2
40 逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上 12
41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合
42 定理1 關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形 12
43 定理 2 如果兩個圖形關於某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線 12
44定理3 兩個圖形關於某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上
45逆定理 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直線對稱 12
46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等於斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2 2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2+b^2=c^2 ，那麼這個三角形是直角三角形 12
48定理 四邊形的內角和等於360° 1
49四邊形的外角和等於360° 1
50多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等於（n-2）×180° 1
51推論 任意多邊的外角和等於360° 1
52平行四邊形性質定理1 平行四邊形的對角相等 1
53平行四邊形性質定理2 平行四邊形的對邊相等 2
54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等 2
55平行四邊形性質定理3 平行四邊形的對角線互相平分 2
56平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 12
57平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 12
58平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 12
59平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形 12
60矩形性質定理1 矩形的四個角都是直角 2
61矩形性質定理2 矩形的對角線相等 1
62矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形 12
63矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形 12
64菱形性質定理1 菱形的四條邊都相等 2
65菱形性質定理2 菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角 1
66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形 2
68菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 12
69正方形性質定理1 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等 12
70正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角 12
71定理1 關於中心對稱的兩個圖形是全等的 12
72定理2 關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分 12
73逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，並且被這一
點平分，那麼這兩個圖形關於這一點對稱 12
74等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等 1
75等腰梯形的兩條對角線相等 2
76等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形 12
77對角線相等的梯形是等腰梯形 12
78平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段 2
相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等
79 推論1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰 2
80 推論2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第
三邊 2
81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它
的一半 12
82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的
一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性質 如果a:b=c:d,那麼ad=bc 2
如果ad=bc,那麼a:b=c:d 2
84 (2)合比性質 如果a／b=c／d,那麼(a±b)／b=(c±d)／d 2
85 (3)等比性質 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那麼
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 2
86 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應
線段成比例 2
87 推論 平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例 2
88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那麼這條直線平行於三角形的第三邊 12
89 平行於三角形的一邊，並且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例 12
90 定理 平行於三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似 12
91 相似三角形判定定理1 兩角對應相等，兩三角形相似（ASA） 12
92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似 12
93 判定定理2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS） 12
94 判定定理3 三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS） 12
95 定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三
角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似 12
96 性質定理1 相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平
分線的比都等於相似比 12
97 性質定理2 相似三角形周長的比等於相似比 2
98 性質定理3 相似三角形面積的比等於相似比的平方 2
99 任意銳角的正弦值等於它的餘角的餘弦值，任意銳角的餘弦值等
於它的餘角的正弦值
100任意銳角的正切值等於它的餘角的餘切值，任意銳角的餘切值等
於它的餘角的正切值
101圓是定點的距離等於定長的點的集合
102圓的內部可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合
103圓的外部可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合
104同圓或等圓的半徑相等 2
105到定點的距離等於定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半
徑的圓
106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直
平分線 12
107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線 12
108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距
離相等的一條直線 12
109定理 不在同一直線上的三點確定一個圓。 12
110垂徑定理 垂直於弦的直徑平分這條弦並且平分弦所對的兩條弧 2
111推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧 2
②弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧 2
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧 2
112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 2
113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形 12
114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦
相等，所對的弦的弦心距相等 2
115推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩
弦的弦心距中有一組量相等那麼它們所對應的其餘各組量都相等 12
116定理 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半 1
117推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等 12
118推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所
對的弦是直徑 12
119推論3 如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形 12
120定理 圓的內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角都等於它
的內對角 1
121①直線L和⊙O相交 d＜r
②直線L和⊙O相切 d=r
③直線L和⊙O相離 d＞r
122切線的判定定理 經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線 2
123切線的性質定理 圓的切線垂直於經過切點的半徑 2
124推論1 經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點
125推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心
126切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，
圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角 12
127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等 2
128弦切角定理 弦切角等於它所夾的弧對的圓周角 1
129推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等 1
130相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積
相等 2
131推論 如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的
兩條線段的比例中項 2
132切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割
線與圓交點的兩條線段長的比例中項 2
133推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等
134如果兩個圓相切，那麼切點一定在連心線上
135①兩圓外離 d＞R+r ②兩圓外切 d=R+r
③兩圓相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④兩圓內切 d=R-r(R＞r) ⑤兩圓內含d＜R-r(R＞r)
136定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
137定理 把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形
⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形
138定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓
139正n邊形的每個內角都等於（n-2）×180°／n
140定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形
141正n邊形的面積Sn=pnrn／2 p表示正n邊形的周長
142正三角形面積√3a／4 a表示邊長
143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由於這些角的和應為
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4
144弧長計算公式：L=n兀R／180
145扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
146內公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r)

難的幾何證明一般要運用多個定理，要注意靈活運用，比如多次等量代換。

⑦ 初中數學幾何證明題技巧

初中數學幾何證明題技巧
幾何證明題入門難，證明題難做，是許多初中生在學習中的共識，這裡面有很多因素，有主觀的、也有客觀的，學習不得法，沒有適當的解題思路則是其中的一個重要原因。掌握證明題的一般思路、探討證題過程中的數學思維、總結證題的基本規律是求解幾何證明題的關鍵。在這里結合自己的教學經驗，談談自己的一些方法與大家一起分享。
一要審題。很多學生在把一個題目讀完後，還沒有弄清楚題目講的是什麼意思，題目讓你求證的是什麼都不知道，這非常不可取。我們應該逐個條件的讀，給的條件有什麼用，在腦海中打個問號，再對應圖形來對號入座，結論從什麼地方入手去尋找，也在圖中找到位置。
二要記。這里的記有兩層意思。第一層意思是要標記，在讀題的時候每個條件，你要在所給的圖形中標記出來。如給出對邊相等，就用邊相等的符號來表示。第二層意思是要牢記，題目給出的條件不僅要標記，還要記在腦海中，做到不看題，就可以把題目復述出來。
三要引申。難度大一點的題目往往把一些條件隱藏起來，所以我們要會引申，那麼這里的引申就需要平時的積累，平時在課堂上學的基本知識點掌握牢固，平時訓練的一些特殊圖形要熟記，在審題與記的時候要想到由這些條件你還可以得到哪些結論（就像電腦一下，你一點擊開始立刻彈出對應的菜單），然後在圖形旁邊標注，雖然有些條件在證明時可能用不上，但是這樣長期的積累，便於以後難題的學習。
四要分析綜合法。分析綜合法也就是要逆向推理，從題目要你證明的結論出發往回推理。看看結論是要證明角相等，還是邊相等，等等，如證明角相等的方法有（1.對頂角相等2.平行線里同位角相等、內錯角相等3.餘角、補角定理4.角平分線定義5.等腰三角形6.全等三角形的對應角等等方法。然後結合題意選出其中的一種方法，然後再考慮用這種方法證明還缺少哪些條件，把題目轉換
成證明其他的結論，通常缺少的條件會在第三步引申出的條件和題目中出現，這時再把這些條件綜合在一起，很條理的寫出證明過程。
五要歸納總結。很多同學把一個題做出來，長長的鬆了一口氣，接下來去做其他的，這個也是不可取的，應該花上幾分鍾的時間，回過頭來找找所用的定理、公理、定義，重新審視這個題，總結這個題的解題思路，往後出現同樣類型的題該怎樣入手。
以上是常見證明題的解題思路，當然有一些的題設計的很巧妙，往往需要我們在填加輔助線，分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。對於證明題，有三種思考方式：
（1）正向思維。對於一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細講述了。
（2）逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題，能使學生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在初中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯，數學這門學科知識點很少，關鍵是怎樣運用，對於初中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上初三了，幾何學的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現在開始，總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題干後，不知道從何入手，建議你從結論出發。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那麼結合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可；要證三角形全等，結合所給的條件，看還缺少什麼條件需要證明，證明這個條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然後把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學們一定要試一試。
（3）正逆結合。對於從結論很難分析出思路的題目，同學們可以結合結論和已知條件認真的分析，初中數學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要
想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。
要掌握初中數學幾何證明題技巧，熟練運用和記憶如下原理是關鍵。
下面歸類一下，多做練習，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到採用哪一類型原理來解決問題。 一、證明兩線段相等
1.兩全等三角形中對應邊相等。 2.同一三角形中等角對等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。 4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。 5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。 6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。 7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點且平行於第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。 9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直於直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項（或兩後項）相等的比例式中的兩後項（或兩前項）相等。

⑧ 初中幾何證明方法歸納 如中線倍長法等 越多越好 最好有解析（比如什麼是中線倍長法等）

倍長中線法 ：延長中線，使所延長部分與中線相等，然後往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等。常用於構造全等三角形。中線倍長法多用於構造全等三角形和證明邊之間的關系以方便求其中一邊的范圍值。

【例①】

如圖，在△ABC中，AB=2AC，AD平分BC，AD⊥AC，求∠BAC的度數。

證明：在AC上截取AE=AB，連接DE

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

又∵AD=AD，AB=AE

∴△ABD≌△AED（SAS）

∴BD=DE，∠B=∠3

又∵∠B=2∠C

例3-圖

∴∠3=2∠C

又∵∠3=∠4+∠C

∴2∠C=∠4+∠C

即∠C=∠4

∴DE=CE

∴BD=CE

∵AE+EC=AC

∴AB+BD=AC

以上採用的是截長補短法里的截長法

如有疑問，歡迎追問

⑨ 初中數學證明技巧

要掌握初中數學幾何證明題技巧，熟練運用和記憶如下原理是關鍵。
下面歸類一下，多做練習，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到採用哪一類型原理來解決問題。
一、證明兩線段相等
1.兩全等三角形中對應邊相等。
2.同一三角形中等角對等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。
8.過三角形一邊的中點且平行於第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
*9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。
*10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直於直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項（或兩後項）相等的比例式中的兩後項（或兩前項）相等。
*12.兩圓的內（外）公切線的長相等。
13.等於同一線段的兩條線段相等。
二、證明兩個角相等
1.兩全等三角形的對應角相等。
2.同一三角形中等邊對等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。
4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。
5.同角（或等角）的餘角（或補角）相等。
*6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等於它所夾的弧對的圓周角。
*7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
8.相似三角形的對應角相等。
*9.圓的內接四邊形的外角等於內對角。
10.等於同一角的兩個角相等。
三、證明兩條直線互相垂直
1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直於底邊。
2.三角形中一邊的中線若等於這邊一半，則這一邊所對的角是直角。
3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。
4.鄰補角的平分線互相垂直。
5.一條直線垂直於平行線中的一條，則必垂直於另一條。
6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。
7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的對角線互相垂直。
*10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直於弦。
*11.利用半圓上的圓周角是直角。
四、證明兩直線平行
1.垂直於同一直線的各直線平行。
2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。
3.平行四邊形的對邊平行。
4.三角形的中位線平行於第三邊。
5.梯形的中位線平行於兩底。
6.平行於同一直線的兩直線平行。
7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行於第三邊。
五、證明線段的和差倍分
1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。
2.在第三條線段上截取一段等於第一條線段，證明餘下部分等於第二條線段。
3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。
4.取長線段的中點，再證其一半等於短線段。
5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。
六、證明 角的和差倍分
1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分線的定義。
3.三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
七、證明線段不等
1.同一三角形中，大角對大邊。
2.垂線段最短。
3.三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。
4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。
*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大於它的任何一部分。
八、證明兩角的不等
1.同一三角形中，大邊對大角。
2.三角形的外角大於和它不相鄰的任一內角。
3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。
*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。
5.全量大於它的任何一部分。
九、證明比例式或等積式
1.利用相似三角形對應線段成比例。
2.利用內外角平分線定理。
3.平行線截線段成比例。
4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。
*5.與圓有關的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。
6.利用比利式或等積式化得。
十、證明四點共圓
*1.對角互補的四邊形的頂點共圓。
*2.外角等於內對角的四邊形內接於圓。
*3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）。
*4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。
*5.到頂點距離相等的各點共圓

希望對你有所幫助，祝您學習進步！

⑩ 如何幫助初中學生做好幾何證明題

一、徹底搞清定義、定理、公理的真正含義
要想讓學生寫出思路清晰、層次分明的幾何證明題的書寫過程。首先最關鍵的一步就是要讓學生徹底分清定義、定理、公理的題設和結論，真正理解其真實含義。只有這樣，學生才能在以後的證明過程中，正確地利用它來證明相關結論。反之，如果你對定理的內容都沒有真正理解，而是含糊其詞，是是而非，或者本身就不知道有這樣一個定理，那麼你在以後的證明過程中，就不能正確地應用這個定理或者就不知道應用這個定理，整個證明過程就會陷入僵局。同時，我們還要讓學生把握清楚定理的內涵，不能對定理的理解有模稜兩可、含糊其詞之感。例如，在學習等腰三角形的「三線合一」這一定理時，有些同學就理解不清，沒有真正掌握其含義，甚至自己都感到有些困惑，致使在應用時出現一些小錯誤。我們都知道這個定理的正確用法是，在知道一個三角形是等腰三角形的大前提下，其中「頂角的平分線」、「底邊上的高」、「底邊上的中線」三者知道一個，就可以得到另外兩個結論。而有些沒有真正理解其含義的同學就這樣寫道：（如圖）
在△ABC中
∵AB=AC，AD⊥BC，BD=CD
∴AD平分∠BAC
顯然，這是不恰當的。原因就在於沒有真正理解等腰三角形「三線合一」這一定理的內涵，應該去掉「AD⊥BC」和「BD=CD」中的任一個。
二、加強三種幾何語言的教學，特別是符號語言
幾何語言包括三種不同形式的語言，即文字語言、圖形語言、符號語言。對定理、公理的教學，我們老師不僅要讓學生掌握定理對應的三種語言，還要培養學生對三種語言的轉換能力。由於三種語言的不同特點，在教學中各自發揮的作用也不相同。在三種語言中，符號語言是幾何初學者最難掌握的一種，也是邏輯推理必備的能力基礎，因為考試中的證明題要用符號語言來體現。我們老師在教學中如何讓學生掌握好符號語言呢？在教學某一定理時，首先要讓學生在理解的基礎上，結合圖形能用自己的語言進行描述（即文字語言），然後再引導學生如何用符號語言進行「翻譯」。例如在教學「角平分線上的點到角的兩邊的距離相等」這一定理時。首先，我們老師要引導學生用什麼樣的方法證明這一定理，然後引導學生用自己的話表述這一性質，最後訓練學生如何用符號來描述這一定理。這一定理的題設中，關鍵的兩點即「角平分線」和「角平分線上的點到角的兩邊的距離」，如何用符號表示呢？結論中的「相等」，又如何用符號表示呢？（如圖），
題設中的「兩點」可以這樣用符號表示：
∠1=∠2，CD⊥AO， CE⊥BO，
結論中的「相等」可表示為：CD=CE
如果我們以後用到這一性質時，就可以這樣寫了：
∵∠1=∠2，CD⊥AO， CE⊥BO
∴CD=CE
三、理清思路，做到層次分明
我們老師在批改學生的證明題時，常常會發現這樣的現象：為了證明某一結論，假設需要通過兩步「同等身份」的推理，才能得出最後的結論，個別學生在證明時，往往兩步的推理互相穿插，第一步證明的推理在第二步中有出現，第二步的推理在第一步中也有體現。也就是說，思路不清，條理不清晰。出現這種現象的原因還是在書寫過程之前，思路不清、層次不分明。針對這種現象，我們老師要幫助學生細細分析清楚後，再讓學生書寫過程。例如有這樣一道證明題：（如圖）
已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交於點O，BE∥AC，CE∥BD。
求證：四邊形OBEC是菱形。
針對這一題目，引導學生通過分析後，發現這個題目只要證明「兩大塊」就行了，即證「OB=OC」和「四邊形OBEC為平行四邊形」，然後再引導學生這「兩大塊」又分別怎樣用符號語言表述就可以了。當然，這「兩大塊」的證明不分先後。通過這樣的分析後，學生在書寫時就不會出現證明「OB=OC」時出現「BE∥AC」這樣的「不速之客」了。
四、掌握幾何證明題常用的分析方法
幾何證明題常用的分析方法有綜合法和分析法，另外還有一種就是分析法和綜合法的結合使用。那麼我們在證明某一結論時，到底用上述三種方法的哪一種呢？這要根據具體的問題，具體的情況進行決定。有時一個待證的結論分析法也可以，綜合法也可以，都比較容易找到解決問題的思路，但有時一個待證的結論，這兩種方法都不奏效，都不容易找到解決問題的方法，這時我們不妨把這兩種方法結合起來使用，或許能找到「突破點」。因此，我們老師要讓學生在解決證明題的過程中，自己要注意總結和反思，靈活掌握上述的三種方法。只有這樣才能在尋求解決問題方案的過程中游刃有餘。
五、多鼓勵學生
剛剛學習幾何證明題書寫的學生，在書寫的過程中肯定要或多或少地出現這樣或那樣的錯誤。我們老師在對待這一問題時，不要急躁，要耐心地對學生進行講解和引導，多鼓勵、多表揚他們。不理想的推理步驟要不斷改進，同時引導學生自己多領悟多反思一下。這樣，學生就不會失去這方面的信心，他們會做得越來越好。
總之，對學生幾何證明題書寫的教學，我們老師要有足夠的耐心，採取不同的教學思路和方法，引導和鼓勵學生循序漸進地掌握正確書寫的方法和技巧。只有這樣，學生才能書寫出思路清晰、層次分明的幾何證明題書寫過程。